? 唐朝暉

教好“因式分解”的體會(huì)

? 唐朝暉

因式分解在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著十分重要的地位，因此必須使學(xué)生能夠熟練正確地進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解。怎樣教好“因式分解”這一章，我的體會(huì)是要著重抓好以下幾個(gè)方面：

一、運(yùn)用類比、對(duì)比的方法講清因式分解的意義，使學(xué)生正確理解什么是分解因式

正確理解因式分解的意義是學(xué)好因式分解的前提。教材中指出“把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分解”。這就是說，分解因式就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，或多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積的形式的過程。初一學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，不少人常常把“a2-ab+b2=a(a-b)+b2”當(dāng)成因式分解，或者混淆乘法運(yùn)算與因式分解的區(qū)別。如何幫助學(xué)生明確因式分解的意義呢？

我的做法是：①通過與算術(shù)中的因式分解進(jìn)行類比，引出代數(shù)中的因式分解，在類比中使學(xué)生掌握新概念。首先從“6=2×3”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生回憶在算術(shù)中，把一個(gè)整數(shù)化為幾個(gè)整數(shù)的積的形式叫做因式分解，從而類比：“a2-b2=(a+b)(a-b)”，啟發(fā)學(xué)生說出多項(xiàng)式因式分解的意義。這樣，使學(xué)生容易懂得什么是多項(xiàng)式的因式分解，加深他們的理解，又可防止將“a2- ab +b2= a(a-b)+ b2”(類比：29=4×7+1)誤認(rèn)為是因式分解的錯(cuò)誤。②通過對(duì)比“(a+b)(a-b)= a2-b2”與“a2-b2=(a+b)(a-b)”使學(xué)生認(rèn)識(shí)乘法運(yùn)算與因式分解的聯(lián)系，分清它們之間的區(qū)別，進(jìn)一步明確因式分解的意義。不少學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，常易發(fā)生類似“y4-8y=y(y3-8)= y(y-2)(y2+2 y +2)=( y2-2y)(y2+2y+2)”的錯(cuò)誤，這說明他們混淆了乘法運(yùn)算與因式分解的區(qū)別。因此，教學(xué)中注意把因式分解與乘法運(yùn)算進(jìn)行對(duì)比，有著重要的意義。③通過辨別正確與錯(cuò)誤的練習(xí)，防止學(xué)生“先入為主”地形成錯(cuò)誤的概念，加深學(xué)生對(duì)正確概念的理解。

當(dāng)然，學(xué)生對(duì)于因式分解的概念不是也不可能是一次就能真正理解的，我們既要重視第一次概念課的教學(xué)，又要在以后解各類因式分解的習(xí)題中逐步幫助學(xué)生理解因式分解的意義。

二、堅(jiān)持由淺入深，循序漸進(jìn)的原則，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)解各類因式分解的習(xí)題

學(xué)生學(xué)習(xí)新的東西，正確理解基礎(chǔ)知識(shí)都有一個(gè)由淺入深、由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程。為此，我們?cè)诮虒W(xué)中必須從最基本的入學(xué)，逐步過渡到比較復(fù)雜的和帶有綜合性的問題，那種操之過急的做法，只會(huì)使學(xué)生囫圇吞棗，結(jié)果是欲速則不達(dá)。

我們以應(yīng)用平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”分解因式為例。教材中先舉出了x2-16的例子，這里a、b都是單一字母或整數(shù)；接著 9m2-4n2=(3m)2-(2n)2，a、b都是系數(shù)為整數(shù)的單項(xiàng)式；

m2-0.01 n2=(m)2-(0.1n)2，a、b 都是單項(xiàng)式，系統(tǒng)出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)或小數(shù)；進(jìn)一步，又安排了 (x+p)2-(x+q)2，16(a-b)2-9(a+b)2等a、b都是多項(xiàng)式的例子。在練習(xí)和習(xí)題中、復(fù)習(xí)題中，教材也注意了由淺入深的原則，逐步出現(xiàn)了

(a+b+c)2-(a+b-c)2，81a4-b4， 3ax2-3ay4，

(a-b)n+2-(a-b)n，(a2+b2-1)2-4a2b2，……

等習(xí)題，堅(jiān)持從簡單到復(fù)雜的安排例、習(xí)題，逐步說明公式的使用方法，使學(xué)生打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，有利于他們今后的學(xué)習(xí)。

三、加強(qiáng)學(xué)生使用字母的能力的訓(xùn)練

用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，就必須善于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)問題又經(jīng)常用字母和符號(hào)來表達(dá)。初一學(xué)生剛剛用字母表示數(shù)，他們還不習(xí)慣于字母表示式子，對(duì)字母的使用能力還不強(qiáng)。因此，在因式分解的教學(xué)中要注意訓(xùn)練學(xué)生使用字母的能力，為今后進(jìn)一步用式子述打下基礎(chǔ)。

四、注意培養(yǎng)學(xué)生掌握一些處理問題的方法，提高分析問題和解決問題的能力

因式分解的教學(xué)中，在講了四種基本方法以后，應(yīng)結(jié)合綜合性訓(xùn)練幫助學(xué)生歸納出把不念舊惡多項(xiàng)式分解因式的大致思考步驟，要使學(xué)生對(duì)于先考慮什么，后考慮什么，從哪幾方面考慮，怎樣作具體的分析有一個(gè)大致的輪廓。

一般說來，把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，首先考慮提取公因式，然后再考慮其它的方法。這里應(yīng)該注意：如果有些項(xiàng)是分?jǐn)?shù)系數(shù)，不便于觀察時(shí)，我們可以應(yīng)用通分(或撮一個(gè)分?jǐn)?shù)公因式)的方法，將各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)系數(shù)，例如：

然后進(jìn)行因式分解。

提取公因式后，往往是根據(jù)項(xiàng)數(shù)的多少來考慮因式分解的方法。在教學(xué)中，我的體會(huì)是：①對(duì)于二項(xiàng)式，首先考慮應(yīng)用平方差、立方和(差)公式，對(duì)于某些雙二次或其它特殊類型的，也可采用配方法。例如：x4+64=(x4+16x2+64)-16x2。②對(duì)于三項(xiàng)式，則考慮運(yùn)用完全平方公式、十字相乘法或配方法、拆項(xiàng)添項(xiàng)法。例如x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)或者x3-7x+6=(x3-x2)+(x2-7x+6)在應(yīng)用拆項(xiàng)添項(xiàng)方法時(shí)，一般應(yīng)注意：多項(xiàng)式按降冪排列；最高次項(xiàng)不變，第二項(xiàng)系數(shù)必須是常項(xiàng)的約數(shù)；如果拆項(xiàng)添項(xiàng)后成為偶數(shù)項(xiàng)，分組分解時(shí)，或考慮用公式法，或考慮第一、第二項(xiàng)、第三、四項(xiàng)，……的系數(shù)比應(yīng)該相等。④對(duì)于四項(xiàng)式，由于學(xué)生還未學(xué)習(xí)完全立方公式，所以主要用分組分解法。四項(xiàng)式的分組，不外二、二分組或一、三分組，對(duì)于二、二分組的主要考慮用提公因式法或公式法。例如：

xy+yz+xz+x2=(xy+yz)+(xz+x2)=y(x+z)+x(x+z)

=(x+z)·(x+y)

b3-b2-a3+a2=(a2-b2)-(a3-b3)

=(a+b)(a-b)-(a-b)(a2+ab+b2)

=(a-b)(a+b+a2+ab+b2)

對(duì)于一、三分組的，多用公式法。⑤對(duì)于五項(xiàng)式或五項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，一般應(yīng)考慮用分組分解，但要注意某此特殊多項(xiàng)式的分解方法。例如：

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2,

x2-xy-2y2+4x-5y+3=(x-2y)(x+y)+(4x-5y)+3=(x-2y+1)(x+y+3),

等等。

總之，在因式分解的教學(xué)中，學(xué)生掌握了一般方法和規(guī)律后，老師要嚴(yán)格要求他們多練、反復(fù)練，使學(xué)生做到舉一反三，熟能生巧，對(duì)于一般分解因式的習(xí)題能夠一目了然，很快寫出結(jié)果，為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

湖北省荊州市少年兒童體育學(xué)校 434000)