陳志高，朱恩文（長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，長沙 410076）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)模式探究

陳志高，朱恩文
（長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，長沙 410076）

結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)提出了三點研究體會： 概念教學(xué)直觀化，多聯(lián)系實際； 例題教學(xué)注重概念、性質(zhì)以及問題的轉(zhuǎn)化； 開設(shè)概率統(tǒng)計實驗.

直觀化； 例題教學(xué)； 實驗

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是高等學(xué)校理工科專業(yè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課，也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中實踐性和應(yīng)用性較強的一門課程. 目前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和軍事技術(shù)中，并且與其他學(xué)科互相滲透和結(jié)合，成為近代經(jīng)濟理論、管理科學(xué)等學(xué)科的應(yīng)用和研究中的重要工具，也是科學(xué)家和工程師、經(jīng)濟學(xué)家們最常用的工具. 因此理工科學(xué)生學(xué)好這門課程非常有必要，同時對完善自身知識結(jié)構(gòu)有幫助，并為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究對象是隨機現(xiàn)象，隨機現(xiàn)象具有不確定性，這使得該課程在理論上和方法上與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)這些大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程有較大差異. 該課程理論性較強，概念抽象難理解，思路比較獨特，計算要求高，教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實生活聯(lián)系比較緊密. 初學(xué)者如果對一些基本概念沒理解好，加上高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)不夠扎實的話，學(xué)習(xí)起來會有些困難. 如何在課堂教學(xué)中深入淺出地講授抽象概念，講解解題技巧，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性從而取得較好的教學(xué)效果成為教師迫切需要解決的問題. 結(jié)合多年的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的教學(xué)實踐，我們做了一些有意義的探索.

1 概念教學(xué)直觀化，多聯(lián)系實際

概率論與數(shù)理統(tǒng)計中很多概念比較嚴(yán)謹(jǐn)、抽象，對于只有高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)基礎(chǔ)的工科專業(yè)學(xué)生來說，理解起來有一定難度. 而概念學(xué)習(xí)是基礎(chǔ)，是不能繞過去的一道坎. 因此，如何使學(xué)生正確地理解概念是擺在教師面前的一道難題. 教學(xué)中適當(dāng)運用直觀化的教學(xué)方法，通過一定的方式和手段，使數(shù)學(xué)概念易于接受和理解，能有效地提高課堂教學(xué)效果.

例如在零概率事件教學(xué)中，可以舉個實際例子： 某同學(xué)會在7點40分到8點整這20分鐘內(nèi)到達教室，在這二十分鐘內(nèi)每個時間點到達是等可能的，問他在7點50分整到達教室是否有可能，概率為多少？再比如在光滑的教室里隨機扔一只乒乓球，假設(shè)乒乓球在教室里任何一點停下來都是等可能的，問學(xué)生乒乓球有沒有可能落在教室正中間？概率為多少？通過這樣直觀的例子引導(dǎo)學(xué)生積極思考，就能使學(xué)生較好地理解零概率事件.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計和實際聯(lián)系緊密，是該課程的特點. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中加強與實際的聯(lián)系，使學(xué)生樹立理論聯(lián)系實際的學(xué)風(fēng)，能提高對現(xiàn)實的認(rèn)識，同時對學(xué)生更好地理解概念和提高運用知識解決實際問題的能力都有幫助. 概念是從一些實際問題中抽象出來的，具有高度概括性和廣泛應(yīng)用性. 因此在概念教學(xué)中多與實際相聯(lián)系有助于學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與外延.

例如在樣本概念教學(xué)中，學(xué)生難以理解概念中樣本與總體同分布這一點，因此可以舉個學(xué)生成績的例子： 假設(shè)全班成績服從正態(tài)分布N（μ，σ2），也就是說總體X服從N（μ，σ2），準(zhǔn)備從學(xué)生試卷中隨機抽取其中的n份，那么這n份成績都與全班成績有相同的分布. 如何理解？試想，假設(shè)全班有80%的同學(xué)考試及格，則抽取的每份試卷成績都有80%的可能性是及格的，并且抽取的每份成績在每個分?jǐn)?shù)段中的概率和總體X落在對應(yīng)每個分?jǐn)?shù)段中的概率是一樣的. 通過這樣的實際例子，學(xué)生會對樣本的概念有較好的理解. 再比如在極大似然估計中，如何理解極大似然估計的統(tǒng)計思想？可以舉個查學(xué)生到課情況的例子： 如果隨機的一次查到中，某同學(xué)準(zhǔn)時到了，則有理由認(rèn)為該同學(xué)平?；旧鲜菧?zhǔn)時來上課的. 因為在隨機的一次試驗中某事件發(fā)生了，可以認(rèn)為該事件發(fā)生的概率是比較大的，這可以看成一個生活常識. 通過這樣的例子，學(xué)生就自然而然地理解了極大似然估計的統(tǒng)計思想.

總之，在概念教學(xué)中注意直觀化，多聯(lián)系實際，則有可能起到事半功倍的效果.

2 例題教學(xué)注重概念、性質(zhì)以及問題的轉(zhuǎn)化

有學(xué)生反映： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程聽起來好懂，自己也看得懂教材，但就是不能得心應(yīng)手的解題，經(jīng)常碰到一些卡殼的題目. 究其原因還是對題目中相關(guān)概念的理解不夠清晰，性質(zhì)不能靈活運用，有時則是問題轉(zhuǎn)化的技巧不夠. 和高等數(shù)學(xué)不同的是，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的習(xí)題往往有一定的概率意義，不理解透徹難以下手，甚至解錯了還找不到錯誤的原因. 所以教師在例題教學(xué)中要在這些方面下工夫.

例如在兩個隨機變量的函數(shù)的分布一節(jié)中，學(xué)生對有些題目不會分析. 如例題： 設(shè)連續(xù)型隨機向量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為f（x，y），求Z=X-Y的密度函數(shù). 學(xué)生因為沒有現(xiàn)成的公式可以直接使用，做起來感到有點吃力. 在已知連續(xù)型隨機向量的密度函數(shù)而求兩個隨機變量的函數(shù)的分布中，可強調(diào)概念： 隨機變量的函數(shù)不管是一元的還是多元的，都是一個隨機變量. 求其密度函數(shù)的 一般思路是根據(jù)分布函數(shù)的定義先求分布函數(shù)，再通過對分布函數(shù)求導(dǎo)來求密度函數(shù). 在求分布函數(shù)過程中，注意問題的轉(zhuǎn)化，具體說來，若Z=g（X，Y ），則把P（Z≤z ）轉(zhuǎn)化為P（g（X，Y）≤z ），再轉(zhuǎn)化為. 在二重積分計算中要注意： 先分別找出f（x，y）≠0的區(qū)域以及滿足不等式g（x，y）≤z 所包含的區(qū)域. 這兩個平面區(qū)域的交集作為最終的積分區(qū)域. 其中g(shù)（x，y）≤z 所包含的區(qū)域與z的取值有關(guān)，所以一般要討論z的取值變化產(chǎn)生兩平面區(qū)域不同的交集的各種情況. 這里可以舉幾個例子來告訴學(xué)生如何根據(jù)z的取值變化分別求出兩平面區(qū)域的交集.

另外，在中心極限定理的例題教學(xué)中，要使學(xué)生學(xué)會在題目中找出哪個隨機變量可以表示為眾多獨立的隨機變量的和. 因為根據(jù)中心極限定理，這樣的隨機變量一般服從或近似服從正態(tài)分布. 找到這樣的隨機變量后將其標(biāo)準(zhǔn)化后服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，往往可以解決相關(guān)問題.

從上面例子中可以看出，在例題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考題目中的概率統(tǒng)計意義，從相關(guān)概念、性質(zhì)入手把問題一步步轉(zhuǎn)化成具體的計算表達式，對提高學(xué)生解決問題的能力是非常有益的.

3 開設(shè)概率統(tǒng)計實驗

興趣是最好的老師. 在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中適當(dāng)增加一些概率統(tǒng)計實驗可以加深學(xué)生對基本概念、原理的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識解決實際問題的能力和創(chuàng)新能力. 實驗可從學(xué)生比較熟悉的excel軟件入手，并讓學(xué)生掌握mathematica、spss、sas等軟件的使用，學(xué)會常見數(shù)據(jù)處理方法和基本編程. 實驗教學(xué)能極大提高學(xué)生用概率統(tǒng)計知識解決所學(xué)專業(yè)中的相關(guān)問題的能力. 實驗中應(yīng)側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生掌握處理隨機現(xiàn)象的基本思想與方法，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)和應(yīng)用能力.

例如進行泊松分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、正態(tài)分布的驗證性實驗，將抽象的理論以直觀的形式給出，能加深學(xué)生對概率統(tǒng)計理論的了解. 再如在泊松分布中改變λ的值，讓學(xué)生觀察圖形的變化，從而理解參數(shù)λ的意義，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 另外，在教材上中心極限定理沒有證明，學(xué)生對定理理解不深，可以安排中心極限定理的直觀演示實驗，讓學(xué)生對“大量獨立同分布隨機變量的和的分布近似服從正態(tài)分布”有直觀的認(rèn)識. 具體可以分兩步： （1） 產(chǎn)生服從二項分布b（n，p）的n個隨機數(shù)，取p=0.2，n=50，計算n個隨機變量的和y以及（2） 將第一步重復(fù)m=1000組，并用這m組的數(shù)據(jù)作頻率直方圖進行觀察. 輸入<

4 小結(jié)

本文結(jié)合筆者多年的教學(xué)實踐探討了概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中概念教學(xué)、例題教學(xué)和實驗教學(xué)三方面的問題，為高等學(xué)校工科概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)改革做了一點有益的嘗試，希望對從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)的教師有所幫助.

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍，等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M[. 第2版. 北京： 高等教育出版社，2011

[2]梁小林，謝永欽. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M[. 上海： 復(fù)旦大學(xué)出版社，2014

[3]復(fù)旦大學(xué). 概率論[M[. 北京： 人民教育出版社，1979

[4]吳贛昌. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M[. 北京： 中國人民大學(xué)教育出版社，2009

[5]呂傳漢. 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法[M[. 北京： 高等教育出版社，1990

[6]田萬海. 數(shù)學(xué)教育學(xué)[M[. 杭州： 浙江教育出版社，1993

Exploration on Teaching Model of Probability and Statistics

CHEN Zhi-gao，ZHU En-wen
（Institute of Mathematics and Computing Sciences，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410076，China）

Combining course teaching of probability and statistics，research experience was introduced from three aspects： Visualization on concept teaching and being more practical； Pay attention to concept，property and transformation problem on the example teaching； Open probability science experiment.

visualization，example teaching，experiment

G642

A

1672-5298（2016）02-0089-03

2015-10-28

長沙理工大學(xué)校級教改項目（JG1344）

陳志高（1974- ），男，湖南沅江人，長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院講師. 主要研究方向： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計