□梁燕

在“破”與“立”中，加深概念理解
——基于“倍的認(rèn)識(shí)”一課典型課例的思考

□梁燕

人教版教材修訂后，“倍”的教學(xué)在內(nèi)容編寫上發(fā)生了較大的變化，面對(duì)這個(gè)改變，作為承上啟下的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，教師應(yīng)重新審視、對(duì)比教材，調(diào)查學(xué)情，初步厘清“什么是倍”“為什么要教倍”“如何去教倍”，并在此基礎(chǔ)上重新定位教學(xué)目標(biāo)，在“破”與“立”中拓展表征概念的空間，重視構(gòu)建“倍”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而更好地體現(xiàn)和豐富“倍”的內(nèi)涵。

破與立 數(shù)學(xué)概念 認(rèn)知結(jié)構(gòu) 模型建構(gòu)

人教版“倍”的教學(xué)將原來(lái)分散在二年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容后移至三年級(jí)上冊(cè)，安排在一個(gè)單元進(jìn)行教學(xué)，“倍的認(rèn)識(shí)”看似獨(dú)立為一課難度降低了不少，但依然是一個(gè)難點(diǎn)。因?yàn)檎J(rèn)識(shí)“倍”是學(xué)生從“加法結(jié)構(gòu)”到“乘法結(jié)構(gòu)”的一次質(zhì)的轉(zhuǎn)化，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大困難；另外“倍”的概念涉及兩個(gè)量的比較，十分抽象且不易理解，單純的告知學(xué)生只是停留在模仿階段，“倍的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課是學(xué)生認(rèn)識(shí)“倍”概念的起始課，從“倍”開(kāi)始，學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的腳步算是踏進(jìn)了“率”的大門，同時(shí)這也是一節(jié)種子課，這節(jié)課概念建構(gòu)扎實(shí)與否將影響本單元解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、比、百分?jǐn)?shù)等的內(nèi)容提供基礎(chǔ)模型。如何幫助學(xué)生建立“倍”的直觀模型，認(rèn)識(shí)“倍”概念的本質(zhì)特征，如何理解用倍表達(dá)數(shù)量之間關(guān)系的價(jià)值和必要性，如何選擇學(xué)習(xí)材料，最終讓學(xué)生更清晰地建構(gòu)“倍”的概念，帶著這些問(wèn)題，我們深入理解，重新思考。

一、剖析認(rèn)知結(jié)構(gòu)，精準(zhǔn)設(shè)定教學(xué)目標(biāo)

學(xué)生為什么需要學(xué)“倍”呢？“初步認(rèn)識(shí)”只是停留在初步較淺層面嗎？“倍”的知識(shí)點(diǎn)在整個(gè)教材體系中又有何作用呢？帶著這樣的思考，我們對(duì)教材的例題、習(xí)題及復(fù)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行研讀，也分析不同版本的設(shè)計(jì)，收集雜志上的文章等，形成了簡(jiǎn)要的綜述，使我們對(duì)教材的編排意圖與教學(xué)目標(biāo)逐漸清晰起來(lái)。

從目前的研究來(lái)看，劉加霞教授認(rèn)為“倍”是從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。乘法結(jié)構(gòu)不是指單一的認(rèn)識(shí)乘法，而是一個(gè)概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關(guān)的有倍、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、運(yùn)算律及面積、體積、速度等概念和定律。這樣看來(lái)，我們既可以從乘法結(jié)構(gòu)聚焦到“倍的認(rèn)識(shí)”，也可以從“倍的認(rèn)識(shí)”輻射到乘法結(jié)構(gòu)。

從眾多發(fā)表的文章中梳理，我們可以發(fā)現(xiàn)許多教師把“倍”看成是刻畫兩個(gè)量之間關(guān)系的一種表達(dá)方式，其核心是用一個(gè)量去刻畫另一個(gè)量，“倍”代表著兩個(gè)數(shù)量間的比較關(guān)系。我們更傾向認(rèn)為“倍”是刻畫兩個(gè)量之間關(guān)系的眾多表達(dá)方式中的一種，“倍”是學(xué)生在刻畫兩個(gè)量之間關(guān)系的時(shí)候，第一次從絕對(duì)數(shù)量的比多少到相對(duì)數(shù)量關(guān)系比較的轉(zhuǎn)變，這對(duì)學(xué)生即將接觸到的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比甚至以后的函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，起著至關(guān)重要的作用。我們認(rèn)為這和其他的刻畫方式屬于不同地位，所以一方面要與眾多的刻畫方式建立起聯(lián)系，另一方面又要將“關(guān)系系統(tǒng)擴(kuò)容”，將“倍”特有的刻畫方式準(zhǔn)確地納入到表達(dá)關(guān)系的這一知識(shí)體系當(dāng)中，因此我們?cè)诮虒W(xué)中有意識(shí)地作了關(guān)注。

二、拓展表征空間，合理選擇教學(xué)方法

有清晰的目標(biāo)引導(dǎo)，那么我們可以根據(jù)倍的概念以及學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去選擇教學(xué)材料了。我們覺(jué)得要關(guān)注以下幾點(diǎn)。

（一）情境的切入需要認(rèn)知沖突產(chǎn)生不平衡

“倍的認(rèn)識(shí)”一課，人教版教科書則是讓學(xué)生在用小棒拼擺圖形的過(guò)程中建立“倍”的概念。在實(shí)際教學(xué)中，嘗試了多種情境創(chuàng)設(shè)，教師進(jìn)一步將教材中的情境轉(zhuǎn)換成各種各樣有趣的情境，如以猜數(shù)游戲引入，有的利用拍手歌激趣，有的引導(dǎo)學(xué)生從動(dòng)手?jǐn)[不同顏色的圖片中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，有的讓學(xué)生比較不同事物的數(shù)量關(guān)系或比較物體的長(zhǎng)度關(guān)系，有的創(chuàng)設(shè)挑戰(zhàn)三個(gè)卡通人物帶來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境……多數(shù)教師把“倍”看成是刻畫兩個(gè)量之間關(guān)系的一種表達(dá)方式，因此教師往往從研究關(guān)系入手，直接告知學(xué)生“倍”的關(guān)系。也有教師在教學(xué)時(shí)先出示3個(gè)紅圓片、3個(gè)黃圓片，問(wèn)學(xué)生兩種圓片的數(shù)量有怎樣的關(guān)系，然后增加3個(gè)黃圓片，再讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)3個(gè)紅圓片和6個(gè)黃圓片之間又有怎樣的關(guān)系。學(xué)生會(huì)最先發(fā)現(xiàn)多少的關(guān)系，然后教師就過(guò)渡到了倍的關(guān)系。

我們還嘗試了“魔盒”情境，如下圖。今天老師還給你們帶來(lái)了一個(gè)魔術(shù)盒，想不想看？（出示盒子）這可不是一般的盒子，它可是有魔力的哦！仔細(xì)觀察，再想一想，如果放進(jìn)去4個(gè)黑圓片，出來(lái)的會(huì)是什么呢？請(qǐng)你在練習(xí)紙上畫一畫。

像這樣黑子有4顆，白子有3個(gè)4顆，我們就說(shuō)白子的個(gè)數(shù)是黑子的3倍。這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“倍的認(rèn)識(shí)”。

我們認(rèn)為這樣的設(shè)計(jì)學(xué)生試圖在尋找規(guī)律，創(chuàng)設(shè)這樣的情境，也不足以使學(xué)生打破原有的認(rèn)知中關(guān)于加法的結(jié)構(gòu)。如何設(shè)計(jì)具有推陳出新的情境達(dá)到破與立的效果呢？我們認(rèn)為讓學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)，情境需要產(chǎn)生認(rèn)知沖突，產(chǎn)生了認(rèn)知需求的不平衡才有利于結(jié)構(gòu)重建（詳見(jiàn)第三部分我們的設(shè)計(jì)）。

（二）建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要對(duì)比與抽象

“概念形成需要這樣的過(guò)程，即建立完整表象之后抽象為概念，實(shí)現(xiàn)抽象概念后在思維過(guò)程中的又能具體再現(xiàn)。”那么比較是我們教學(xué)時(shí)采用的重要手段。在學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作等手段初步認(rèn)識(shí)“倍”后，如何讓學(xué)生進(jìn)一步理解“倍”的概念呢？這就需要我們引導(dǎo)學(xué)生在不斷對(duì)比與抽象中，舍棄“倍”的各種非本質(zhì)特征，在變化中抓住“不變”，而這“不變”就是“倍”的本質(zhì)。我們?cè)诮虒W(xué)中設(shè)計(jì)多個(gè)比較的環(huán)節(jié)，如“一份數(shù)在變，幾份數(shù)也在變，倍數(shù)卻不變”等情境，通過(guò)比較引導(dǎo)學(xué)生逐步明晰和把握概念的本質(zhì)，使他們的認(rèn)知和理解不斷深入。

三、分析概念“內(nèi)涵”，科學(xué)設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)

據(jù)此我們認(rèn)為，對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)，應(yīng)該是一種的新關(guān)系的認(rèn)識(shí)，是對(duì)關(guān)系概念的擴(kuò)展，兩種量不僅表示數(shù)量的相差，還可以表示份數(shù)多少的關(guān)系，我們要幫助學(xué)生完成對(duì)“關(guān)系”系統(tǒng)的重構(gòu)。我們厘清了“倍”的定位，站在“關(guān)系系統(tǒng)重構(gòu)”的高度，確定整體的教學(xué)方向。

定位了課的教學(xué)目標(biāo)、充實(shí)概念理解的材料之后，還得在各環(huán)節(jié)教學(xué)中落實(shí)。如何將“倍”的含義分解到新知學(xué)習(xí)—練習(xí)鞏固—總結(jié)延伸等教學(xué)環(huán)節(jié)形成教學(xué)鏈，我們進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)。

（一）新知學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，破與立中建表象

從認(rèn)知心理學(xué)看，“理解某個(gè)東西是指將它納入一個(gè)恰當(dāng)?shù)膱D式”。圖式就是一組相互聯(lián)結(jié)的概念，圖式越豐富，就越能處理相關(guān)的變式情境。要讓學(xué)生建立“倍”的豐富圖式，可對(duì)“倍”的意義進(jìn)行如下統(tǒng)整。

這兩幅圖中隱藏著什么秘密呢？根據(jù)前面兩幅圖的規(guī)律，猜猜第二行老師會(huì)怎么畫呢？有想法了嗎？把它畫在你的紙上。

反饋交流時(shí)，先反饋從比多少的角度畫的情況，再著重反饋從“倍”的角度畫的情況。以三個(gè)承接性的問(wèn)題“你一圈我們就看懂你的想法，為什么4個(gè)一圈?。楷F(xiàn)在你發(fā)現(xiàn)三幅圖中蘊(yùn)含的一個(gè)共同的秘密了嗎？3倍，哪里看出都是3倍？”為引導(dǎo)，在尋找共同點(diǎn)中揭示倍概念。抽象出倍模型的環(huán)節(jié)，是破加法結(jié)構(gòu)后建立乘法結(jié)構(gòu)過(guò)程中較為關(guān)鍵的一步，可以這樣進(jìn)行：

框里可以畫幾個(gè)？學(xué)生說(shuō)可以有很多個(gè)，只要每個(gè)框里一樣多。教師追問(wèn)：第二行拿掉1份，現(xiàn)在是（）倍，再拿掉1份呢？增加1份呢，再增加2份呢？現(xiàn)在誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)為什么是5倍？學(xué)生：第一行有1份，第二行有這樣的5份，那么就說(shuō)第二行的個(gè)數(shù)是第一行的5倍。

豐富模型建立表象的新知學(xué)習(xí)統(tǒng)整，我們先破學(xué)生認(rèn)知中的“加法結(jié)構(gòu)”，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)，還有“份”的關(guān)系藏在其中；接著從三幅圖中去尋找它們的共同點(diǎn)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到三幅圖中的數(shù)量都是不同的，但是它們之間的關(guān)系卻都是相同的，再在畫一畫、圈一圈、指一指、說(shuō)一說(shuō)等豐富的活動(dòng)中讓學(xué)生初步建構(gòu)“第一行是1份，第二行有這樣的3份”的模型，從而初步建立模型的表象。

（二）核心習(xí)題環(huán)節(jié)，反向構(gòu)建明標(biāo)準(zhǔn)

概念的核心問(wèn)題設(shè)計(jì)，通常要圍繞核心知識(shí)進(jìn)行各種變式，在變式訓(xùn)練的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)、線、面、體，將看似零散的習(xí)題組成一個(gè)個(gè)題組模塊，進(jìn)而在引導(dǎo)學(xué)生不斷將數(shù)學(xué)概念知識(shí)簡(jiǎn)約化、模塊化、集成化的過(guò)程中，逐步完善自己的數(shù)學(xué)概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)。我們的習(xí)題組是這樣設(shè)計(jì)的：

課件出示：圓形的個(gè)數(shù)是正方形的2倍。

師：一起讀一讀，能讀明白嗎？你能不能用一幅圖來(lái)表示這句話。（學(xué)生畫圖）

從一句話去構(gòu)建一幅圖，這個(gè)反向構(gòu)建的活動(dòng)是對(duì)“倍”概念深化的重要表征。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，因?yàn)閱?wèn)題情境較開(kāi)放，學(xué)生先要去考慮“1份”（正方形的個(gè)數(shù)）是多少，再根據(jù)“1份”去找“2份”（圓形的個(gè)數(shù)）。通過(guò)“你先畫了什么”“你先圈了什么”等問(wèn)題，讓學(xué)生知道應(yīng)該先確定1份數(shù)作為參照，再根據(jù)1份數(shù)去畫2份數(shù)，讓學(xué)生感知先確定一份數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的重要性，把標(biāo)準(zhǔn)在乘法關(guān)系結(jié)構(gòu)中的地位凸顯出來(lái)。

（三）應(yīng)用拓展環(huán)節(jié)，變與不變深化運(yùn)用

為了讓學(xué)生有意識(shí)地用“倍”的眼光去表達(dá)，我們?cè)O(shè)計(jì)數(shù)量不同，但是它們之間的關(guān)系卻是相同的情境。

1.分別說(shuō)的是哪一幅圖

兩位小朋友在討論這兩幅圖，猜猜他們分別說(shuō)的是哪一幅圖呢？用手勢(shì)表示。

師：兩幅圖紅蘿卜的根數(shù)是白蘿卜的4倍，你是怎么看出來(lái)的？同桌交流一下。

這兩位小朋友，你覺(jué)得誰(shuí)說(shuō)的話最有水平？為什么？

師：紅蘿卜的根數(shù)是白蘿卜的4倍，還可以表示紅蘿卜有幾根，白蘿卜有幾根？

2.把兩幅圖的意思一起說(shuō)出來(lái)

師：繼續(xù)接受挑戰(zhàn)嗎？我們先來(lái)看看圖的意思，男生有幾人？女生有幾人？

師：這兩幅圖的數(shù)量是不一樣的對(duì)嗎？想一想你能不能學(xué)學(xué)剛才聰明的小B說(shuō)一句話，就能把兩幅圖的意思都說(shuō)出來(lái)。

師：如果你已經(jīng)想到了，請(qǐng)你把這句話寫下來(lái)，如果還不會(huì)，請(qǐng)和你的同桌討論一下。

師：讀一讀：男生的人數(shù)是女生的3倍。

師：你是怎么看出來(lái)的，誰(shuí)上來(lái)指一指。

師：很厲害，他先圈了什么？再圈什么？

3.演一演

“男生的人數(shù)是女生的3倍”這句話我們現(xiàn)場(chǎng)表示出來(lái)，行嗎？

A：先請(qǐng)3名女生上來(lái)，（思考：這時(shí)該上來(lái)幾位男生呢？）陸續(xù)上來(lái)3組男生，得出男生是女生的1倍、2倍、3倍。

B：增加1名女生，現(xiàn)在男生是女生的幾倍？C：減少2名女生，現(xiàn)在男生是女生的幾倍？

D：剩下一名女生，你能用一句話來(lái)說(shuō)一說(shuō)嗎？

知識(shí)點(diǎn)本身是有難度的，變化符合學(xué)生學(xué)習(xí)天性，當(dāng)學(xué)生一聽(tīng)到自己可以創(chuàng)造，學(xué)生的積極性被調(diào)動(dòng)起來(lái)，顯得非常的興奮?！氨丁辈皇菃我坏某朔ńY(jié)構(gòu)，它是乘法意義的拓展與延伸，但同時(shí)也包含對(duì)除法意義的理解，這無(wú)疑會(huì)對(duì)初次理解“倍”的概念抽取出倍的模型，也很好地運(yùn)用了模型解決問(wèn)題。

概念學(xué)習(xí)是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的，也是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，只有當(dāng)學(xué)生多角度、多層面地理解了概念，才能夠順利向“形式化定義”的階段過(guò)渡。概念教學(xué)任重而道遠(yuǎn)，我們?cè)谠O(shè)計(jì)本課時(shí)，在對(duì)本課的研究中筆者最大的感觸是不能為了教概念而教，而是要清晰地知道概念的來(lái)龍去脈，確切把握概念教學(xué)課的屬性，關(guān)注“倍”的產(chǎn)生（比較的需要）、“倍”的意義（亦即內(nèi)涵）以及獲得“倍”概念后的概念運(yùn)用等。本節(jié)概念課設(shè)計(jì)與創(chuàng)新之處在于，一是在認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立之時(shí)采用“先破再立”的手段，使模型更清晰；二是在關(guān)注它與后續(xù)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的連接點(diǎn)——把誰(shuí)看作“1份”（標(biāo)準(zhǔn)量）。關(guān)注本質(zhì)，關(guān)注聯(lián)系，綜觀整體，在“破”與“立”中讓概念教學(xué)更加扎實(shí)而有效。

[1]劉加霞.從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)：“倍”是轉(zhuǎn)折點(diǎn)——評(píng)析高麗杰老師的“倍的初步認(rèn)識(shí)”[J].小學(xué)教學(xué)，2010（7-8）.

[2]顧曉東.基于已有經(jīng)驗(yàn)的意義關(guān)聯(lián)——“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)反思與改進(jìn)[J].小學(xué)教學(xué)參考，2014（1）.

（浙江省嘉興市嘉善縣第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) 314100）