基于“學(xué)生立場”的數(shù)學(xué)解題思路的構(gòu)建——從數(shù)列公共項(xiàng)問題的探究歷程談起

☉福建省泉州師范學(xué)院附屬培文實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)白財(cái)明

引例已知數(shù)列｛an｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式分別為an= 3n+6，bn=2n+7（n∈N*）.它們的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列是｛cn｝.

（1）求c1，c2，c3，c4的值；

（2）求數(shù)列｛cn｝的通項(xiàng)公式.

這是筆者評講必修5“數(shù)列”的復(fù)習(xí)題時(shí)遇到的一道試題，考慮到這類題目是初次遇到，需要進(jìn)行題型思路的構(gòu)建與方法策略的理解，筆者嘗試從審題分析、思路形成、方法的構(gòu)建、思想的提煉與拓展等幾個(gè)方面，展開了一次深入的探究.通過探究，系統(tǒng)地掌握了等差、等比數(shù)列的公共項(xiàng)的特征及求解策略，親身經(jīng)歷了方法思路的形成與構(gòu)建，同時(shí)也對例題教學(xué)產(chǎn)生了新的認(rèn)識(shí)，感悟之際，提筆記錄點(diǎn)滴感受.

一、沿著學(xué)生的想法展開探究

1.到底從哪里下手

如果學(xué)生初次接觸公共項(xiàng)這個(gè)概念，對于什么是公共項(xiàng)，只有朦朧的感覺.如何分析并獲得解題思路？在教學(xué)中明顯感覺到，讓學(xué)生對“公共項(xiàng)”概念形成一定的感性認(rèn)識(shí)，應(yīng)該成為分析思路的首要任務(wù).筆者在上課的時(shí)候有過這樣一段對話：

師：你知道什么叫兩個(gè)數(shù)列的“公共項(xiàng)”嗎？

生：知道，就是兩個(gè)數(shù)列共有的項(xiàng)，相同的項(xiàng).（本以為學(xué)生回答不知道，或不太了解）

師：既然明白，為什么這道題大家還是沒有思路呢？（學(xué)生思考片刻，但是仍沒有明確的思路）

生：不知道從哪里下手.

師：你能找到幾個(gè)公共項(xiàng)？

生：沒有，怎么找呀？

師：心里明白但就是不行動(dòng)，為何不去嘗試一下？其實(shí)我們還是沒有真正搞清楚什么是“公共項(xiàng)”，還沒有意識(shí)到這是問題解決的突破口.

因此，教師在評講這個(gè)例題的時(shí)候，還是應(yīng)該從認(rèn)識(shí)“公共項(xiàng)”入手.只要學(xué)生稍微沉下心，分別寫出幾項(xiàng)看看，不難發(fā)現(xiàn)他們的規(guī)律：

數(shù)列｛an｝：9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，…

數(shù)列｛bn｝：9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，…

可見，兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)是9，15，21，27，33，39，45等，所以c1=9，c2=15，c3=21，c4=27.再仔細(xì)地想一想，發(fā)現(xiàn)它的公差是6，則cn=9+6（n-1）=6n+3.這樣看來本題就變得很簡單了，學(xué)生不僅僅能夠知道“公共項(xiàng)”到底是什么，也能夠?yàn)檫M(jìn)一步觀察探究“公共項(xiàng)”的性質(zhì)特征奠定基礎(chǔ).

2.公共項(xiàng)為什么不是an=bn

在教學(xué)中，不少學(xué)生還會(huì)有一種想法：兩個(gè)一次函數(shù)圖像相交，交點(diǎn)有且只有一個(gè).而數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的第n項(xiàng)an是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù)，那么作為一次函數(shù)的等差數(shù)列，它們的公共項(xiàng)是不是最多只能有一個(gè)呢？這個(gè)問題可以從函數(shù)角度解釋.

生：老師，我怎么老是感覺這道題目是錯(cuò)題.

師：為什么呢？

生：你說關(guān)于n的方程an=bn是不是最多只有一個(gè)解？

師：你說的不錯(cuò)，從函數(shù)角度看，方程an=bn有解和方程f（x）=g（x）有正整數(shù)解沒什么區(qū)別吧？它們圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f（x）=g（x）的解.

生：對呀！

師：但是兩個(gè)數(shù)列有公共項(xiàng)等價(jià)于方程an=bn有解嗎？

生：不是嗎？

師：請大家再來看看兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)，看看是否是他的所說所想，好嗎？

（學(xué)生重新審視：對于數(shù)列｛an｝，公共項(xiàng)分別是a1=9，a3=15，a5=21，a7=27，a9=33，a11=39等，對于數(shù)列｛bn｝，公共項(xiàng)分別是b1=9，b4=15，b7=21，b10=27，b13=33，b16=39等）

生：（恍然大悟）公共項(xiàng)是a1=b1，a3=b4，a5=b7，a7=b10，a9=b13，a11=b16等，真的不僅僅是an=bn，還有更多的公共項(xiàng)，它們在不同數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)是不同的.

師：你說得對.既然不能單純地用an=bn來研究公共項(xiàng)，那么這個(gè)公共項(xiàng)應(yīng)該怎樣表達(dá)？

生：（激烈爭辯之后）公共項(xiàng)滿足am=bk，m，k∈N*.

師：我們也明白了.如果我們把兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)組成的數(shù)列記為｛cn｝，第n項(xiàng)是cn且滿足cn=am=bk，那么，cn應(yīng)該在數(shù)列｛an｝中的am也是數(shù)列｛bn｝中的bk.

二、把學(xué)生的想法適時(shí)導(dǎo)引到有意義的思路上來

1.站在高考的高度審視答題的規(guī)范性

本例題很容易在分析掌握公共項(xiàng)的特征之后，直接通過列舉觀察獲得一個(gè)等差數(shù)列，但這是不完全歸納法，顯然作為解答題的解題過程，是很不嚴(yán)密的，我們還需要嚴(yán)格的推理證明，這一步不能省略.因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考怎么證明等差數(shù)列，完善解題過程.

師：到現(xiàn)在，你覺得求兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)應(yīng)該怎么求？

生：寫出兩個(gè)數(shù)列，觀察他們的公共項(xiàng)，可得兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)是9，15，21，27，33，39，45等，它是一個(gè)公差是6、首項(xiàng)是9的等差數(shù)列，因此cn=6n+3.

師：對，答案非常正確.不過，大家想一想，這里是不是存在一個(gè)技術(shù)性的問題？

生：不規(guī)范！

師：對.大家想一想，本題解題過程缺少什么？那么應(yīng)該怎樣完善呢？

2.從認(rèn)識(shí)規(guī)律的角度分析探究解題思路

本題我們已經(jīng)觀察到兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按照從小到大的順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列｛cn｝，接下來就需要證明這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，這是下一步的主要目標(biāo).

導(dǎo)引1：對于一個(gè)數(shù)列，要證明是等差數(shù)列，可以采用定義法.對于數(shù)列｛cn｝，要證明數(shù)列｛cn｝是等差數(shù)列，只需證明d=ck+1-ck（d為常數(shù)），怎樣找到ck，ck+1，它們和an，bn存在何種聯(lián)系？

根據(jù)c1=a1=b1，c2=a3=b4，c3=a5=b7，c4=a7=b10，可以發(fā)現(xiàn)必然存在這樣一個(gè)等量關(guān)系ck=am=bn，其中1≤k≤m，1≤k≤n，k，m，n∈N*，且3m+6=2n+7.可見ck，ck+1就是數(shù)列｛an｝中的兩個(gè)相鄰的公共項(xiàng)或者是數(shù)列｛bn｝中的兩個(gè)相鄰的公共項(xiàng).

導(dǎo)引2：在數(shù)列｛bn｝中尋找和數(shù)列｛an｝中相同的項(xiàng)，就是要找到相鄰公共項(xiàng)bn+t，bn之間的遞推關(guān)系.

假如我們得到ck=bn，ck+1=bn+t，那么ck+1-ck=bn+t-bn=t×d.

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，若bn=2n+7，則bn+1=2n+2+7=2n+9；bn+2=2n+11；bn+3=2n+13.

導(dǎo)引3：等量關(guān)系ck=am=bn是一個(gè)重要的隱含條件.

上面的幾個(gè)項(xiàng)的表達(dá)式分別是2n+7、2n+9、2n+11、2n+13，它們怎么可能是等差數(shù)列｛3n+6｝中的項(xiàng)？從表面上看，兩者似乎沒有任何關(guān)聯(lián)，但是回頭想一想，2n+7就是第k個(gè)公共項(xiàng)ck，那么它能不能從表面上看得出是公共項(xiàng)？這就是問題的突破口.

若ck=bn=2n+7，且bn=am，即3m+6=2n+7；

bn+1=2n+2+7=（2n+7）+2=（3m+6）+2=3m+8，令3m+8= 3k+6（k∈N*），而k=m+?N*，所以bn+1不是數(shù)列｛am｝中的項(xiàng)，即bn+1?｛am｝，不是公共項(xiàng)；

bn+2=2n+4+7=（2n+7）+4=（3m+6）+4=3m+10，同理可得bn+2也不是公共項(xiàng)，bn+2?｛am｝；

bn+3=2n+6+7=（2n+7）+6=（3m+6）+6=3m+12=3（m+2）+6，即bn+3是數(shù)列｛am｝中的第m+2項(xiàng).

導(dǎo)引4：證明公共項(xiàng)從小到大順序排列后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.

根據(jù)上面的討論，在ck=am=bn的前提下，必有am+2= bn+3，即ck=am，ck+1=am+2或者ck=bn，ck+1=bn+3.由于d=ck+1-ck= am+2-am=2×3=6>0，或者d=ck+1-ck=bm+3-bm=3×2=6>0，從而可以證明數(shù)列｛cn｝是等差數(shù)列，其中公差d=3×2=6，即兩個(gè)數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)，所以cn=6n+3.

導(dǎo)引5：求兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)的一般步驟.

（1）列舉獲得公共項(xiàng)的首項(xiàng)；

（2）確定在哪一個(gè)數(shù)列（比如｛bn｝）中找公共項(xiàng)；

（3）假設(shè)ck=am=bn，奠定相互轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)條件，也是隱含條件；

（4）在數(shù)列中依次驗(yàn)證bn+1，bn+2，bn+3，…，直到找到第k個(gè)公共項(xiàng)ck后面相鄰的第一個(gè)公共項(xiàng)ck+1；

（5）證明ck+1-ck=d（d為常數(shù)），根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出公共項(xiàng)的通項(xiàng)公式.

上述探究公共項(xiàng)的解題思路的過程，主要目的是引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)探究，學(xué)會(huì)思考，雖然費(fèi)事費(fèi)力，但是學(xué)生體驗(yàn)到了一個(gè)問題由不會(huì)到會(huì)的探究過程，不僅印象深刻，而且在一定程度上也能對問題本質(zhì)的理解，得到初步的提高.

三、從發(fā)展的角度認(rèn)識(shí)和體驗(yàn)思想方法的構(gòu)建

1.在同類問題的簡單變式中，體驗(yàn)和熟悉解題基本程序

有了對公共項(xiàng)初步的解題體驗(yàn)，并不等于學(xué)生就能夠獨(dú)立求解一般的類似問題.課堂上還需要隨機(jī)地設(shè)計(jì)幾個(gè)簡單變式題，只有簡單變式題才有利于再次熟悉和快速鞏固剛剛獲得的成果，同時(shí)也有利于固化解題程序，在解題中體驗(yàn)到解題方法的優(yōu)缺點(diǎn).

案例1數(shù)列｛an｝與｛bn｝的通項(xiàng)公式分別為an=4n-1，bn=3n+2，它們的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列是｛cn｝，求｛cn｝的通項(xiàng)公式.

學(xué)生完全可以模仿獲得下列解題過程：

設(shè)an=bm=ck，則ck=4n-1=3m+2.

所以an+1=4（n+1）-1=3m+2+4=3（m+2）?｛bn｝；

an+2=4（n+2）-1=3m+2+8=3（m+3）+1?｛bn｝；

an+3=4（n+3）-1=3m+2+12=3（m+4）+2∈｛bn｝.

所以ck+1=an+3，所以ck+1-ck=an+3-an=12，所以｛cn｝構(gòu)成公差為12的等差數(shù)列.

又c1=a3=11，所以cn=11+12（n-1）=12n-1.

從這個(gè)解題過程中，學(xué)生至少可以取得三個(gè)收獲：

（1）規(guī)范了解題步驟，再次鞏固探究成果，還可以對上面的解題程序推廣到非等差的問題的求解.

（2）補(bǔ)充強(qiáng)化判斷一個(gè)數(shù)屬于某個(gè)數(shù)列中的項(xiàng).本題采用直接將表達(dá)式和bn=3n+2相比較，可以直接判斷出該項(xiàng)屬于數(shù)列｛bn｝中的某一項(xiàng)；當(dāng)然也可以采用多元方程是否有整數(shù)解，來判斷是否是公共項(xiàng).

（3）體驗(yàn)到選擇數(shù)列｛an｝或者｛bn｝的優(yōu)劣程度：本題選擇數(shù)列｛an｝進(jìn)行討論，需要討論an+1，an+2，an+3三項(xiàng)，便可找到公共項(xiàng)，而選擇數(shù)列｛bn｝，則需要討論bm+1，bm+2，bm+3，bm+4四項(xiàng).道理一想便知，公差越大，該數(shù)列中的公共項(xiàng)離得越近，因此，可以獲得新的經(jīng)驗(yàn)，盡量選擇公差大的討論.

2.在問題本身的拓展引申中，不斷地提高對問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)

同類問題的順利解決，也為后續(xù)研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).基礎(chǔ)打牢固了，自然要想一想上面的解決辦法是否是安全的，是否是解決更復(fù)雜的問題的通性通法.因?yàn)閿?shù)列的公共項(xiàng)不僅僅只有等差數(shù)列才有，上述解法對于含有等比數(shù)列的問題是否也同樣適用？

案例2數(shù)列｛an｝與｛bn｝的通項(xiàng)公式分別為an=2n，bn= 3n+2，它們的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列是｛cn｝，求｛cn｝的通項(xiàng)公式.

解析：設(shè)an=bm=ck，則ck=2n=3m+2.所以an+1=2·2n=

an+2=4·2n=4（3m+2）=3（4m+2）+2=b4m+2∈｛bn｝，所以ck+1= an+2，也就是當(dāng)ck=an必有ck+1=an+2.

上述問題中，等比數(shù)列｛an｝由于它的項(xiàng)變化要比等差數(shù)列的快，數(shù)列中相鄰的公共項(xiàng)之間的距離只間隔一項(xiàng)，即ck=am，ck+1=am+2，而等差數(shù)列中相鄰的公共項(xiàng)之間的距離就相當(dāng)遠(yuǎn)，假如bn=ck是第k個(gè)公共項(xiàng)，那么下一個(gè)公共項(xiàng)是b4m+2=ck+1，再次驗(yàn)證了兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)，應(yīng)該盡量在公差較大的數(shù)列中找ck與ck+1之間的關(guān)系.

此外，對于一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)問題，前面案例中所研究的解題方法同樣適用.可以看得出，變式訓(xùn)練不僅是一種鞏固，更多的是讓我們不斷地加深對解題方法的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

至此，我們也許會(huì)想，既然等差數(shù)列之間、等比與等差數(shù)列之間的公共項(xiàng)，都可以采用在項(xiàng)的大小變化較快的數(shù)列中尋找ck與ck+1之間的關(guān)系，同樣兩個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)，上述解法是否仍然適用呢？

案例3數(shù)列｛an｝與｛bn｝的通項(xiàng)公式分別為an=2n，bn= 4n，它們的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列是｛cn｝，求｛cn｝的通項(xiàng)公式.

解析：在等比數(shù)列｛an｝中尋找ck與ck+1之間的關(guān)系.

設(shè)an=bm=ck，則ck=2n=4m.所以an+1=2·2n=2×4m?｛bn｝，an+2=4·4n=4m+1∈｛bn｝.所以ck+1=an+2，也就是當(dāng)ck=an時(shí)必有ck+1=an+2.

看得出，兩個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)也可以從一個(gè)數(shù)列當(dāng)中逐項(xiàng)查找另一個(gè)數(shù)列中的相同項(xiàng).驚喜地發(fā)現(xiàn)，我們已經(jīng)找到了解決此類問題的通法了.

綜上所述，例題教學(xué)始終是在教師的引導(dǎo)下師生共同參與的活動(dòng)，在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上展開的探究活動(dòng)，是基于學(xué)生立場，尊重學(xué)生實(shí)際，把教師自己置身于學(xué)生的境地，設(shè)想學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)什么問題，產(chǎn)生什么困惑，現(xiàn)有哪些經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)地引導(dǎo)主動(dòng)探究，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維過程，理解問題本質(zhì)，主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高解題能力.