王云峰（江蘇省鹽城市葛武初級(jí)中學(xué)）

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“直角三角形外接圓截直角平分線”數(shù)學(xué)模型探究

王云峰（江蘇省鹽城市葛武初級(jí)中學(xué)）

摘要：解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵是尋找解題思路.從熟悉的數(shù)學(xué)模型入手是尋找解題思路的一種方法，教師要注意歸納、總結(jié)出一些數(shù)學(xué)模型．“直角三角形外接圓截直角平分線”數(shù)學(xué)模型在近幾年中考試題中頻頻出現(xiàn)，通過對(duì)模型構(gòu)建、模型變式、模型拓展、模型一般化進(jìn)行解法探析，為教師的解題教學(xué)提供啟示，以使學(xué)生達(dá)到融會(huì)貫通的境界．

關(guān)鍵詞：角平分線；數(shù)學(xué)模型；中考應(yīng)用

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過，假如你想從解題中得到最大的收獲，你就應(yīng)當(dāng)在所做的題目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他問題時(shí)，能起到指引的作用．現(xiàn)介紹“直角三角形外接圓截直角平分線”模型及其變式、拓展、一般化等在解題中的應(yīng)用，供大家參考．

一、模型構(gòu)建

題目如圖1，⊙O是Rt△ABC的外接圓，CD平分直角∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，試探究線段AC，BC，CD之間的等量關(guān)系.

此題解法豐富多彩，限于篇幅，這里僅從變換的角度給出兩種典型解法．

圖1

思路1：利用軸對(duì)稱變換，構(gòu)造全等三角形.

解：（方法1）如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接AD，BD.

因?yàn)椤螦CB=∠E=∠CFD＝90°，

所以四邊形CEDF是矩形.

又由CD平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥BC，

得DE=DF.

所以四邊形CEDF是正方形.

圖2

因?yàn)椤螦CD=∠BCD，

于是A（D=B（D.

所以AD=BD.

又因?yàn)镈E=DF，

所以Rt△ADE≌Rt△BDF.

于是AE=BF.

【評(píng)析】遇到角平分線，常利用軸對(duì)稱變換構(gòu)造全等三角形．

思路2：利用旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造全等三角形.

解：（方法2）如圖3，連接AD，BD.

圖3

因?yàn)椤螦CD=∠BCD，

所以AD=BD，且∠ADB=90°.

將△BCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到△AED處（點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)A，E處），

則∠EAD=∠CBD，AE=BC.

在四邊形ACBD中，

∠CAD+∠CBD=360°-∠ACB-∠ADB=180°.

所以∠CAD+∠EAD=180°.

所以點(diǎn)C，A，E在一條直線上.

易知△CDE是等腰直角三角形.

【評(píng)析】遇到等腰直角三角形，常利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形.

可見，⊙O截其內(nèi)接Rt△ABC的直角平分線所得線段CD與直角邊AC，BC之間存在等量關(guān)系A(chǔ)C+BC=CD，我們稱之為“直角三角形外接圓截直角平分線”模型，即直角三角形兩直角邊的和等于該直角三角形的外接圓截直角平分線所得線段的倍.

例1 如圖4，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，則CD長為（）.

（A）7

（D）9

圖4

解：因?yàn)锳B是⊙O的直徑，

所以∠ACB=90°.

因?yàn)镃D平分直角∠ACB，

故選擇選項(xiàng)B.

圖5

圖6

解：由∠AOP=45°可知，OP平分直角∠AOB.

如圖6，過點(diǎn)P作PC⊥OA于點(diǎn)C，

二、模型變式

在圖1中，若連接AD，BD，而點(diǎn)D在⊙O上，則∠ADB=90°.又由CD平分直角∠ACB，則AD= BD，于是可將⊙O進(jìn)行隱身.

如圖7，在四邊形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，則AC+BC=CD.

圖7

可見，“直角三角形外接圓截直角平分線”模型可變身為特殊四邊形，即一組對(duì)角是直角，且其中一直角的兩邊相等的四邊形.如圖7，四邊形ACBD可看成是由等腰Rt△ABD與Rt△ABC（非等腰直角三角形）組合而成，此時(shí)結(jié)論AC+BC=CD用文字可表述為，直角三角形（非等腰直角三角形）的兩直角邊之和等于兩直角頂點(diǎn)所連線段的倍.另外，由模型的解法2可知，圖7中四邊形ACBD可轉(zhuǎn)化為以CD為腰的等腰直角三角形，因此S四邊形ACBD=CD2，即面積等于兩直角頂點(diǎn)所連線段的平方的一半（證明過程略）.

例3 如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對(duì)角線交于點(diǎn)O，連接OC，已知AC=5，OC=6，則另一直角邊BC的長為＿＿＿＿＿＿.

圖8

解：由已知，易得∠AOB=∠ACB=90°，OA=OB.

解得BC=7.

例4 如圖9，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四邊形ABCD的面積是24 cm2，則AC的長是＿＿＿＿＿＿＿＿.

解：因?yàn)椤螧AD=∠BCD=90°，AB=AD，

圖9

圖10

圖11

解：如圖11，連接CG.

因?yàn)锽E=DG，∠EBC=∠GDC=90°，BC=DC，

所以△BCE≌△DCG.

于是∠BCE=∠DCG，EC=GC.

又因?yàn)镃F⊥EG，

所以點(diǎn)H為EG的中點(diǎn).

又因?yàn)椤螮CG=∠ECD+∠DCG=∠ECD+∠BCE= ∠BCD=90°，

所以CH=EH.

在四邊形BCHE中，∠EBC=∠EHC=90°，CH=EH，

易證△GFH∽△GEA.

三、模型拓展

在圖1中連接AD，BD，則有AD=BD，若點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到半圓ADB上時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)D不重合），此時(shí)線段AC，BC，CD之間又有怎樣的等量關(guān)系呢？

當(dāng)點(diǎn)C在B（D上時(shí)，如圖12所示，將△BCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處（點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)A，E處），

則AE=BC，DE=DC.

因?yàn)椤螪AC=∠DBC，

所以點(diǎn)E在AC上.

于是有AC-BC=AC-AE=EC.

易知△CDE是等腰直角三角形.

圖12

圖13

在圖12，圖13中，⊙O均可進(jìn)行隱身，

即如圖14，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，

圖14

例6 如圖15，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE= 2CE，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，連接OF，則OF的長為＿＿＿＿＿＿＿．

解：由題意，易知∠BOC＝∠BFC＝90°，OB＝OC.

因?yàn)锽C＝6，EC＝2，

在Rt△BCE中，

圖15

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）若運(yùn)動(dòng)過程中直尺的邊A′D′交邊BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，求線段MN長度的最大值；

說明：點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可分為三類，例如，在圖17中，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)D′在拋物線外．

圖16

圖17

解：（1）略.

（2）略.

（3）如圖18，連接AQ．

圖18

因?yàn)辄c(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，

所以BQ=CQ=AQ=PQ.

于是點(diǎn)P在△ABC的外接圓⊙Q的兩段弧上．

當(dāng)點(diǎn)P在拋物線外（即點(diǎn)P1）時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在拋物線內(nèi)（即點(diǎn)P2）時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，若點(diǎn)P在點(diǎn)B處，則PC＝

圖19

圖20

（2）當(dāng)MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖20和圖21所示的兩個(gè)位置時(shí)，BD，AB，CB滿足什么樣的關(guān)系式？試寫出你的猜想，并對(duì)圖21給予證明．

（3）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)∠BCD＝30°， BD＝時(shí)，則CD=＿＿＿＿＿＿，CB＝＿＿＿＿＿＿．

圖21

圖22

證明：（1）如圖22，過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E．

因?yàn)椤螦CB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，

所以∠BCD=∠ACE．

因?yàn)樗倪呅蜛CDB內(nèi)角和為360°，

所以∠BDC+∠CAB＝180°．

因?yàn)椤螮AC+∠CAB＝180°，

所以∠EAC=∠BDC.

又因?yàn)锳C=DC，

所以△ACE≌△DCB.

所以AE=DB，CE=CB.

所以△ECB為等腰直角三角形．

又因?yàn)锽E=AE+AB，

所以BE=BD+AB.

（3）當(dāng)點(diǎn)A，B在CD同側(cè)時(shí)，易知點(diǎn)A，C，B，D在同一個(gè)圓上.

作四邊形ABDC的外接圓，如圖23所示，

圖23

圖24

當(dāng)點(diǎn)A，B在CD異側(cè)時(shí)，如圖24所示，

四、模型一般化

若將“直角三角形外接圓截直角平分線”模型中的直角三角形弱化為一般三角形，此時(shí)線段AC，BC，CD之間又有什么等量關(guān)系呢？

圖25

圖26

證明：如圖26，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.

因?yàn)镃D平分∠ACB，

所以∠ACD=∠BCD.

所以A（D=B（D.

于是AD=BD.

又因?yàn)镈E⊥AB，

所以AE=BE．

在Rt△ADE中，

由托勒密定理，得AC·BD+BC·AD=CD·AB.

若圖25中點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到AD（B上時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)D不重合），如圖27所示，此時(shí)仍有AD=BD，

說明：圖25，圖27中的⊙O仍可進(jìn)行隱身.

至此，我們得到了“三角形外接圓截三角形角平分線”模型的一般性結(jié)論，這揭示了命題中條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系.

例9 如圖28，半圓O的直徑AB=10 cm，弦AC=6 cm，AD平分∠BAC，則AD的長為（）.

圖28

圖29

解：如圖29，連接BD.

因?yàn)锳B為⊙O的直徑，

所以∠ADB=90°.

故選擇選項(xiàng)A.

總之，初中數(shù)學(xué)試題中可以運(yùn)用的模型還有很多，教師在平時(shí)的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生化題為型，幫助學(xué)生通曉其方法，辨識(shí)其變化，由“明一理”到“通一片”，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力.

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收稿日期：2015—10—09

作者簡介：王云峰（1971—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事課堂教學(xué)、解題教學(xué)研究．