李 紗， 張裕峰

(中國航天科工三院35所， 北京 100013)

極化敏感陣列的到達角和極化參數(shù)聯(lián)合估計方法

李 紗， 張裕峰

(中國航天科工三院35所， 北京 100013)

在應用傳統(tǒng)的空間譜(MUSIC)算法聯(lián)合估計來波信號到達角(DOA)和極化參數(shù)的時候，需要進行四維譜峰搜索，計算量巨大。針對極化敏感陣列，采用降維MUSIC算法聯(lián)合，可以估計信號的DOA和極化參數(shù)。利用極化矢量的范數(shù)為常數(shù)這一特點，采用Lagrange乘數(shù)法進行降維操作，轉(zhuǎn)換為方位角和俯仰角的二維譜峰搜索，同時可估計出極化相角和極化幅角，大大降低了算法實現(xiàn)的運算量。仿真結(jié)果證明了算法的有效性。

極化陣列； 降維算法； 聯(lián)合估計

0 引言

標量傳感器陣列(Scalar Sensor Array)系統(tǒng)的陣元僅能獲得空間電磁信號的一個場分量的信息。陣元的輸出為標量，只能反應接收信號的強度和相位信息，能夠利用的信息主要體現(xiàn)為相鄰陣元間空間相位延遲, 陣列信號處理僅為空域信號處理。

實際上,空間電磁信號是矢量信號,完備的電場和磁場信息為六維的復矢量。如果傳感器能夠獲得電磁信號的全部或部分(至少高于一維)信息,這樣的傳感器稱為電磁矢量傳感器(EM Vector Sensor),由矢量傳感器構(gòu)成的陣列稱為矢量傳感器陣列(Vector Sensor Array)。

由于矢量傳感器陣列對不同極化的電磁信號響應不同,可以敏感到空間電磁信號的極化信息,所以該陣列又稱為極化敏感陣列(Polarization Sensitive Array)。為了充分利用信號所攜帶的傳播方向信息和極化信息,近年來,基于矢量傳感器的極化敏感陣列得到了廣泛的研究[1-4]。理論上，極化敏感陣列可以具有任意的幾何形狀，陣元可以在空間任意排列，根據(jù)陣元之間的幾何關系，陣型結(jié)構(gòu)大致可以劃分為：線陣、圓環(huán)陣、平面陣以及立體陣等。

近年來出現(xiàn)了很多針對極化敏感陣列的DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計方法。大多算法是從標量傳感器陣列參數(shù)估計算法推廣應用而來,比如極化MUSIC和極化旋轉(zhuǎn)不變量信號參數(shù)估計(ESPRIT)算法[5-6],由于引入了極化信息使得基于極化陣列的參數(shù)估計不僅包含傳統(tǒng)DOA估計中的方位角和俯仰角,還包括兩個極化參數(shù),這就造成了估計參數(shù)的維數(shù)增加,隨之而來帶來的是計算復雜度和存儲空間的急劇增加。

例如，文獻[7]在現(xiàn)有方法的基礎上,充分利用陣列的孔徑信息,通過迭代搜索的方法改善了波達方向估計的精度，但是迭代運算量很大；文獻[8]研究了基于圓形 COLD 陣列的二維DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計算法,算法無需譜峰搜索并且可以實現(xiàn)四維參數(shù)的自動配對,但是參數(shù)估計的精度有待提高；文獻[9]提出的基于極化波達方向矩陣的MUSIC算法,能夠?qū)⑺木S譜峰搜索降為二維空間譜搜索同時保持聯(lián)合譜的估計性能,并且該方法對陣列結(jié)構(gòu)沒有限制,但是先估計極化參數(shù)再估計DOA的方法會帶來誤差積累。文獻[10]針對單個電磁矢量傳感器，在MUSIC算法的基礎上，利用約束最優(yōu)化的理論將四維搜索轉(zhuǎn)換為二維搜索，大大降低了運算量。

在本文中，基于由正交極化陣元組成的均勻圓陣，在傳統(tǒng)MUSIC算法的基礎上提出了一種更加有效的DOA和極化聯(lián)合估計算法。首先，根據(jù)MUSIC算法原理，建立四維譜函數(shù)，然后利用極化矢量的范數(shù)為常數(shù)這一特點，應用Lagrange乘數(shù)法進行降維操作，轉(zhuǎn)換為二維譜峰搜索，同時估計得到極化參數(shù)。相比于目前已有的一些降維算法，本文算法針對極化敏感陣列，對陣列形式?jīng)]有特別限制，并且可同時估計出到達角度和極化參數(shù)。

本文在介紹極化敏感陣列數(shù)學模型和MUSIC算法的基礎上，通過降維操作得到可以同時估計DOA和極化參數(shù)的降維MUSIC算法。最后通過計算機仿真證明了方法的有效性。

1 數(shù)學模型

假設在陣列遠場處有K個窄帶點源以平面波入射(這里假設入射信號個數(shù)K已知)，第k(k=1,2,…,K)個信號沿波束矢量的方向傳播，信源方位角為φk，俯仰角為θk。陣列由M個陣元構(gòu)成，陣元是由垂直正交的電偶極子組成，陣元在空間任意排列，第m個陣元的位置坐標矢量為Im=(xm,ym,zm)T。

ymsinθksinφk+zmcosθk)

(1)

即陣列的空域?qū)蚴噶繛?/p>

as(θk,φk)=[ejφ1k,ejφ2k,…,ejφMk]T

(2)

圖1 空間電磁波傳播示意圖

來波信號的電場矢量E，在兩正交單位矢量eθ，eφ的方向上分解，如圖2所示

圖2 電場矢量分解

電場矢量E的兩個分量可以表示為Vθ和Vφ,定義極化幅度角γ的正切值tanγ=|Vθ|/|Vφ|取值范圍[0,π/2]。在球面坐標系中,電場E可以表示成

E=Vθeθ+Vφeφ

(3)

式中：Vθ=sinγejη；Vφ=cosγ。參數(shù)η表示Vθ和Vφ這兩個電場分量的相位差,一般稱為極化相位角,其取值范圍 [-π,π]。參數(shù)(γ,η)的不同取值對應電磁波不同的極化狀態(tài)。

在空間直角坐標系中，式(3)中電場矢量可以分解為

E=Vθeθ+Vφeφ

=(Vθcosθcosφ-Vφsinφ)ex+

(Vθcosθsinφ+Vφcosφ)ey-(Vθsinθ)ez

(4)

將矢量寫成矩陣的形式有

(5)

位于原點處的單個正交偶極子天線，偶極子分別與坐標軸平行，僅可以接收與x軸和y軸平行的電磁波，于是單個正交雙極化天線的極化域-空域?qū)蚴噶繛?/p>

(6)

考慮接收K個信號時，因為天線陣中的每個陣元都是由短偶極子組成,其輸出電壓大小正比于沿偶極子接收的電場分量。則第m(m=1,2,…,M)個陣元的輸出可表示為

(7)

式中：nm(t)是單個陣元的接收噪聲矢量，nm(t)=[nmx(t)nmy(t)]T,均為高斯白噪聲，且各通道獨立。

則M個上述陣元組成的極化敏感陣列的接收數(shù)據(jù)可寫成如下形式:

x(t) =[x1x(t),…,xMx(t),x1y(t),…,xMy(t)]T

=AS(t)+N(t)

(8)

式中：X(t)為快拍2M×1接收信號矢量；S(t)為K×1入射信號矢量；N(t)為2M×1陣列噪聲矢量；A為2M×K維陣列流行矩陣。

A=[a1a2…ak…aK]

(9)

其中：

ak=a(θk,φk,γk,ηk)=ap(θk,φk,γk,ηk)?

(10)

其中：

?

as(θk,φk)

(11)

為一個2M×2的矩陣

(12)

2 MUSIC算法

采用N快拍數(shù)據(jù)，得到2M×N接收數(shù)據(jù)矩陣：

X=AS+N

(13)

接收信號的協(xié)方差矩陣為

RX=E(XXH)=ARSAH+σn2I

(14)

對協(xié)方差矩陣RX進行特征分解

RX=UUH

(15)

式中：矩陣U為特征矢量矩陣，對角陣由特征值組成

(16)

上式中特征值滿足如下關系

λ1≥λ2≥…≥λK>λK+1=…=λ2M=σn2

(17)

特征向量矩陣中的特征矢量可分為與大特征值(λ1,λ2,…,λK)對應的Us部分，即信號子空間，和與小特征值(λK+1,λK+2,…,λ2M)對應的Un部分，即噪聲子空間。利用噪聲子空間與信號子空間(陣列流型矩陣列空間)的正交性，進行角度解算。

(18)

3 降維MUSIC算法

為了降低MUSIC算法的運算量，迫切需要尋找降維算法。針對第k個信號的陣列流行矢量可以由僅包含角度參數(shù)的矢量和僅包含極化參數(shù)的矢量的乘積表示，即

a(θk,φk,γk,ηk)=Ω(θk,φk)ω(γk,ηk)

(20)

由式(12)可知極化參數(shù)矢量ω滿足ωHω=1，因此MUSIC譜函數(shù)進一步可以表示為

(21)

即要求在ωHω=1約束條件下，求MUSIC譜函數(shù)的最小點。將其歸納到一個約束最優(yōu)化問題，利用Lagrange乘數(shù)法進行降維操作。

定義

B=ΩHUnUnHΩ

(22)

問題簡化為在ωHω=1的情況下，ωHBω的最小值。

利用Lagrange乘數(shù)法，構(gòu)造代價函數(shù)：

L(λ,ω)=ωHBω+λ(1-ωHω)

(23)

共軛梯度為零向量有

=Bω-λω=0

(24)

從上式可以看到

Bω-λω=0?(B-λI)ω=0

(25)

當λ為B的特征值時，ωHBω達到最小值，由于B為一個2×2的矩陣，存在兩個特征值；當λ為B的最小特征值時，ωHBω達到名副其實的最小值，并且此時最小值等于該角度點上B的最小特征值。

那么，角度求解就轉(zhuǎn)換為

(26)

運算復雜度等同于二維空間譜估計，成功實現(xiàn)降維操作。

ω為B的特征矢量，結(jié)合式(12)，則利用特征矢量估計可以得到極化參數(shù)估計結(jié)果。

4 仿真結(jié)果

考慮10個正交極化天線組成均勻圓陣，陣元間距為0.5倍波長，如圖3所示。

采樣快拍數(shù)N設置為200，噪聲方差為1，所有信號的信噪比均為SNR=10 dB。假設入射信號均為遠場的窄帶平面波，且信源之間相互獨立。

圖3 正交偶極子圓陣

(1)算法的參數(shù)估計效果

一個信號參量為(θ,φ,γ,η)=(10°,40°,30°,60°),另一個信號參量為(θ,φ,γ,η)=(40°,60°,45°,90°),兩信號到達角和極化參量均不相同,此時聯(lián)合譜呈現(xiàn)兩個譜峰,譜峰比較尖銳,可以清晰地分辨兩個信號,從右邊的等高線圖中也可以估計出譜峰的位置,即信號的空間到達角。

圖4 本文算法聯(lián)合估計結(jié)果

均方根誤差(RMSE)作為DOA估計性能和極化參數(shù)估計性能的衡量指標，信號參量(θ,φ,γ,η)=(10°,100°,15°,40°),進行100次Monte Carlo實驗，RMSE定義如下:

(27)

式中：Θk(n)表示四個估計參數(shù)中的任一個。

表1 本文算法參數(shù)估計RMSE

(2)參數(shù)估計誤差與快拍數(shù)的關系

令SNR為10 dB，快拍數(shù)以100為間隔，從100變到1 000，估計的均方根誤差如圖5所示。

圖5 快拍數(shù)變化時的RMSE

(3)參數(shù)估計誤差與信噪比的關系

令快拍數(shù)為200，信噪比以2 dB為間隔，從6變到20，估計的均方根誤差如圖6所示。

圖6 信噪比變化時均方根誤差

5 結(jié)論

本文基于極化敏感陣列提出了DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計的降維MUSIC方法。在DOA和極化參數(shù)均未知的情況下，利用約束最優(yōu)化方法，將待估計參數(shù)進行降維操作，可同時估出信號的DOA和極化參數(shù)，在保證陣列分辨性能和精度的基礎上，降低了所需的運算量。仿真結(jié)果表明了該方法有效性。

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Joint Estimation Method of DOA and Polarization Parameters for Polarization Sensitive Array

LISha,ZHANGYu-feng

(No.35 Research Institute of CASIC, Beijing 100013, China)

Estimating the directions of arrival(DOA) and the polarization parameters of signals using the traditional spatial spectrum algorithm (MUSIC) requires s a four-dimensional peak search, which hence incures vast amount of computation. For the polarization sensitive array, the directions of arrival and the polarization parameters of signals are estimated by the reduced dimention MUSIC algorithm. A four-dimentional MUSIC search reduced the dimention to two-dimentional searches, by using Lagrange multiplier method,under the condition that the 2-norm of polarization function vector is constant. The algorithm estimates azimuth angle and elevation angle in two-dimentional searches and estimates the amplitude angle and the phase angle of polarization simultaneously, which grately reduces the amount of computation. The theoretical analysis and simulation results have verified the effectiveness of the proposed algorithm.

polarization array; reduced dimention algorithm; joint estimation

1671-0576(2016)04-0048-06

TN823

A

2016-09-15

李 紗(1991-)，女，在讀碩士，主要從事共形天線測向技術研究；張裕峰(1983-)，男，高級工程師，博士，主要從事反輻射制導、復合制導技術研究。