黃寧　李素云

【摘要】電工學教材中對于復雜混聯(lián)電路的等效電阻計算介紹不多，導致學生求解時十分困難，甚至出現(xiàn)無從下筆，針對這種情況，總結教學經驗，歸納出幾種較直觀和容易理解與掌握的求解方法，介紹各種方法的計算步驟，并指出這些方法的各自特點和相應的適用場合，上述幾種方法有助于學生快速提高解題能力，可進一步提高教學效果。

【關鍵詞】混聯(lián)電路 等效電阻 末端遞推法 描點法

【Abstract】 There is little introduction for calculating the equivalent resistance of hybrid circuit in electrotechnics textbook， which causes to difficultly solve and did not know where to start. In view of this situation， the teaching experience was summarized， several more intuitive and easily grasped methods were summed up， calculative steps of these methods were introduced， and respective characteristics and corresponding application of these methods were pointed out. Above several methods can help students quickly increase ability of solving problems， and further improve the teaching effect.

【Key words】hybrid circuit； equivalent resistance； terminal recurrence method； depicting points method

【基金項目】廣西高等教育教學改革工程項目 （2013JGA243）。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0231-02

電工學是機械設計制造及自動化本科專業(yè)的重要專業(yè)基礎課之一，為后續(xù)電類、控制類課程準備必要的電路方面知識。在電路分析中，不僅僅是混聯(lián)電路需要計算等效電阻，后續(xù)的戴維寧定理和諾頓定理，以及一階線性電路狀態(tài)分析的三要素法都需要求解等效電阻?，F(xiàn)有的教材中對于復雜混聯(lián)電路的等效電阻計算描述不多，常用的方法是將電路按串、并聯(lián)逐層化簡后求解等效電阻[1-4]，需要繪制很多的電路圖，既耗時又費力。文獻[5，6]僅從單方面計算等效電阻，應用范圍不廣；文獻[7-10]分別給出了計算等效電阻的不同方法，但方法不直觀、簡潔，使用較繁瑣。此外，由于實際電路并不是簡單的串、并聯(lián)聯(lián)接，而是呈現(xiàn)多樣化，往往不能輕易看出各電阻之間的聯(lián)接形式，致使學生解題時無從下筆，因此在分析、求解等效電阻的方法上需有所不同。為此，根據以往的教學積累，總結歸納出一些容易理解和掌握的計算方法，幫助學生準確地解答復雜混聯(lián)電路的等效電阻問題。

1.等效電阻

一個電阻可替代幾個連接電阻所起的作用，這個電阻稱之為幾個電阻的等效電阻。電路中無論電阻個數(shù)多少、聯(lián)接方式各異，都可用一個電阻來等效代替，不影響原電路兩端的電壓和流過電流的大小變化。串聯(lián)電路的等效電阻等于各串聯(lián)電阻之和，如兩個電阻串聯(lián)，則等效電阻R=R1+R2，電阻越多，等效電阻越大；并聯(lián)電路的等效電阻的倒數(shù)等于各支路電阻的倒數(shù)之和，如兩個電阻并聯(lián)，則1/R=1/R1+1/R2，電阻越多，等效電阻越小，且小于其中的任意電阻；混聯(lián)電路是串、并聯(lián)電路的組合，計算等效電阻時需要根據電阻的不同聯(lián)接形式，運用不同的方法進行。

2.無源網絡等效電阻計算

任何電路都可以看成是兩個端點輸出的二端網絡，根據網絡內有無電源（電壓源或電流源）可分為有源二端網絡和無源二端網絡。電阻混聯(lián)電路屬于無源二端網絡。

2.1末端遞推法

當電阻聯(lián)接形式出現(xiàn)如圖1所示，這種電路具有明顯的多層次結構，電阻之間聯(lián)接關系較容易確定，可采用以下的步驟計算等效電阻：

①將總體計算思路分為逐層的局部等效電阻計算和整體等效電阻計算。

②計算中從最末端開始，依次往前遞推，根據串、并聯(lián)等效電阻計算公式分別求出每層的等效電阻。

③逐步對電路分層化簡后得出總等效電阻。

根據末端遞推法的計算步驟，可寫出圖1中最末層的等效電阻R11=R8//（R5+R6+R9），中間層等效電阻R22=R7//（R3+R4+R11），最后總等效電阻R0=R1+R2+R22。這種方法用于層次分明的電路，計算工作量較大。

2.2 電橋平衡法

對于電橋電路求解時，如果滿足電橋平衡條件，即相對的電橋臂電阻乘積相等（圖2中為R1R5=R2R4），則計算大為簡化。計算過程可按以下進行：先把圖2中的cd支路進行斷開或短接處理（因為兩點電位相等Vc=Vd），之后再按串、并聯(lián)分別計算。圖2中的等效電阻Rab=（R1+R4）//（R2+R5），或Rab=R1//R2+R4//R5。若電路中有多個電橋電路，根據平衡條件運用此法進行計算，其過程將變得非常簡單，但僅限于電橋平衡電路。

2.3 電路對稱簡化法

在一個復雜的電路中，當電路結構具有對稱性，則可利用電路的對稱性簡化電路圖，簡化計算過程，快速計算出等效電阻，它是一種巧妙的解題方法。

圖3所示電路具有左右、上下完全對稱，根據對稱簡化法，求解時取電路的四分之一，結合電橋平衡法，可方便地得到該部分的等效電阻Rae=1+1//1=1.5？贅；簡化后電路變成兩條兩個等效電阻串聯(lián)支路，之后進行并聯(lián)聯(lián)接，總等效電阻Rab=（1.5+1.5）//（1.5+1.5）=1.5？贅。這種方法使用范圍較小，主要針對具有對稱結構的電阻網絡。

2.4星形聯(lián)接與三角形聯(lián)接等效互換法

在電路中出現(xiàn)電阻既非串聯(lián)，又非并聯(lián)形式，可用星形（Y形）與三角形（△形）等效變換進行簡化來計算等效電阻。圖4中左側表示為三角形聯(lián)接，電阻的串、并聯(lián)關系不易識別，計算總等效電阻比較麻煩，將它變成右邊的圖后，電阻之間的串、并聯(lián)聯(lián)接非常清晰，容易得到等效電阻Rab=Ra+（Rc+R5）//（Rd+R4），其中Ra、Rc、Rd為三角形轉換成星形的等效電阻，可由公式直接得到。

2.5 描點法

當電路中電阻之間聯(lián)接關系較復雜時，一種可靠的方法是在圖中導線相交之處分別用不同的點描述，通過對原電路進行有效組合與重畫，將之變成易識別的聯(lián)接形式，之后求解等效電阻。圖5中等效電阻計算過程如下：

①分別找出電路中的相交點，并用不同的字母標注，如圖所示；

②電路中導線直接聯(lián)接的點，用同一字母表示；

③按照從左到右的順序在一條直線上畫出各點，依次在每兩點之間填入相應的電阻，對原電路進行重畫；

④ 利用串、并聯(lián)公式計算等效電阻Rab=[R1//R2+（R3//R4+R6）//R5]//R7。

這種方法可用于任何復雜電阻電路等效電阻計算，能有效求解難度較大的題目，同時也能清晰地看出電阻之間的聯(lián)接關系，它是一種快速、實用的計算方法，思路單一，易于掌握，對初學者來說非常適宜。

3.有源網絡等效電阻計算

3.1無源法

利用戴維寧定理和諾頓定理分析電路時，其等效電阻的計算可采用無源化處理，即把理想電壓源短路、理想電流源開路，再根據電路結構選擇上述無源網絡等效電阻計算方法進行。

3.2 開路、短路法

將有源二端網絡的負載去掉，形成開路狀態(tài)，計算此時的開路電壓U；再將負載短接，形成短路狀態(tài)，計算短路電流I；最后利用公式Req=U/I求得。

3.3 測量法

如圖6所示，用電壓表先測出負載R兩端的帶載電壓U；再斷開負載R支路，測量空載電壓U0，則有源網絡的等效電阻Req=（U0/U-1）R。這種方法通常用于實驗測試。

4.結束語

上述一些方法是多年教學實踐基礎上積累而得，言簡意賅，通俗易懂，學生容易掌握，運用這些方法能有效地解決復雜網絡的等效電阻問題。但在實際等效電阻求解中，需根據電阻聯(lián)接的不同形式，選擇合適的計算方法，才能快速、準確地計算出結果。當然，熟練地運用這些方法并非一朝一夕就能完成的，需要花一定的時間，通過不斷的訓練來鞏固和提高，使同學們在練習實踐中理解透徹，完全掌握等計算效電阻的各種方法和技巧。

上述計算等效電阻的方法同樣適用于交流電路的等效阻抗求解。

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作者簡介：

黃寧（1974-），男，湖南永州人，博士，講師。