王用華（湖北省荊州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

?

整體建構(gòu)突出“套路”
——“平行四邊形及其性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)

王用華（湖北省荊州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

摘要：類比三角形的研究勾畫出四邊形研究的問題、過程與方法，讓學(xué)生對本章學(xué)習(xí)先有一個整體認(rèn)識；性質(zhì)的探究，以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程為線索，按圖形基本要素之間、相關(guān)要素之間的關(guān)系依次展開，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程，體悟幾何圖形研究的“基本套路”.

關(guān)鍵詞：平行四邊形；整體建構(gòu)；基本套路

內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第十八章第一節(jié)的內(nèi)容，其主要內(nèi)容是平行四邊形的概念、平行四邊形的性質(zhì).

2.內(nèi)容解析

平行四邊形是日常生活中最常見的圖形，是圖形與幾何領(lǐng)域研究的主要對象之一.平行四邊形是特殊的四邊形，它具有一般四邊形所具有的性質(zhì)，如內(nèi)角和是360°、不穩(wěn)定性等．同時還具有自己所特有的性質(zhì)，即對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分、中心對稱性等．平行四邊形的學(xué)習(xí)既是平行線的性質(zhì)、全等三角形等知識的延續(xù)和深化，又是后續(xù)學(xué)習(xí)特殊平行四邊形——矩形、菱形、正方形等的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，在教材中起著承上啟下的重要作用．

學(xué)生小學(xué)已經(jīng)學(xué)過平行四邊形的概念，但僅限于感性上對其有所認(rèn)識，對于其本質(zhì)屬性的理解并不深刻，因此，本節(jié)課的學(xué)習(xí)不是簡單的重復(fù)．本節(jié)課，平行四邊形的定義采用的是內(nèi)涵定義法，即“種概念+屬差=被定義概念”．在平行四邊形的定義中，前提是四邊形（種概念），條件是兩組對邊分別平行（屬差）．“兩組對邊分別平行”是平行四邊形獨(dú)有的、區(qū)別于一般四邊形的本質(zhì)屬性，這也是平行四邊形概念的核心所在．平行四邊形的概念，揭示了平行四邊形與四邊形的隸屬關(guān)系、區(qū)別與聯(lián)系，反映了平行四邊形的本質(zhì)屬性．它既是判定平行四邊形的一種方法，又可作為平行四邊形的一條性質(zhì)加以使用.

關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)，“平行四邊形的對邊相等”相對于定義中的“兩組對邊分別平行”，是由位置關(guān)系向數(shù)量關(guān)系的一種延伸；“平行四邊形的對角相等”相對于“兩組對邊分別平行”，是由“相鄰的角互補(bǔ)”產(chǎn)生的一種思維的深化；“平行四邊形的對角線互相平分”則是對平行四邊形對角線間數(shù)量與位置關(guān)系的刻畫.性質(zhì)的探究，經(jīng)歷的是“觀察、猜想、證明”的認(rèn)知過程.性質(zhì)的證明，滲透的是將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為平行線或三角形問題的一種轉(zhuǎn)化思想.添加對角線，是將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的一種常用的轉(zhuǎn)化手段．在整個研究過程中，先從組成要素邊、角入手進(jìn)行分析，再對相關(guān)要素對角線進(jìn)行分析，呈現(xiàn)的是研究幾何圖形性質(zhì)的一般套路.

平行四邊形的性質(zhì)，既是學(xué)習(xí)平行四邊形判定的基礎(chǔ)，又是后續(xù)學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形等知識的基礎(chǔ)，且這些特殊平行四邊形的性質(zhì)，都是在平行四邊形性質(zhì)基礎(chǔ)上擴(kuò)充的，它們的探索方法，也都與平行四邊形性質(zhì)的探索方法一脈相承.

本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)：性質(zhì)探究及其研究思路.

目標(biāo)與目標(biāo)解析

1.教學(xué)目標(biāo)

①理解平行四邊形的概念；

②探索并掌握平行四邊形的性質(zhì)；

③體會幾何圖形研究的一般思路與方法．

2.目標(biāo)解析

①使學(xué)生了解平行四邊形與一般四邊形的區(qū)別與聯(lián)系，能用平行四邊形的定義進(jìn)行相關(guān)的判斷與推理.

②能從圖形的結(jié)構(gòu)出發(fā)提出所要研究的問題——平行四邊形邊、角、對角線的性質(zhì)；會利用平行四邊形定義和三角形全等等知識證明性質(zhì)定理；能利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的計(jì)算與證明；初步學(xué)會分別從題設(shè)或結(jié)論出發(fā)尋求證明思路的方法，體會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想.

③通過對平行四邊形性質(zhì)的探究，讓學(xué)生體會到對圖形性質(zhì)的研究實(shí)際上就是揭示圖形的組成要素和相關(guān)元素的特征以及它們之間的關(guān)系；知道“觀察、度量、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明”是幾何研究的基本活動；體會用合情推理提出猜想，用演繹推理證明結(jié)論這一幾何研究的基本思考方式.

教學(xué)問題診斷分析

平行四邊形性質(zhì)的證明，學(xué)生對“為什么要將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為平行線問題或三角形問題？”“為什么要添加輔助線？”“如何添加輔助線？”理解和操作起來會有一定的困難．這屬于思想方法層面的問題，學(xué)生往往只停留在能聽懂但不能內(nèi)化的層面，需要教師進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，充分展示將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為平行線問題、將平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的過程，促使學(xué)生掌握添加輔助線的目的、作用和意義，從而更好地促進(jìn)問題的解決．

另外，八年級的學(xué)生雖具備了一定的合情推理能力，但嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理能力還較為欠缺．所以應(yīng)通過相關(guān)的推理證明與應(yīng)用訓(xùn)練，教給學(xué)生一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生逐步學(xué)會分別從題設(shè)或結(jié)論出發(fā)尋求論證思路，學(xué)會用分析法或綜合法思考和解決問題，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．

本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)：平行四邊形性質(zhì)的證明與應(yīng)用.

教學(xué)支持條件分析

根據(jù)本節(jié)課概念教學(xué)與性質(zhì)探究的特點(diǎn)，一方面，借助多媒體課件，呈現(xiàn)形象、直觀的實(shí)例背景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，啟迪學(xué)生思維；另一方面，在性質(zhì)的探究與運(yùn)用中，借助flash動畫，改進(jìn)問題的呈現(xiàn)方式，從激勵學(xué)生主動思考與探究入手，使教學(xué)更富有生動性、互動性與深刻性，讓學(xué)生親歷知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程的同時，更好地為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)服務(wù).

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.溫故知新，揭示課題

問題1：前面我們已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了三角形，你能總結(jié)一下學(xué)習(xí)三角形時所研究的問題、線索及方法嗎？

問題2：類比三角形的研究，你能勾畫一下學(xué)習(xí)四邊形將要研究的問題、過程及方法嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課是這一章的起始課，通過類比三角形研究的問題、過程及方法，勾畫出四邊形研究的問題、過程與方法，讓學(xué)生對本章內(nèi)容有一個整體的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生用幾何研究的基本套路思考問題的習(xí)慣，也便于學(xué)生在后續(xù)研究中能“見木見林”，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的預(yù)見性與主動性.

2.回顧思考，理解概念

問題3：現(xiàn)實(shí)世界中很多物體都有平行四邊形的形象，你能舉幾個例子嗎？

師生互動：①學(xué)生舉出身邊平行四邊形的實(shí)例；

②教師引導(dǎo)學(xué)生感受生活中的平行四邊形（配合媒體展示）.

追問：為什么平行四邊形形狀的物體到處可見呢？

這與平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，由此揭示課題.

【設(shè)計(jì)意圖】感悟數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系的同時，也讓學(xué)生真切地感受到學(xué)習(xí)平行四邊形的必要.

問題4：在小學(xué)我們也學(xué)習(xí)過平行四邊形，大家對平行四邊形有哪些認(rèn)識？

師生互動：①引導(dǎo)學(xué)生概括對平行四邊形已有的認(rèn)知；

②對學(xué)生的回答進(jìn)行整理、板書（定義，對邊相等、對角相等的性質(zhì)等）；

③類比三角形，介紹平行四邊形的記法，并進(jìn)一步深化對定義的理解（與一般四邊形的區(qū)別、幾何圖形定義的雙重性等）.

3.引路指津，探索性質(zhì)

問題5：你能運(yùn)用所學(xué)知識證明平行四邊形對邊相等、對角相等嗎？

師生互動：①引導(dǎo)學(xué)生畫出一個平行四邊形，利用所畫圖形去研究問題；

②（分組討論）你能思考出幾種解決問題的方法？

可能的方法有：利用同旁內(nèi)角來證、利用同位角和內(nèi)錯角來證、分割成兩個平行四邊形來證、分割成兩個全等三角形來證，其涉及到的圖形如圖1所示.

圖1

③整理思路，明確性質(zhì).

④規(guī)范符號語言表述.

【設(shè)計(jì)意圖】由于小學(xué)教材中通過觀察、測量等方法已得到平行四邊形對邊相等、對角相等的結(jié)論，所以本節(jié)課不再設(shè)置簡單度量、直觀發(fā)現(xiàn)等合情推理環(huán)節(jié)，改為直接在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，從不同角度去驗(yàn)證、證明結(jié)論的合理性與正確性，然后明確其性質(zhì).這樣處理既尊重了學(xué)情，又調(diào)動了學(xué)生的積極性，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力、邏輯思維能力與推理論證的能力.

問題6：添加對角線，是將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的一種常用的轉(zhuǎn)化手段．平行四邊形的對角線會有什么性質(zhì)呢？

師生活動：①教師引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，提出猜想，并獨(dú)立完成證明；

②教師展示學(xué)生探究成果.

問題7：三條性質(zhì)分別從哪一角度對平行四邊形的特殊性進(jìn)行了闡述？

師生活動：①引導(dǎo)學(xué)生歸納得出三條性質(zhì)分別刻畫了平行四邊形邊之間、角之間、對角線之間特殊的數(shù)量關(guān)系；

②對比三角形全等，進(jìn)一步明確三條性質(zhì)是解決線段相等、角相等問題新的理論依據(jù).

③回顧探究過程，明確研究思路與方法.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對平行四邊形從邊、角、對角線等方面性質(zhì)的歸納，有助于學(xué)生從不同角度探究問題意識的形成.更為重要的是，在學(xué)生經(jīng)歷圖形性質(zhì)（組成要素之間、相關(guān)要素之間的穩(wěn)定關(guān)系）完整的探究過程后，讓他們體會到幾何圖形性質(zhì)研究的基本思路與方法，為以“基本套路”研究后續(xù)問題埋下伏筆．

4.解決問題，發(fā)展能力

問題8：你能用今天所學(xué)的知識解決問題嗎？

師生活動：①學(xué)生練習(xí).教材第43頁練習(xí)，教材第44頁練習(xí)第1題.

②結(jié)合課件變式.

③師生互動點(diǎn)評.

【設(shè)計(jì)意圖】通過由淺入深、層層遞進(jìn)的練習(xí)，有效地促進(jìn)學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)概念與性質(zhì)深刻的理解與掌握，實(shí)現(xiàn)知識向能力的轉(zhuǎn)化．同時，在活用新知解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力.

5.歸納總結(jié)，整理反思

問題9：①本節(jié)課你有哪些收獲？

②我們是如何研究平行四邊形的？

③對于平行四邊形，你認(rèn)為還需要研究什么內(nèi)容？

師生共議：平行四邊形的定義、性質(zhì)；證明平行、線段相等、角相等的新方法；類比思想、轉(zhuǎn)化思想等.

【設(shè)計(jì)意圖】梳理本節(jié)課的知識要點(diǎn)、思想方法，進(jìn)一步明確相關(guān)問題的研究套路，培養(yǎng)學(xué)生及時整理與反思的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.同時，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)明路徑.

6.布置作業(yè)，鞏固提高

必做題：教材第49頁第1，2，3題.

選做題：如圖2，已知?ABCD和?EBFD的頂點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，求證：AE=CF.用多種方法解決問題.

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)分兩類，必做題面向全體學(xué)生，鞏固所學(xué)，選做題的設(shè)置意在讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)

1.在?ABCD中，∠B＝60°，那么下列各式中不能成立的是（）.

（A）∠D＝60°（B）∠A＝120°

（C）∠C+∠D＝180°（D）∠C+∠A＝180°

【設(shè)計(jì)意圖】考查平行四邊形的對角相等、相鄰的角互補(bǔ)等知識．

2.如圖3，在?ABCD中，已知AD＝5 cm，AB＝3 cm，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，則EC等于（）.

（A）1 cm

（B）2 cm

（C）3 cm

（D）4 cm

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】考查平行四邊形的對邊平行、對邊相等等知識．

3.在?ABCD中，AB＝5cm，BC＝4cm，則?ABCD的周長為______.

【設(shè)計(jì)意圖】考查平行四邊形的對邊相等及周長與邊長之間的關(guān)系等知識．

4.?ABCD的對角線交于點(diǎn)O，S△AOB=2 cm2，則S?ABCD=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

【設(shè)計(jì)意圖】考查平行四邊形的對角線互相平分等知識．

5.在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，已知AB= 8 cm，BC=6 cm，△AOB的周長是18 cm，那么△AOD的周長是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

【設(shè)計(jì)意圖】考查平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分等知識．

6.已知：如圖4，在?ABCD中，AC為對角線，BE⊥AC，DF⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)為垂足.

求證：BE=DF.

圖4

圖5

7.已知：如圖5，?ABCD的對角AC，BD交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn).

求證：△OBE≌△ODF.

【設(shè)計(jì)意圖】主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)、平行四邊形的定義和性質(zhì)，以及轉(zhuǎn)化的思想方法．

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］劉金英，李慶.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（第一課時）教學(xué)設(shè)計(jì)與反思［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（1/2）：26-29.

收稿日期：2015—11—28

作者簡介：王用華（1976—），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.