陳 亮, 盧威, 黃亞慶

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院,福建 福州 350108)

融合全局逼近與局部精化的協(xié)同優(yōu)化方法

陳 亮, 盧威, 黃亞慶

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院,福建 福州 350108)

針對標(biāo)準(zhǔn)協(xié)同優(yōu)化方法存在對初始點(diǎn)選取敏感、優(yōu)化結(jié)果易收斂于局部最優(yōu)解等問題,通過對松弛因子法特點(diǎn)的分析,給出了一種綜合應(yīng)用固定松弛因子和動態(tài)松弛因子方法,融合全局逼近與局部精化的改進(jìn)協(xié)同優(yōu)化方法,并將Kriging近似模型引入到改進(jìn)的協(xié)同優(yōu)化方法中,減小了迭代計算量,提高了優(yōu)化效率,可快速精確地收斂到全局最優(yōu)解處.通過汽車盤式制動器的優(yōu)化設(shè)計,驗(yàn)證了本文方法的有效性與穩(wěn)定性.

多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化; 協(xié)同優(yōu)化; 松弛因子法; Kriging近似模型

多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化(Multidisciplinary Design Optimization,MDO)方法是由美籍波蘭裔數(shù)學(xué)家Sobieszczanski-Sobiesk提出的,應(yīng)用于大規(guī)模復(fù)雜工程系統(tǒng)的設(shè)計領(lǐng)域[1].MDO方法是一種通過充分探索和利用系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機(jī)制來設(shè)計復(fù)雜系統(tǒng)的方法[2].

MDO優(yōu)化算法是多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).常見的MDO優(yōu)化算法可分為單級優(yōu)化算法和多級優(yōu)化算法.多級優(yōu)化算法中的協(xié)同優(yōu)化(Collaborative Optimization,CO)方法因具有高度的學(xué)科自治性、學(xué)科組織結(jié)構(gòu)和現(xiàn)有工程設(shè)計良好的適應(yīng)性而引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[3-4].

然而CO方法仍然存在一些缺陷,系統(tǒng)級優(yōu)化中的一致性約束采取等式約束使得系統(tǒng)級在優(yōu)化過程中很可能不存在可行域.由于Kuhn-Tucker條件中的拉格朗日乘子不存在,或者學(xué)科間一致性約束函數(shù)在最優(yōu)解處的Jacobian矩陣不連續(xù),使得協(xié)同優(yōu)化方法中系統(tǒng)級優(yōu)化不能滿足Kuhn-Tucker條件[5].若設(shè)計空間非光滑,極易使迭代搜索到局部最優(yōu)處,這些缺陷使得CO方法在計算時存在收斂困難和對初始點(diǎn)選取比較敏感等問題.

針對上述問題,許多學(xué)者提出了改進(jìn)措施,如基于響應(yīng)面來接近一致性約束函數(shù)[6];在系統(tǒng)級目標(biāo)函數(shù)中引入一致性約束作為懲罰函數(shù)項(xiàng)[7];對系統(tǒng)級的等式約束進(jìn)行松弛,將一致性約束由嚴(yán)格等式約束形式改為不等式形式以及動態(tài)改寫松弛因子，等等[8-9]，這些方法主要是改變一致性約束的表達(dá)形式,其優(yōu)化結(jié)果仍受初始點(diǎn)的影響而表現(xiàn)得穩(wěn)定性不足或精度不夠.為此本文在對動態(tài)松弛因子法與固定松弛因子法的特性進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上,給出了一種融合全局逼近與局部精化的改進(jìn)協(xié)同優(yōu)化方法,避免了對初始點(diǎn)選取的敏感,能快速精確地收斂到全局最優(yōu)解,并以汽車盤式制動器為例,驗(yàn)證了該方法的可行性與穩(wěn)定性.

1 協(xié)同優(yōu)化方法的改進(jìn)

由于CO算法中系統(tǒng)級優(yōu)化中的一致性等式約束造成計算困難,故利用松弛因子法將系統(tǒng)級優(yōu)化改為[8]:

minF(Z)

(1)

子系統(tǒng)級優(yōu)化為

(2)

松弛因子ε在選定后在優(yōu)化過程中保持不變,即固定松弛因子.為了增強(qiáng)學(xué)科間的一致性,ε的值越小越好,但過小的ε值會致使系統(tǒng)級可行域過小或不存在,而ε值過大則會失去一致性約束的意義.為此基于學(xué)科間一致性信息來動態(tài)改寫松弛因子ε,此即動態(tài)松弛法[9].

(3)

圖1 動態(tài)松弛因子法幾何分析圖Fig.1 Geometry analysis of dynamic relaxation factor method

另外,式(3)對一致性信息的定義只適用于各子系統(tǒng)設(shè)計向量相同,且子系統(tǒng)個數(shù)為2的情況,對于多個子系統(tǒng)且子系統(tǒng)設(shè)計變量不相同的情況則不適用,使得基于動態(tài)松弛因子的CO方法存在局限性.觀察協(xié)同優(yōu)化子系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)可知,當(dāng)系統(tǒng)級分配的設(shè)計向量期望值越靠近子系統(tǒng)的可行域時,各子系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)值越小,子系統(tǒng)返回給系統(tǒng)級的優(yōu)化結(jié)果越能滿足系統(tǒng)級的一致性等式約束,即各子系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)值反映了系統(tǒng)級優(yōu)化中一致性約束的滿足程度,也體現(xiàn)了學(xué)科間一致性情況.故本文將一致性信息定義為如式4所示的各個子系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)值平方根和的均值,式中n為子系統(tǒng)的個數(shù).

(4)

3 基于Kriging近似模型的融合全局逼近與局部精化的CO方法

針對CO方法對初始點(diǎn)選取敏感和易陷入局部優(yōu)化的問題,SCO方法[10]采用全局和局部兩階段優(yōu)化,能較好地搜索到全局極值點(diǎn).該方法全局優(yōu)化階段需要根據(jù)學(xué)科間不一致信息值進(jìn)行松弛因子的切換,可能會引起目標(biāo)函數(shù)的反復(fù)震蕩現(xiàn)象,造成計算復(fù)雜,不利于求解收斂.基于前面分析,本文提出基于Kriging近似模型的融合全局逼近與局部精化的協(xié)同優(yōu)化方法,該方法融合了雙階段優(yōu)化的思想,但相比于SCO方法,全局優(yōu)化階段與局部優(yōu)化階段無須進(jìn)行松弛因子的切換,減少了迭代次數(shù),利于計算收斂,同時子系統(tǒng)分析中引入Kriging近似模型對復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)和約束進(jìn)行簡化,降低了計算復(fù)雜度,提高了優(yōu)化效率.其主要思想如下:

在協(xié)同優(yōu)化求解初始階段,學(xué)科間不一致性信息較大,此時采用較小的固定松弛因子不能保證得到充分的系統(tǒng)可行解,易使優(yōu)化點(diǎn)從非全局最優(yōu)附近進(jìn)入可行域,這也是造成標(biāo)準(zhǔn)CO方法的優(yōu)化結(jié)果對初始點(diǎn)選取敏感的原因.而動態(tài)松弛因子法能獲得較大的可行范圍,避免陷入局部最優(yōu).使用動態(tài)松弛法尋優(yōu)到全局極值點(diǎn)附近區(qū)域的這一過程稱為全局逼近尋優(yōu)階段.但由于動態(tài)松弛法計算精度不高,為了避免全局逼近尋優(yōu)誤差過大,本文在系統(tǒng)級中增加全體一致性約束條件,如式(5)所示.

(5)

式中：δ為全體一致性系數(shù),一般取[0.8,1).全局逼近尋優(yōu)后,優(yōu)化點(diǎn)在全局極值點(diǎn)附近,此時的學(xué)科間不一致信息較小,取較小的固定松弛因子能使優(yōu)化點(diǎn)從全局極值點(diǎn)附近區(qū)域迅速進(jìn)入系統(tǒng)可行域,從而快速精確地收斂到全局最優(yōu)點(diǎn),這一過程稱為局部精確尋優(yōu)階段.融合全局逼近與局部精化的協(xié)同優(yōu)化方法的框架如圖2所示.在全局逼近尋優(yōu)階段選用粒子群優(yōu)化算法PSO,利用其不計算函數(shù)梯度和全局尋優(yōu)能力強(qiáng)等特點(diǎn);在局部精確尋優(yōu)階段選用序列二次規(guī)劃算法NLPQL,利用其優(yōu)化速度快的特點(diǎn),又避免了其依賴初始點(diǎn)的選擇和易陷入局部解的缺點(diǎn).另外本文選用Kriging近似模型對于線性和非線性問題都具有較高的近似精度.

圖2 融合全局逼近與局部精化的協(xié)同優(yōu)化方法框架圖Fig.2 The framework of the proposed CO method

4 汽車盤式制動器實(shí)例分析

汽車盤式制動器由制動盤和制動鉗機(jī)構(gòu)組成.制動時缸筒中的高壓油推動活塞,進(jìn)而推動襯片與制動盤發(fā)生摩擦,將汽車動能轉(zhuǎn)化為制動盤的內(nèi)能,以便汽車減速制動,圖3為浮鉗盤式制動器結(jié)構(gòu)圖,設(shè)計變量及范圍見表1.

4.1 學(xué)科分析

運(yùn)動學(xué)科1:優(yōu)化目標(biāo)為“制動時間t最小”.約束條件包括:油缸內(nèi)油壓p0不超過規(guī)定范圍[pmax];制動片壓力q不應(yīng)超過規(guī)定值[qmax];制動矩不大于車輪與路面的附著力矩.φ為附著系數(shù),給定φ=1,r為輪胎滾動半徑;W1為單個車輪承受的總重量,單位N;f為制動盤與制動片間的摩擦因數(shù),取0.38.

結(jié)構(gòu)設(shè)計學(xué)科2:優(yōu)化目標(biāo)為“制動盤和制動片總質(zhì)量最小”.約束條件包括:制動片的壓力不應(yīng)超過其規(guī)定值;制動片不與輪轂發(fā)生干涉,Dn為輪轂直徑;制動片外徑不能大于制動盤的直徑;油缸不應(yīng)與輪轂發(fā)生干涉,tc為油缸壁厚;制動盤直徑不大于規(guī)定的最大值Dmax.

表1 盤式制動器設(shè)計變量

圖3 浮鉗盤式制動器結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure of disk brake

熱力學(xué)學(xué)科3:優(yōu)化目標(biāo)為“制動盤溫度T最小”.約束條件為制動后制動盤最高溫度不超過許用值[Tmax].

minf1(x)=t

minf3(x)=T

minf1(x)=m

tc=5 mm

(6)

4.2 盤式制動器多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計模型

將盤式制動器的優(yōu)化設(shè)計問題分解為系統(tǒng)級與3個子系統(tǒng)級的結(jié)構(gòu),其數(shù)學(xué)模型如下所示:

令{R1,R2,Dp,a,θ,p0,D}={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7}

系統(tǒng)級優(yōu)化:

minf(Z)=24t+4m+0.3T

(7)

子系統(tǒng)優(yōu)化:J1,J2,J3為3個子系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù),Z*為系統(tǒng)級分配給子系統(tǒng)的期望值;X1,X2,X3分別是3個子系統(tǒng)的設(shè)計變量.

(8)

4.3 基于多學(xué)科優(yōu)化軟件iSIGHT的自動優(yōu)化平臺的建立

基于iSIGHT建立了一個融合全局逼近和局部精化的協(xié)同優(yōu)化平臺,在學(xué)科分析中集成ANSYS有限元分析,有限元模型采用SOLID226的熱結(jié)構(gòu)耦合單元.用APDL語言求出全部空間離散點(diǎn)處在每一時刻的溫度值,找出最高溫度T值,輸出給熱力學(xué)科作為其目標(biāo)函數(shù)值.已知制動盤材料為ZG1Cr13,制動片材料為樹脂基復(fù)合材料,根據(jù)制動器幾何尺寸,使用APDL語言求出整個制動器質(zhì)量m值,輸出給結(jié)構(gòu)設(shè)計學(xué)科作為其目標(biāo)函數(shù)值.

自動優(yōu)化流程為:①對盤式制動器進(jìn)行參數(shù)化建模;②進(jìn)行網(wǎng)格劃分;③有限元仿真分析;④輸出仿真計算結(jié)果至優(yōu)化框架中;⑤對輸入的設(shè)計變量等相關(guān)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化并判斷是否收斂,收斂則輸出優(yōu)化解,否則更新設(shè)計變量返回第1步.為了降低子系統(tǒng)分析計算的復(fù)雜度,減少優(yōu)化時間,分別對運(yùn)動學(xué)、結(jié)構(gòu)學(xué)和熱力學(xué)3個子系統(tǒng)采用基于優(yōu)化拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計的取樣方法構(gòu)建了Kriging近似模型.

本文的優(yōu)化結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的優(yōu)化結(jié)果的對比如表2所示.

表2 優(yōu)化結(jié)果

由表2可知,全局逼近尋優(yōu)階段迭代301次后獲得逼近全局優(yōu)化解,將全局階段的優(yōu)化結(jié)果作為局部精確尋優(yōu)階段的初始值進(jìn)行優(yōu)化,經(jīng)過42此次迭代過程得到全局最優(yōu)解.與文獻(xiàn)[10]中采用多學(xué)科可行方向法的優(yōu)化結(jié)果對比可以看出,雖然制動器質(zhì)量m有些許增大,但制動時間t,制動溫度T都有改善,其中制動溫度T的降低較為明顯,說明了本文所提出的方法的可行性與有效性.

5 結(jié)語

本文給出了一種融合全局逼近與局部精化的協(xié)同優(yōu)化方法,基于對固定松弛因子法和動態(tài)松弛因子法特點(diǎn)的分析,將動態(tài)松弛變量法應(yīng)用于全局逼近尋優(yōu)階段,增加全體一致性約束,并選用粒子群優(yōu)化算法,以獲得靠近全局最優(yōu)解的點(diǎn),為局部精確尋優(yōu)階段提供了良好的初始點(diǎn).局部精確尋優(yōu)階段則采用較小的固定松弛因子,以序列二次規(guī)劃法NLPQL為優(yōu)化算法,可快速精確地收斂到全局最優(yōu)解處.通過汽車盤式制動器的優(yōu)化實(shí)例,驗(yàn)證了該方法的可行性與有效性.

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Collaborative optimization method via global approaching and local precision

Chen Liang, LU Wei, Huang Ya-qing

(College of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350108)

Due that the standard collaborative optimization method is sensitive to the initial point selection and easily converges to the local optimum, an improved collaborative optimization method is proposed based on the feature analysis via relaxation factor method. By combining global approaching with local precision via the fixed and dynamic relaxation factors, the Kriging approximation model is introduced to reduce iterative computation and improve optimization efficiency for global optimum. Therein, the disc brake is used as a case to illustrate the feasibility and stability of the proposed method.

multidisciplinary design optimization; collaborative optimization; relaxation factor; kriging approximation model

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014J01184)

陳 亮(1963-),男,教授,博士.E-maiL:cfjfz@qq.com

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1672-5581(2016)05-0394-05