□俞正強(qiáng)

從“正常水平的發(fā)揮”到“平均數(shù)”的理解*
——“平均數(shù)”的前概念研究

□俞正強(qiáng)

編者按

前概念研究

本刊在2016年1～2期對吳衛(wèi)東教授及其團(tuán)隊(duì)關(guān)于小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)前概念研究的部分成果進(jìn)行了展示，為教師提供了較好的教學(xué)參考，本期繼續(xù)刊登其教學(xué)實(shí)踐成果，歡迎教師加以關(guān)注。

平均數(shù)是一個(gè)學(xué)生易學(xué)會用，卻難以理解的數(shù)學(xué)概念。但在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)中其實(shí)有這樣一個(gè)概念，這個(gè)概念就是“正常水平或正常發(fā)揮”，與超常和失常相連。教學(xué)的任務(wù)便是發(fā)現(xiàn)并建立兩者之間的聯(lián)系，理解便自然而然了。

平均數(shù) 正常水平 超常（失常）水平

平均數(shù)，從學(xué)生數(shù)感的發(fā)展而言，是對虛擬數(shù)的第一次理解。因此，如何讓小學(xué)生理解“平均數(shù)”這一概念是十分值得研究的。

一、我們現(xiàn)在這樣教

通常我們在課堂教學(xué)中，學(xué)習(xí)平均數(shù)會從一個(gè)事例開始，如下面所設(shè)事例。

材料：

男生組投籃統(tǒng)計(jì)

姓名小剛小強(qiáng) 小明 小方數(shù)量 11 13 10 6

女生組投籃統(tǒng)計(jì)

姓名 小麗 小紅 小佳數(shù)量 12 11 10

問題：哪一組的水平高？

設(shè)計(jì)這份材料與問題的意圖是基于對平均數(shù)的一種認(rèn)識。

學(xué)生進(jìn)行大小比較或水平比較的發(fā)展流程是這樣的：

發(fā)展水平一：“單個(gè)間”的水平比較，比單個(gè)的多少。比如甲投中7個(gè)，乙投中6個(gè)，甲的水平高。

發(fā)展水平二：相同個(gè)數(shù)“組”的水平比較，比相同成員間的總數(shù)。比如甲組7個(gè)和9個(gè)，相同個(gè)數(shù)的乙組8個(gè)和10個(gè)。7+9與8+10比較，和大者水平高。

發(fā)展水平三：不同個(gè)數(shù)“組”的水平比較，此時(shí)如果比成員間的總數(shù)不公平，這就需要比平均數(shù)。

這個(gè)認(rèn)識的結(jié)果是學(xué)生在學(xué)習(xí)平均數(shù)時(shí)，他們的認(rèn)識主要有以下兩部分內(nèi)容：（1）平均數(shù)的用途是公平地比較兩組成員之間的水平高低。（2）平均數(shù)可以通過總數(shù)除以份數(shù)來求得。

二、“平均數(shù)”的概念在哪里

知道平均數(shù)的用途，是平均數(shù)的概念嗎？

知道求平均數(shù)的方法，是平均數(shù)的概念嗎？

平均數(shù)的概念有兩個(gè)要點(diǎn)：（1）它是代表一組數(shù)的整體水平。（2）它具有虛擬的特征。

就知識的完整性而言，它應(yīng)該包含以下內(nèi)容：概念蘊(yùn)含著方法與應(yīng)用；因?yàn)榫哂刑摂M性，所以平均數(shù)的得到需要總數(shù)除以總份數(shù)或者移多補(bǔ)少；因?yàn)槠骄鶖?shù)代表整體水平，所以平均數(shù)可以用來比較兩組數(shù)的水平，具有統(tǒng)計(jì)價(jià)值。

正確的學(xué)習(xí)方式應(yīng)該是這樣的：從學(xué)生的生活中去尋找關(guān)于平均數(shù)的前概念；從前概念中生長出平均數(shù)的概念；從平均數(shù)的概念中生長出平均數(shù)的求得方法；從平均數(shù)的概念中生長出問題解決的應(yīng)用。

而我們目前的教材中則省去了概念的學(xué)習(xí)。直接在應(yīng)用與計(jì)算中學(xué)習(xí)概念，而這樣的概念學(xué)習(xí)事實(shí)上是淹沒于計(jì)算與應(yīng)用中了。

所以，這樣的學(xué)習(xí)，往往是知其然而不知其所以然。

三、“平均數(shù)”的前概念是什么

學(xué)生的生活中有平均數(shù)嗎？特別是十歲前的兒童生活中有平均數(shù)的前概念嗎？

這個(gè)問題困惑筆者許久，后來發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常講以下三個(gè)詞：超常發(fā)揮、正常發(fā)揮、失常發(fā)揮。

這三個(gè)詞，學(xué)生更多地用在吃、跑和考試中。

筆者發(fā)現(xiàn)，這三個(gè)詞可以分別對應(yīng)我們在數(shù)學(xué)中將要學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)概念。于是，筆者選擇了學(xué)生關(guān)于跑步的經(jīng)歷來幫助學(xué)生建立“平均數(shù)”的概念。

四、從“正常發(fā)揮”到“平均數(shù)”

材料：二年級小朋友60米跑了五次，時(shí)間分別如下（單位：秒）：15，14，12，10，14。

他填以下這張表：

60米，我大約要跑____秒。

問題一：

這位小朋友填了15，卻又把15畫去了，同學(xué)們知道為什么嗎？

60米，我大約要跑15秒。

學(xué)生回答：太慢了，不好意思。

問題二：

后來，這位小朋友填了10，一會兒又把10也畫去了，同學(xué)們知道為什么嗎？

60米，我大約要跑10秒。

學(xué)生回答：10秒是最快的，是超常發(fā)揮的，他生怕自己以后跑不起。

問題三：同學(xué)們，那大家認(rèn)為，這位小朋友最好應(yīng)填幾？

學(xué)生回答為以下三種：

1.14，因?yàn)榕艿拇螖?shù)最多。

2.12，雖然14跑的次數(shù)最多，但偏慢了，偏慢不如偏快。

3.13，不快不慢，剛剛好。

說明：平均數(shù)的第一個(gè)內(nèi)涵出來了：13代表這組數(shù)的水平剛剛好，不快不慢。

問題四：13秒。這位小朋友根本沒有跑出來過，填上去是不是不誠實(shí)?。磕芴顔?？

學(xué)生們的爭議將本節(jié)課推向高潮。

觀點(diǎn)一：不能填，因?yàn)闆]有跑出來過。

觀點(diǎn)二：可以填，現(xiàn)在沒有跑出來，不等于第七次不會跑出來。

說明：虛擬的特征已經(jīng)成為學(xué)生們理解的對象。

問題五：13沒有跑出來過，13跟這些跑出來的數(shù)之間存在怎樣的關(guān)系呢？

關(guān)系一：（15+14+12+10+14）÷5=13

關(guān)系二：

結(jié)論：原來13藏在這些數(shù)中間。

說明：平均數(shù)的計(jì)算方法便自然出來了。

五、“平均數(shù)”的概念習(xí)得

將上述討論整理成以下材料：

60米我大約要跑15秒最慢

10秒最快

14秒次數(shù)最多但偏慢

12秒偏快

13秒剛剛好，但沒跑出來過

問題：同學(xué)們，這幾個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，你認(rèn)為哪個(gè)數(shù)最有意思？

學(xué)生回答：13最有意思，它有兩個(gè)特點(diǎn)：剛剛好表示水平；沒有跑出來過但蘊(yùn)含在其中。

結(jié)論：這種數(shù)我們稱它為“平均數(shù)”。

從上課的過程來看，學(xué)生對平均數(shù)的理解是跌宕起伏的。沒有跑出來過，卻正好表示水平，成了學(xué)生最大的糾結(jié)。而這種糾結(jié)正是不憤不悱的真實(shí)狀態(tài)：所有這些，均來自生活中的關(guān)于正常、失常、超常的理解。

因此，將正常水平作為平均數(shù)的前概念是有實(shí)踐意義的。

（浙江省金華市金師附小 321000）

浙江省哲學(xué)社會科學(xué)重點(diǎn)課題：小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)前概念診斷與教學(xué)干預(yù)研究（13NDJC007Z）