袁素群　徐章韜

重要不等式為何要改為基本不等式

袁素群徐章韜

1.引言

2.語義角度

《現(xiàn)代漢語詞典》中對(duì)“重要”和“基本”作了如下解釋：“重要：具有重大意義作用或影響的，有很大意義的。”在重要不等式的表述中，取其形容詞性詞意，用來形容它在高中數(shù)學(xué)教材中的地位，說明該不等式有重大意義，且對(duì)后續(xù)課程學(xué)習(xí)和實(shí)際生活具有積極的作用?！盎荆焊?；根本的；主要的；大體上”。在基本不等式的表述中，“基本”一詞作為形容詞，表示這一不等式是根本的、基礎(chǔ)性的、主要的。教材視這一不等式是一種知識(shí)基礎(chǔ)，把它作為后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)。要達(dá)到預(yù)期的學(xué)習(xí)目的，就必須學(xué)好這一基礎(chǔ)性的、根本的、主要的不等式。應(yīng)用“基本”一詞，凸顯了教材對(duì)這一不等式的認(rèn)識(shí)及重視程度提升到了一個(gè)新的高度。

3.數(shù)學(xué)教材編寫的角度

數(shù)學(xué)教材中有很多重要的概念、定理、公式、法則等，這些重要的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)我們的學(xué)習(xí)有著不可或缺的作用。知識(shí)量越多，越要抓住根本。如人教A版教材《數(shù)學(xué)》（必修4）“同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系”將以往的八大關(guān)系式改為兩個(gè)基本關(guān)系式。教材刪繁就簡，間接暗示教師只要把握基本關(guān)系sin2θ+ cos2θ=1和tan進(jìn)行有重點(diǎn)的教學(xué)，就會(huì)起到事半功倍的效果。不等式的教學(xué)也是如此，由于我們還將接觸到許多不等式及其證明、應(yīng)用等問題，這就要求我們正確認(rèn)識(shí)不等式間的關(guān)系及其數(shù)學(xué)本質(zhì)。

3.1“重要”和“基本”都強(qiáng)調(diào)重要作用，是主干知識(shí)

從數(shù)學(xué)教材編寫的角度來分析，人教A版教科書和以往的教科書都強(qiáng)調(diào)不等式（a，b＞0）在證明不等式問題和解決最優(yōu)化問題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用，這足以說明該不等式在不等式知識(shí)體系中的重要性。

在全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）《數(shù)學(xué)》第二冊(cè)（上）第六章中，首先介紹了不等式的性質(zhì)；緊接著，教材引出“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”這一重要不等式；之后，在“不等式的證明”中，講述綜合法時(shí)，又用該不等式及不等式的性質(zhì)推導(dǎo)其他不等式成立。通過該不等式在證明其他不等關(guān)系中的應(yīng)用，反映了其重要性。在“含有絕對(duì)值的不等式”中，教材以例題的形式講述了重要不等式在解絕對(duì)值不等式中的應(yīng)用。由此看來，舊教材強(qiáng)調(diào)該不等式在應(yīng)用時(shí)有重要作用。

人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書分不同的章節(jié)處理不等式問題。在《數(shù)學(xué)》（必修5）的第三章中，首先介紹了不等關(guān)系與不等式；然后是一元二次不等式及其解法、二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題；最后，在第四小節(jié)介紹該不等式。在選修教材《不等式選講》中對(duì)不等式與絕對(duì)值不等式、證明不等式的基本方法、柯西不等式與排序不等式、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式作了更加詳細(xì)的介紹。并在書中還安排章節(jié)復(fù)習(xí)了該不等式，并將其推廣到三元的形式。

現(xiàn)行教材對(duì)基本不等式的課程內(nèi)容的分層安排，逐步深入探討，花大量篇幅介紹了該不等式與其他不等式的關(guān)聯(lián)性，及其在解決其他數(shù)學(xué)問題、實(shí)際問題中的應(yīng)用性，反映了該內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要性。

3.2“基本”還強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性，更具有底層支柱作用

現(xiàn)行教材用“基本”來形容該不等式的重要性，在說法上更值得考究。重要的數(shù)學(xué)知識(shí)是有用的，有意義的?；静坏仁讲粌H是有用的、有意義的，還是基礎(chǔ)性的、本源性的。

4.教學(xué)角度

克萊因指出：“一個(gè)數(shù)學(xué)教師的職責(zé)是：應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)并不是孤立的一門學(xué)問，而是一個(gè)有機(jī)的整體。一個(gè)稱職的教師應(yīng)該掌握或了解數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過程以及數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過?！被静坏仁綇臄?shù)學(xué)上凸顯了溝通基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系的可行性，相應(yīng)的教學(xué)應(yīng)通過數(shù)學(xué)上基本關(guān)系的揭示，來優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。相較之下，重要不等式的提法有可能旨在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)結(jié)果，基本不等式的提法更強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性，它是后續(xù)學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)過程的開始。

4.1教學(xué)應(yīng)凸顯知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)并不是離散孤立的存在，而是存在著一定的聯(lián)系。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者頭腦中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的反映，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否完善，直接影響著學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)。教學(xué)若能將新知與舊知通過同化的方式納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將有助于優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的興趣和自信心。

強(qiáng)調(diào)基本不等式是一種基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)知識(shí)，更能凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。在教學(xué)中要揭示這種內(nèi)在聯(lián)系，以優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。由于基本不等式本身有多種等價(jià)形式，證明方法也多樣，如果能引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、探索、歸納和驗(yàn)證，得到該不等式的多種等價(jià)形式和證明方法，還能得到意想不到的收獲。這對(duì)完善學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有積極的作用。肖建輝在《解讀基本不等式的代數(shù)背景》（《中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版）》，2010年）一文中通過加、減、乘、除、開方、取倒數(shù)等一系列代數(shù)運(yùn)算，在對(duì)運(yùn)算結(jié)果之間的大小關(guān)系比較中，不僅得到了其等價(jià)形式，還推出了“調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)”的均值不等式鏈。由于基本不等式在代數(shù)中的基本性，教師若能引導(dǎo)學(xué)生將其頭腦中零散的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)有機(jī)串聯(lián)起來，就能幫助學(xué)生優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。肖建輝在《解讀基本不等式的幾何背景》（《中學(xué)數(shù)學(xué)》，2010年）一文中將代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合在一起，突出了數(shù)形結(jié)合的思想方法。從趙爽弦圖、正交切分方塊、斜交切分方塊、射影定理、切割線定理、自相似直角三角形翻折等幾何模型中，推導(dǎo)出基本不等式。這說明了基本不等式與幾何知識(shí)之間有內(nèi)在的聯(lián)系，基本不等式的教學(xué)能溝通不同幾何知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性。方亞斌在《怎樣認(rèn)識(shí)新課標(biāo)中的基本不等式》（《數(shù)學(xué)通報(bào)》，2013年）一文中構(gòu)造多種證明不等式的方法，除了從代數(shù)、函數(shù)、方程角度證明不等式外，還從統(tǒng)計(jì)、向量、復(fù)數(shù)、解析幾何、三角、平面幾何等角度對(duì)基本不等式進(jìn)行了證明。這說明基本不等式與其他數(shù)學(xué)知識(shí)也有著深刻的聯(lián)系，數(shù)學(xué)教學(xué)要重視引導(dǎo)學(xué)生從中挖掘出這些知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，形成縱橫交錯(cuò)的網(wǎng)絡(luò)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

基本不等式也是溝通數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的橋梁。袁泉潤在《“重要”不等式為何改為“基本不等式”》（《數(shù)學(xué)通訊》，2014年）一文中設(shè)計(jì)物理學(xué)的背景知識(shí)，進(jìn)行物體質(zhì)量測量。首先，用無刻度的天平測得物體的質(zhì)量，利用杠桿原理，計(jì)算物體的質(zhì)量，這是一個(gè)結(jié)果。其次，兩次測量物體的質(zhì)量，用平均值估計(jì)物體實(shí)際質(zhì)量，這又是一個(gè)結(jié)果；最后，通過比較兩個(gè)質(zhì)量之間的大小關(guān)系，得出基本不等式。湯云強(qiáng)在《淺談“基本不等式”在高中物理解題中的應(yīng)用》（《物理通報(bào)》，2011年）一文中介紹了基本不等式在高中物理中解決非彈性碰撞、連接體的速度極值等極值問題的應(yīng)用。在歷史上，有人通過比較勻加速運(yùn)動(dòng)過程中的平均速度，和運(yùn)動(dòng)過程中時(shí)刻中點(diǎn)的瞬時(shí)速度，也能得到基本不等式。和物理知識(shí)相關(guān)聯(lián)，能培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科的應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)有利于學(xué)生理解整個(gè)中學(xué)知識(shí)體系的關(guān)聯(lián)性，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

4.2“重要”強(qiáng)調(diào)認(rèn)知結(jié)果，而“基本”重視認(rèn)知過程

重要不等式給學(xué)生的感覺有可能這是一個(gè)重要的結(jié)論，是一個(gè)有用的結(jié)果，要記?。欢静坏仁絼t告訴學(xué)生：這個(gè)不等式是證明諸多不等式的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)，是一個(gè)過程的開始。從注重結(jié)果到關(guān)注過程是重大的理念轉(zhuǎn)變，理念的轉(zhuǎn)變旨在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

數(shù)學(xué)教學(xué)要重視知識(shí)產(chǎn)生與發(fā)展的過程。基于這一理念，袁泉潤在《“重要”不等式為何改為“基本不等式”》（《數(shù)學(xué)通訊》，2014年）一文中對(duì)基本不等式這節(jié)課的教學(xué)重新進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并將其付諸于教學(xué)實(shí)踐，取得了很好的成效。這說明教學(xué)觀念從重視結(jié)果到重視過程的轉(zhuǎn)變，將更有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

數(shù)學(xué)思想方法孕育于知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中。思想是概念的靈魂，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的源泉，是從技能到能力的橋梁；過程是思想的載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺(tái)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的土壤。沒有過程等于沒有思想。在日常教學(xué)中，不要搞快節(jié)奏，要慢工磨細(xì)活，展示思維的過程。如，基本不等式的證明方法多樣，若充分利用函數(shù)的思想方法，構(gòu)造函數(shù)y=lnx，取x1=a， x2=b，得，化簡可得到基本不等式。若充分利用方程的思想方法，構(gòu)造方程（x-，方程化簡得，由于a，b＞0，方程恒有解，那么Δ≥0，化簡得基本不等式。在多樣化的證明過程中，能夠培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法。把注重認(rèn)知結(jié)果的“重要”改成不但要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注認(rèn)知過程的“基本”性，突出了重視教學(xué)過程和認(rèn)知過程，重視在過程中培養(yǎng)學(xué)生思維的理念。

4.3基本不等式還強(qiáng)調(diào)可推廣性、可遷移性

方亞斌在《怎樣認(rèn)識(shí)新課標(biāo)中的基本不等式》（《數(shù)學(xué)通報(bào)》，2013年）一文中構(gòu)造多種證明不等式的方法，除了從代數(shù)、函數(shù)、方程角度證明不等式外，還從統(tǒng)計(jì)、向量、復(fù)數(shù)、解析幾何、三角、平面幾何等角度對(duì)該不等式進(jìn)行了證明。這說明基本不等式與其他方面的數(shù)學(xué)知識(shí)有著深刻的聯(lián)系，數(shù)學(xué)教學(xué)要重視引導(dǎo)學(xué)生從中挖掘出這些內(nèi)在的關(guān)系，并對(duì)其進(jìn)行推廣。

前面提到，可以將其推廣到三元甚至n元的算數(shù)—幾何平均值不等式或平均值不等式鏈。若將其條件中的范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)域，結(jié)論又會(huì)如何呢？n個(gè)數(shù)（不一定為正）的算術(shù)平均是一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量，有廣泛的用途。在統(tǒng)計(jì)中，可將其應(yīng)用于某一統(tǒng)計(jì)量理想值的最佳估計(jì)中，等等。對(duì)不等式作多方面的推廣過程中，數(shù)學(xué)的應(yīng)用天地更廣闊了，更有用了。

數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)上具有可推廣性，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)上具有可遷移性。我國教學(xué)歷來重視基本，如基本知識(shí)、基本技能的提法深入人心，現(xiàn)在還新增了基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提法。那么，何謂基本，如何抓住基本呢？湖北特級(jí)教師裴光亞老師曾在《數(shù)學(xué)通訊》上從復(fù)習(xí)備考的角度談了如何抓住基本的策略和方法。強(qiáng)調(diào)基本，從遷移性來說，就是說這種認(rèn)知方法、認(rèn)知態(tài)度或認(rèn)知策略具有超越具體情境的功能，不局限于特定的情境。在平常教學(xué)中，是在特定情境下學(xué)習(xí)特定的知識(shí)。為什么要學(xué)習(xí)這些知識(shí)，是因?yàn)檫@些知識(shí)中蘊(yùn)含了可遷移的基本性要素。

5.結(jié)語

教科書將重要不等式改成基本不等式，表述上的微變凸顯了基本不等式在知識(shí)結(jié)構(gòu)上、在認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)上的底層支撐性，領(lǐng)悟其中的微言要義，對(duì)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)作用。若能把握教材的微變，切實(shí)理解其中深刻的數(shù)學(xué)和教學(xué)道理，從重視結(jié)果轉(zhuǎn)變到過程、結(jié)果并重，并將這種教學(xué)理念上的變化落實(shí)到教學(xué)過程中，將更有利于培養(yǎng)學(xué)生的能力，更有利于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。（項(xiàng)目：華中師范大學(xué)研究生教學(xué)研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)教育方向研究生學(xué)術(shù)能力提升的研究（2013JG37）”的部分成果）

（作者單位：華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）