縱觀近幾年高考試題可知，高考數(shù)學(xué)命題的思路是“穩(wěn)中求進(jìn)，注重能力考查”.所謂“穩(wěn)”，就是高考試題大多是“常規(guī)題”，復(fù)習(xí)時(shí)同學(xué)們應(yīng)研究“樣題”，不要偏離“應(yīng)知應(yīng)會(huì)”和“通性通法”的軌道；所謂“進(jìn)”，就是高考試題有一定“新題型”，主要是創(chuàng)新型問題和探索性問題，這類“新題型”具有覆蓋知識(shí)廣、求解方法新和綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，具有較大的“殺傷力”.那么，這類問題同學(xué)們?cè)撊绾纬林鴳?yīng)答呢？

一、在“創(chuàng)新”中求“高分”

解答數(shù)學(xué)創(chuàng)新題，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”；二是深入分析多方聯(lián)系，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，“以新制新”.那么高考中出現(xiàn)的創(chuàng)新題“新”在何處？

1.結(jié)構(gòu)形式新

例1定義兩個(gè)平面向量的一種運(yùn)算ab=|a|·|b|sin〈a，b〉，則關(guān)于平面向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中：①ab=ba，②λ（ab）=（λa）b，③若a=λb，則ab=0，④若a=λb且λ>0則（a+b）c=（ac）+（bc）.恒成立的有.（填序號(hào)）

解析：對(duì)于①，由向量的模是實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算具有交換律知①恒成立；

對(duì)于②，λ（ab）=λ|a|·|b|sin〈a，b〉，（λa）b=|λa|·|b|sin〈λa，b〉，當(dāng)λ<0時(shí)，λ（ab）=（λa）b不成立；

對(duì)于③a=λb，則sin〈a，b〉=0，故ab=0恒成立，

對(duì)于④，a=λb則a+b=（1+λ）b，（a+b）c=|（1+λ）b|·|c|sin〈b，c〉，

（ac）+（bc）=|λb|·|c|sin〈b，c〉+|b|·|c|sin〈b，c〉=|（1+λ）b|·|c|sin〈b，c〉，故（a+b）c=（ac）+（bc）恒成立.

故恒成立的有①③④.

評(píng)注：在給出新運(yùn)算問題中要摒棄原有的運(yùn)算法則，以避免造成運(yùn)算的紊亂.面對(duì)這類問題只需按給定的法則進(jìn)行運(yùn)算即可，此類問題雖然給出的條件信息比較多，而其實(shí)質(zhì)卻很簡單，只需用簡單的數(shù)學(xué)知識(shí)即可解決.

2.問題情境新

例2下圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖2；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3.圖3中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n.

（1）方程f（x）=0的解是x=；

（2）下列說法中正確命題的序號(hào)是.（填出所有正確命題的序號(hào)）

①f（14）=1；②f（x）是奇函數(shù)；③f（x）在定義域上單調(diào)遞增.

解析：（1）f（x）=0象點(diǎn)N與原點(diǎn)O重合AM是直徑AM=12M點(diǎn)的初始坐標(biāo)是12x=12；

（2）①m=14AM=14AM所對(duì)的圓心角為90°直線AM的傾角為45°AM的斜率為1N點(diǎn)在原點(diǎn)O左側(cè)且NO=OMN點(diǎn)坐標(biāo)為-1f（14）=-1；

②f（x）的定義域是（0，1），所以肯定不是奇函數(shù)；

③m增大AM弧長增大AM所對(duì)的圓心角增大直線AM的傾角增大直線AM在x軸上的截距即N點(diǎn)橫坐標(biāo)增大f（m）的值增大；

故答案：12，③.

評(píng)注：本題以圖形變化為問題背景，考查了函數(shù)的概念及函數(shù)的性質(zhì)，要求同學(xué)們從圖形變化的規(guī)律中找到問題的答案，具有一定的難度.

3.設(shè)問角度新

例3某糧倉是如圖所示的多面體，多面體的棱稱為糧倉的“梁”.現(xiàn)測得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AE、BF、CF、DE分別與相交的底梁所成角均為60°.

（1）請(qǐng)指出所有互為異面的且相互垂直的“梁”，并說明理由；

（2）若不計(jì)糧倉表面的厚度，該糧倉能否儲(chǔ)存150立方米的糧食？

解析：（1）EF與AD，EF與BC，DE與BF，AE與CF，由已知，有EF∥AB，

∵AB⊥AD，∴EF⊥AD.

同理，有EF⊥BC.

過點(diǎn)E作EK∥FB交AB點(diǎn)K，則∠DEK為異面直線DE與FB所成的角，

∵DE=FB=4，AK=2×（4cos60°）=4，DK=42，

∴∠DEK=90°，即DE⊥BF，同理AE⊥CF.

（2）過點(diǎn)E分別作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥CD于點(diǎn)N，連接MN，則AB⊥平面EMN，

∴平面ABCD⊥平面EMN，過點(diǎn)E作EO⊥MN于點(diǎn)O，則EO⊥平面ABCD，

由題意知，AE=DE=AD=4，

AM=DN=4cos60°=2，EM=EN=23，

∴O為MN中點(diǎn)，

∴EO=22即四棱錐EAMND的高，

同理，再過點(diǎn)F作FP⊥AB于點(diǎn)P，F(xiàn)Q⊥CD于點(diǎn)Q，連接PQ，

原多面體被分割為兩個(gè)全等的四棱錐和一個(gè)直棱柱，且MP=16-2-2=12，

∴V多面體=2V四棱椎+V直棱柱=2×13×（2×4）×22+（12×4×22）×12=17623，

故該糧倉最多可儲(chǔ)存17623立方米的糧食，17623<150，故該糧倉不能儲(chǔ)存150立方米的糧食.

評(píng)注：本題以“說理”替代論證，并與實(shí)際問題相結(jié)合，使命題的開放性與創(chuàng)新性進(jìn)一步強(qiáng)化，旨在考查同學(xué)們靈活應(yīng)用立體幾何知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.本題設(shè)問獨(dú)特，難度中等偏上，較能考查同學(xué)們解題的靈活性.

二、在“探索”中創(chuàng)佳績

由給定的題設(shè)條件探求相應(yīng)的結(jié)論，或由給定的題斷追溯應(yīng)具備的條件，或變更題設(shè)、題斷的某個(gè)部分使命題也相應(yīng)變化等等，這一類問題稱之為探索性問題.探索性問題是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，由于此類題型的條件或結(jié)論不完備，要求同學(xué)們結(jié)合已有的條件，通過對(duì)問題進(jìn)行觀察、分析、比較和概括，然后才能得出有關(guān)結(jié)論，再對(duì)所得出的結(jié)論予以證明.那么，在高考中，主要涉及哪些探索性問題呢？

1.規(guī)律探究型

例1觀察①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1.②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.由以上兩式成立得到一個(gè)由特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣.

解析：觀察到：10°+20°+60°=90°，5°+75°+10°=90°.猜想此推廣為：

若α+β+γ=π2且α，β，γ都不為kπ+π2（k∈Z），則tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.

證明如下：

①γ=0時(shí)，等式顯然成立.

②當(dāng)γ≠0時(shí)，由α+β+γ=π2，得α+β=π2-γ，所以tan（α+β）=1tanγ.

又因?yàn)閠an（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ，

所以tanα+tanβ=tan（α+β）·（1-tanα·tanβ）=1tanγ（1-tanα·tanβ），

所以tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα

=tanαtanβ+tanγ（tanα+tanβ）

=tanαtanβ+tanγ·1tanγ（1-tanαtanβ）=1.

綜上所述，等式成立.

評(píng)注：本題給出背景看似深?yuàn)W，其實(shí)只需透過表面就可抓住其本質(zhì).這類問題往往將已有的某些條件，不斷地進(jìn)行演化、變形，這就要求我們能用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)考慮條件變式的有關(guān)特征，從特殊到一般，推出普遍性的結(jié)論.它常用的思維模式為：首先對(duì)命題中給出的幾個(gè)具體關(guān)系式，通過觀察、分析、歸納、猜想，從中概括出一般性規(guī)律，然后運(yùn)用邏輯推理對(duì)所猜想的規(guī)律進(jìn)行證明.這個(gè)探索一般規(guī)律的過程可以概括為：觀察——?dú)w納——猜想——證明.

2.條件追溯型

例2設(shè)函數(shù)f（x）=x2+1-ax，其中a>0，試求a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）是單調(diào)函數(shù).

解析：先求出f（x1）與f（x2）的差，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義求出a的值，再針對(duì)特殊情況進(jìn)行討論，進(jìn)一步確定a的值.

任取x1，x2∈[0，+∞），且x1

則f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（x1+x2x21+1+x22+1-a）.

（?。┊?dāng)a≥1時(shí)，x1+x2x21+1+x22+1-a

∴f（x1）>f（x2），∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù).

（ⅱ）當(dāng)0

故a的取值范圍是[1，+∞）.

評(píng)注：本題以探索性問題形式出現(xiàn)，研究函數(shù)a的變化與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，立意新穎，問題深刻，為同學(xué)們創(chuàng)設(shè)出展現(xiàn)數(shù)學(xué)水平的廣闊空間.這類問題的基本特征是：針對(duì)一個(gè)結(jié)論，條件未知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷.解決這類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件.在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會(huì)犯的一個(gè)錯(cuò)誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當(dāng)作充分條件，應(yīng)引起注意.

3.存在判斷型

例3已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為23，P與橢圓長軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為-23.設(shè)直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F，交橢圓C于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）若OA·OB=2tan∠AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求|y1-y2|的值；

（2）當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，在x軸上是否總存在點(diǎn)Q，使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角？若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：（1）由橢圓的定義知a=3，設(shè)P（x，y），

則有yx+3·yx-3=-23，則y2x2-3=-23，

又點(diǎn)P在橢圓上，則（3-x2）b23（x2-3）=-b23=-23，∴b2=2，

∴橢圓C的方程是x23+y22=1.

∵OA·OB=4tan∠AOB，

∴|OA|·|OB|cos∠AOB=2tan∠AOB，

∴|OA|·|OB|sin∠AOB=2，

∴S△AOB=12|OA|·|OB|sin∠AOB=1，

又S△AOB=12|y1-y2|×1，故|y1-y2|=2.

（2）假設(shè)存在一點(diǎn)Q（m，0），使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角，

依題意可知直線l斜率存在且不為零，

直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），

由y=k（x-1）x23+y22=1，消去y得（3k2+2）x2-6k2x+3k2-6=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=6k23k2+2，x1·x2=3k2-63k2+2.

∵直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角，

∴kQA+kQB=0，即y1x1-m+y2x2-m=0，

又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），

代入上式可得2x1x2+2m-（m+1）（x1+x2）=0，

∴2×3k2-63k2+2+2m-（m+1）×6k23k2+2=0，

即2m-6=0，∴m=3，

∴存在Q（3，0）使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角.

評(píng)注：本例探求“當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，在x軸上是否總存在點(diǎn)Q，使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角”，本質(zhì)上是求Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)m，最終把原問題轉(zhuǎn)化為含有m的方程.存在判斷型問題，以探究“是否存在”為目標(biāo)的開放性問題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，此類問題的探究，常以假設(shè)推理為基礎(chǔ).當(dāng)?shù)玫酱嬖谛缘慕Y(jié)論時(shí)，需要檢查逆向推理是否正確；當(dāng)?shù)贸雒軙r(shí)，形成反證法，得出不存在的結(jié)論，對(duì)于不存在的問題，也可舉反例說明.

（作者：周寶興，太倉市教育局）