何廣民（黑龍江省齊齊哈爾市第二中學(xué)）

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“三角形的中位線”教學(xué)設(shè)計(jì)

何廣民（黑龍江省齊齊哈爾市第二中學(xué)）

摘要：以“給出概念—概念識(shí)別—探究性質(zhì)—應(yīng)用性質(zhì)”為主線設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，注重學(xué)生探究能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生去親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程；有效地、適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用信息技術(shù)手段輔助教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；轉(zhuǎn)化思想；類比推理能力；猜想驗(yàn)證

內(nèi)容和內(nèi)容解析

1．內(nèi)容

三角形的中位線的概念，三角形中位線定理．

2．內(nèi)容解析

三角形的中位線是繼三角形的角平分線、中線、高線后的第四種重要線段，而三角形中位線定理也是一個(gè)重要的性質(zhì)定理，它是前面已經(jīng)學(xué)過的平行線、全等三角形、平行四邊形等知識(shí)內(nèi)容的應(yīng)用和深化，在判定兩直線平行和論證線段倍分關(guān)系時(shí)常常用到三角形中位線定理，對(duì)今后學(xué)習(xí)相似和位似奠定了基礎(chǔ)．因此，本節(jié)內(nèi)容起到了承上啟下的作用．

在三角形中位線定理的證明及應(yīng)用中，滲透了轉(zhuǎn)化、類比、歸納等數(shù)學(xué)思想，這些都是重要的思想方法，無論在今后的學(xué)習(xí)還是在科學(xué)研究中都有著重要的作用，它對(duì)拓展學(xué)生的思維有著積極的意義．

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：三角形中位線定理的探究．

目標(biāo)和目標(biāo)解析

1．目標(biāo)

（1）使學(xué)生理解三角形的中位線的概念．

（2）探索并證明三角形中位線定理，會(huì)用三角形中位線定理解決相關(guān)的問題．

（3）經(jīng)歷從發(fā)現(xiàn)三角形的中位線到推導(dǎo)定理的過程，體會(huì)探索發(fā)現(xiàn)的樂趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心．

2．目標(biāo)解析

目標(biāo)（1）的具體要求：理解三角形的中位線的概念，要求學(xué)生明確三角形的中位線與三角形的中線的區(qū)別，能運(yùn)用概念進(jìn)行判斷和推理．

目標(biāo)（2）的具體要求：通過拼平行四邊形活動(dòng)發(fā)現(xiàn)三角形的中位線性質(zhì)定理，經(jīng)過嚴(yán)格地證明來體會(huì)證明方法的多樣性，領(lǐng)會(huì)輔助線在解決問題中的作用，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性．通過應(yīng)用三角形的中位線定理解決相關(guān)的問題，體會(huì)合情推理與演繹推理在獲得結(jié)論的過程中發(fā)揮的作用．

目標(biāo)（3）的具體要求：經(jīng)歷“觀察—度量—猜想—證明”的過程，讓學(xué)生感受到成功的喜悅和學(xué)習(xí)的樂趣，增強(qiáng)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

教學(xué)問題診斷分析

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是八年級(jí)的學(xué)生，通過前面的空間與圖形的研究，學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)的探究充滿了濃厚的興趣，樂于參與探究性活動(dòng)，并敢于發(fā)表自己的獨(dú)到見解，這有利于開展探究性活動(dòng)．

由于三角形中位線與三角形中線都是與三角形邊的中點(diǎn)有關(guān)的線段，學(xué)生容易混淆兩個(gè)概念，在復(fù)雜圖形中部分學(xué)生難以準(zhǔn)確、迅速識(shí)別．

在平行四邊形的性質(zhì)和判定定理的探究過程中，學(xué)生深刻體會(huì)到四邊形問題通常轉(zhuǎn)化為三角形問題進(jìn)行研究，而三角形中位線定理可以將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題或用其他方法進(jìn)行研究，前者學(xué)生以前未曾接觸，所以獨(dú)立證明三角形中位線定理會(huì)出現(xiàn)很大的困難，如何添加輔助線構(gòu)建未知與已知的橋梁是學(xué)生認(rèn)知的一個(gè)難點(diǎn)．

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：三角形中位線定理的證明．

教學(xué)支持條件分析

讓學(xué)生通過畫圖、測(cè)量去猜測(cè)三角形的中位線與第三邊的關(guān)系，為了使學(xué)生更好地理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，筆者有效利用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，用幾何畫板軟件制作三角形中位線圖形，并利用幾何畫板軟件的測(cè)量和動(dòng)態(tài)演示功能，與電子白板相結(jié)合，驗(yàn)證猜想的正確性，再引導(dǎo)學(xué)生嘗試構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行證明．同時(shí)，用課件動(dòng)畫演示，讓學(xué)生理解三角形中位線定理并靈活運(yùn)用定理解決相關(guān)的問題．

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1．引入新課，明確目標(biāo)

向?qū)W生出示本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）識(shí)別三角形中位線．

（2）能通過實(shí)踐、觀察、度量、猜想，歸納出三角形的中位線定理，并會(huì)證明．

（3）能運(yùn)用三角形中位線定理進(jìn)行證明和計(jì)算．

師生活動(dòng)：教師直接引入新課，并向?qū)W生出示本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)．

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)目標(biāo)的出示讓學(xué)生明確本節(jié)課應(yīng)該學(xué)會(huì)哪些知識(shí)點(diǎn)，掌握哪些基本技能．

2．給出概念，理解辨析

問題1：你知道什么是三角形的中位線嗎？

師生活動(dòng)：教師給出中位線定義，并引導(dǎo)學(xué)生說明定義的雙層含義，即連接三角形兩邊的中點(diǎn)的線段是三角形的中位線；反之，三角形的中位線的兩個(gè)端點(diǎn)是三角形兩邊的中點(diǎn)，使學(xué)生正確理解和掌握定義．

【設(shè)計(jì)意圖】給出三角形的中位線的概念，強(qiáng)調(diào)定義的內(nèi)涵．

追問：畫出三角形的中位線，看看一個(gè)三角形有幾條中位線？三角形的中位線和中線一樣嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手畫出圖形，觀察思考，并將中位線的概念與三角形中線的概念進(jìn)行對(duì)比區(qū)分，加深對(duì)新概念的理解.同時(shí)，教師設(shè)置練習(xí)，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的辨析，使學(xué)生感受到中位線的形成過程．

練習(xí)：如圖1，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則線段CD是△ABC的______，線段DE是△ABC的_______．

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，讓學(xué)生區(qū)分三角形的中位線和中線，能從較復(fù)雜的圖形中準(zhǔn)確找出三角形的中位線，滲透對(duì)比和類比的思想．

3．探究性質(zhì)，深化認(rèn)知

問題2：將三角形硬紙片沿著中位線剪成兩部分，你能拼成一個(gè)平行四邊形嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手將課前準(zhǔn)備好的三角形紙板用剪刀沿著中位線剪成兩部分，試著拼一拼.學(xué)生將拼好的紙板用實(shí)物展臺(tái)展示，教師用課件演示三角形紙板剪成兩部分后拼平行四邊形的過程．

【設(shè)計(jì)意圖】通過動(dòng)手拼圖，得出直觀結(jié)論，不但激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還刺激了他們的求知欲，放飛學(xué)生的思維，讓他們?nèi)ニ伎肌⑷ヌ剿?，為三角形的中位線定理證明做鋪墊．

問題3：三角形的中位線與三角形的第三邊有什么關(guān)系？

追問1：研究兩條線段的關(guān)系，要研究這兩條線段的哪兩個(gè)方面的關(guān)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生可能只體現(xiàn)出數(shù)量關(guān)系，此時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生，要研究兩條線段的關(guān)系，先研究它們的位置關(guān)系，相交還是平行，垂直關(guān)系是相交的特例；再研究它們之間的數(shù)量關(guān)系，相等還是不等，不相等的話，是倍數(shù)關(guān)系還是其他關(guān)系．

【設(shè)計(jì)意圖】提示學(xué)生考慮問題要全面，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S．

追問2：如圖2，你能發(fā)現(xiàn)△ABC的中位線DE與邊BC有怎樣的位置關(guān)系嗎？度量一下，DE和BC之間有什么數(shù)量關(guān)系？

圖2

師生活動(dòng)：三角形的中位線是三角形中一條特殊的線段，那它一定有特殊的性質(zhì)．教師讓學(xué)生在事先準(zhǔn)備好的三角形紙板上畫出一條中位線，通過觀察、度量、思考、討論、交流，猜想三角形的中位線DE與三角形的第三邊BC的關(guān)系，即DE∥BC，且DE=BC．

為了讓學(xué)生感知猜想的結(jié)論是正確的，教師利用幾何畫板軟件與電子白板相結(jié)合，演示三角形的形狀和位置發(fā)生變化時(shí)，中位線與第三邊始終保持著平行的位置關(guān)系，它們的長度也始終保持一半的關(guān)系．

【設(shè)計(jì)意圖】教師調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過親自動(dòng)手畫圖，觀察、度量、思考、討論、交流、歸納，提出猜想．結(jié)合多媒體課件和電子白板進(jìn)行演示，使學(xué)生在動(dòng)態(tài)中感知，在靜態(tài)中思考，大膽猜想三角形的中位線的性質(zhì)．

問題4：你能證明上面的猜想嗎？

追問1：證明兩條線段平行的方法有哪些？如何證明兩條線段的倍分關(guān)系？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何證明兩條線段平行？證明兩條線段平行，則是證明兩條線段所在的直線平行，證明兩條直線平行的方法有平行四邊形的三個(gè)判定；平行線的傳遞性；平行四邊形的定義，即平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行等．但在本問題中，很難用平行四邊形的判定證明平行，因此，可以考慮證明兩條線段與平行四邊形的兩條對(duì)邊共線．

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶證明兩條線段的倍分關(guān)系的方法．要證明一條線段等于另一條線段的一半，可以取較長線段的中點(diǎn)，將證明一條線段等于另一條線段的一半轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等；也可以將較短的線段延長一倍后，將證明一條線段等于另一條線段的一半轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等．證明兩條線段相等通常采用證明三角形全等的方法，也可以通過平行四邊形的性質(zhì)來證．

學(xué)生積極思考，教師引導(dǎo)，學(xué)生結(jié)合拼圖的過程可能想到：添加輔助線構(gòu)造平行四邊形，將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題來解決．從而突破了難點(diǎn)，此時(shí)，充分挖掘，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的證明方法，對(duì)比看哪種方法更簡單．教師完整書寫利用平行四邊形的判定的證明過程，對(duì)于其他的證明思路由學(xué)生口述即可．

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生證明猜想，體會(huì)證明思路的分析方法和把三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題的基本想法，再次體會(huì)幾何研究的“觀察—猜想—證明”過程．

追問2：通過證明，發(fā)現(xiàn)上述猜想是正確的．這樣我們就得到了三角形的中位線定理．你能歸納出這個(gè)定理的具體內(nèi)容嗎？用符號(hào)語言如何表示？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納三角形的中位線定理，結(jié)合圖形，明確應(yīng)用定理進(jìn)行推理的基本模式：

因?yàn)镈E是△ABC的中位線（已知），

【設(shè)計(jì)意圖】把性質(zhì)轉(zhuǎn)化為操作程序，培養(yǎng)學(xué)生歸納整理能力，引導(dǎo)學(xué)生熟練地將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言．

4．應(yīng)用新知，解決問題

問題5：（1）如圖3，EF是△ABC的中位線，若EF=4 cm，則BC=_______，若∠AEF=60°，則∠B= ________．

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，則連接兩條直角邊中點(diǎn)的線段長為_________．

圖3

圖4

（3）如圖4，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小聰想用繩子測(cè)量點(diǎn)A，B間的距離，但繩子不夠長，一位同學(xué)幫他想了一個(gè)主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)C，找到AC，BC的中點(diǎn)D，E，并且測(cè)出DE的長為10 m，則點(diǎn)A，B間的距離為（）．

（A）15 m（B）25 m

（C）30 m（D）20 m師生活動(dòng)：教師通過出示題目后讓學(xué)生口答，并說明理由．

【設(shè)計(jì)意圖】這三道小題，讓學(xué)生直接利用三角形的中位線定理解決，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．

例1 如圖5，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．

圖5

求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考，若學(xué)生有想法，則由學(xué)生先說思路，然后教師追問：你是怎樣想到的？對(duì)學(xué)生思路中合理成分進(jìn)行總結(jié)；若學(xué)生沒有思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析：從條件出發(fā)，你能夠聯(lián)想到的結(jié)論有哪些？從要證明的結(jié)論出發(fā)，證明一個(gè)四邊形是平行四邊形可以有哪些方法？啟發(fā)學(xué)生形成準(zhǔn)確的證明思路．

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用三角形的中位線定理進(jìn)行推理，體會(huì)得到證明思路的方法．

追問：還有其他的證明方法嗎？你更喜歡哪一種證法？

師生活動(dòng)：結(jié)合前面的分析，由學(xué)生思考并說出其他的證明方法．

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合例題的進(jìn)一步追問，教師引導(dǎo)學(xué)生多角度思考證明思路，初步學(xué)會(huì)評(píng)價(jià)證明思路的合理性．結(jié)合平行四邊形的判定方法，引導(dǎo)學(xué)生由已知中的四邊的中點(diǎn)想到利用三角形中位線定理證明兩組對(duì)邊分別平行，或證明一組對(duì)邊平行且相等，從而用平行四邊形的判定定理證明平行四邊形．可以根據(jù)學(xué)生情況體現(xiàn)多種解法．學(xué)生從例題中可以歸納出：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，可以簡稱為“連四成平”．從而培養(yǎng)學(xué)生的歸納整理能力．

5．小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課自己的收獲．

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)層面回顧三角形的中位線的定義和性質(zhì)定理，梳理本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，進(jìn)一步理解“觀察—猜想—證明”的研究思路，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法．

6．布置作業(yè)

教材習(xí)題18.1第11，12題．

目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1.如圖6，D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊上的中點(diǎn).線段AD叫做△ABC的______，線段DE叫做△ABC的______，DE與AB的位置和數(shù)量關(guān)系是_____．

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】考查三角形中位線的定義．

2.三角形各邊長為5，9，12，則連接各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的周長是______.

【設(shè)計(jì)意圖】考查三角形中位線定理的應(yīng)用．

3.如圖7，已知△ABC的周長為1，連接△ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形……依此類推，第2015個(gè)三角形的周長為（）．

圖7

【設(shè)計(jì)意圖】考查連續(xù)運(yùn)用三角形的中位線解決問題的能力．

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］丁浩勇．人教版“18.1.2平行四邊形的判定（1）”教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（4）：44-48．

［4］人民教育出版社，課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心．《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》教師教學(xué)用書（八年級(jí)下冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，2013．

收稿日期：2015—12—01

作者簡介：何廣民（1974—），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)和試題研究．