☉江蘇省張家港巿第二中學(xué)陳曉芳
緊扣對應(yīng)的視角,理解函數(shù)的根本
——以“一次函數(shù)的圖像”的教學(xué)為例
☉江蘇省張家港巿第二中學(xué)陳曉芳
最近在某微信群里,不少同行圍繞函數(shù)的概念展開了激烈的教學(xué)研討,其中大家對函數(shù)在初、高中階段的定義有不同的認(rèn)識,并給出各自不同的理解.其中,北京航空航天大學(xué)的李尚志博士有如下評論:“函數(shù)的根本點(diǎn)是對應(yīng),也就是自變量決定因變量.這算是公理.當(dāng)你求函數(shù)值的時(shí)候,實(shí)際上是把自變量各自孤立地看成一個(gè)一個(gè)的值,一個(gè)求因變量,這就只剩下對應(yīng)不考慮變化.好比把動(dòng)畫和視頻截成一張張照片.如果你考慮定義域中各不同值的變化關(guān)系,因變量也被拖著有相應(yīng)的變化關(guān)系,這是更高級的對應(yīng):變化的對應(yīng),包括變化速度的對應(yīng).我從來不贊成一個(gè)數(shù)學(xué)概念有不同版本,初中版本、高中版本、大學(xué)版本,以及福建版本、江蘇版本等.初中與高中可能側(cè)重點(diǎn)不同,不是函數(shù)概念的不同,函數(shù)概念只有一個(gè):對應(yīng).而是對自變量的關(guān)注點(diǎn)不同.靜止的自變量對應(yīng)于靜止的因變量,變化的自變量對應(yīng)于變化的因變量,大學(xué)則關(guān)注自變量變化速度與因變量變化速度的關(guān)系,就是導(dǎo)數(shù).”受到啟發(fā),筆者近期開設(shè)一次函數(shù)的圖像研討課,就基于“對應(yīng)”的不同層次和視角,取得了較好的教學(xué)效果,本文梳理該課的教學(xué)流程,并跟進(jìn)解讀教學(xué)立意,提供分享與研討.
1.開課階段
一組練習(xí):已知函數(shù)y1=-6x,y2=-6x+5.
(1)當(dāng)x=1時(shí),分別求出對應(yīng)的y1,y2的值;
(2)當(dāng)y1=6時(shí),求相應(yīng)的x的值;
(3)當(dāng)y2=11時(shí),求相應(yīng)的x的值;
(4)平面直角坐標(biāo)系中,若直線y=-6x經(jīng)過點(diǎn)A(1,a),求a的值.
設(shè)計(jì)意圖:通過一組運(yùn)算求值,為后續(xù)研究函數(shù)圖像做好必要的準(zhǔn)備,同時(shí)也是函數(shù)概念中的對應(yīng)的最低層次的形式:單一的自變量的值對應(yīng)著一個(gè)函數(shù)值.
2.一次函數(shù)的圖像
例1畫出函數(shù)y1=-6x,y2=-6x+5的圖像.
安排學(xué)生用“列表、描點(diǎn)、連線”法畫出函數(shù)圖像(在同一平面直角坐標(biāo)系中).學(xué)生畫出圖像后,引導(dǎo)比較上面兩個(gè)函數(shù)圖像的相同點(diǎn)與不同點(diǎn),并預(yù)設(shè)如下問題:
問題1:這兩個(gè)函數(shù)圖像的形狀都是什么?它們的傾斜程度如何?
問題2:函數(shù)y1=-6x的圖像經(jīng)過原點(diǎn),而函數(shù)y2=-6x+ 5的圖像與y軸交于哪個(gè)點(diǎn)?
問題3:函數(shù)y2=-6x+5的圖像可以看成是函數(shù)y1=-6x的圖像平移得到的嗎?如何平移呢?
問題4:比較兩個(gè)函數(shù)的解析式,你能說出兩條直線具有上述關(guān)系的道理嗎?
設(shè)計(jì)意圖:通過畫圖和上述思考,引導(dǎo)學(xué)生歸納出形如y1=-6x,y2=-6x+5這樣的函數(shù)圖像都是直線,且互相平行,它們的圖像可以通過平移得到.同時(shí)在點(diǎn)評階段還要注意引導(dǎo)學(xué)生注意兩種函數(shù)圖像前后的對應(yīng)關(guān)系,這也是本課基于“對應(yīng)”的一個(gè)視角.
3.一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
例2畫出函數(shù)y=2x-1和y=-0.5x+1的圖像.
預(yù)設(shè)提醒:由于上面我們已總結(jié)出一次函數(shù)的圖像是直線,因此根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”,所以只需要確定兩個(gè)點(diǎn)就能畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像了.
在學(xué)生畫出圖像之后,預(yù)設(shè)追問如下問題:
問題1:有人是先畫出直線y=2x,然后再將其平移也能得出直線y=2x-1,你知道他是怎么做的嗎?
問題2:你能否先畫出y=-0.5x的圖像,然后通過平移得出y=-0.5x+1的圖像?
問題3:有人在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=x+1和y=-x+1的圖像,發(fā)現(xiàn)這兩條直線也有特殊的位置關(guān)系?你覺得他發(fā)現(xiàn)了什么?
問題4:你再快速畫出函數(shù)y=2x+1和y=-2x+1的圖像,看看它們是否還有上面發(fā)現(xiàn)的一些性質(zhì)?哪些性質(zhì)還成立?哪些不成立?
設(shè)計(jì)意圖:通過上述追問讓學(xué)生在練習(xí)快速畫出一次函數(shù)圖像的同時(shí),學(xué)會(huì)觀察不同的一次函數(shù)之間的關(guān)系,在此基礎(chǔ)上強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)問題的能力.
問題5:仍然從對應(yīng)的角度來研究一次函數(shù)的圖像和性質(zhì),比如,同學(xué)是否發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b中,當(dāng)k為正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí),對函數(shù)的圖像有何影響呢?
問題6:在一次函數(shù)y=kx+b中,當(dāng)b為正數(shù)、0或負(fù)數(shù)時(shí),對函數(shù)的圖像有何影響呢?
問題7:從函數(shù)的增減性角度看,一次函數(shù)y=kx+b中,y隨x的增大一定會(huì)增大嗎?如果不是,會(huì)受到哪個(gè)量的影響呢?
設(shè)計(jì)意圖:通過一系列的問題,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一次函數(shù)的性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小.
評講時(shí)注意提醒學(xué)生的方法:我們先通過觀察發(fā)現(xiàn)圖像的規(guī)律,再根據(jù)這些規(guī)律得出關(guān)于數(shù)值大小的性質(zhì),這種數(shù)形結(jié)合的研究方法在今后函數(shù)學(xué)習(xí)中是十分重要的.
鞏固練習(xí):在同一直角坐標(biāo)系下畫出下列函數(shù)的圖像,并解答相關(guān)問題:
y=-2x-1,y=-2x,y=-2x+1.
(1)寫出直線y=-2x-1與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)對于函數(shù)y=-2x+1,y隨x的增大而_____;(填“增大”或“減小”)
(3)指出上述三條直線的共同之處與不同之處;
(4)將直線y=-2x+1向下移3個(gè)單位得到的直線解析式是什么?
4.小結(jié)與運(yùn)用
我們就以函數(shù)y=-2x+1為例,從“對應(yīng)”的不同層次小結(jié)一次函數(shù)圖像的學(xué)習(xí):
第一層次,賦值求值,即當(dāng)x取一個(gè)值時(shí),求出相應(yīng)的y的值;這時(shí)每組數(shù)對都是“孤立”的;
第二層次,從數(shù)到形,把第一層次中得出的有序數(shù)對對應(yīng)到坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo),描出這些點(diǎn);
第三層次,把第二層次中描出的點(diǎn)用平滑的線連接起來,得到函數(shù)完整的圖像,從函數(shù)關(guān)系式出發(fā),對應(yīng)著一個(gè)連接的圖像;
第四層次,研究并分析函數(shù)隨著自變量的變化(增大或減?。?,函數(shù)相應(yīng)是如何變化的,即函數(shù)增減性如何變化.
聽課檢測:(1)已知函數(shù)y=(k-3)x+1.
①當(dāng)其圖像是過第一、二、三象限的直線時(shí),求k的取值范圍;
②若函數(shù)值y隨x的增大而減小,求k的取值范圍.
1.預(yù)設(shè)追問,在追問中滲透“對應(yīng)思想”
根據(jù)章建躍博士提出的“三個(gè)理解”,從“理解數(shù)學(xué)”的層面來看,本課的教學(xué)立意主要是基于“對應(yīng)”的不同層次;從“理解學(xué)生”的層面來看,我們選擇了貼近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的問題情境引入新課;從“理解教學(xué)”的層面來看,我們通過對教學(xué)流程中主要活動(dòng)(如畫圖像)之后,注重預(yù)設(shè)了系列追問,通過這些追問不僅鞏固新知,而且重在滲透“對應(yīng)思想”,一直到課堂小結(jié)階段,又從不同層次跟學(xué)生明確和梳理本課中的多種“對應(yīng)”層次.
2.重視練習(xí),在練習(xí)中傳遞“練習(xí)精神”
近讀鐘啟泉教授著作,鐘教授關(guān)于練習(xí)的“系統(tǒng)開發(fā)”有如下論述:洞察“練習(xí)”的本質(zhì),學(xué)會(huì)領(lǐng)悟自身的自然本性,發(fā)現(xiàn)自我、修煉自我、完善自我,從而有助于使“練習(xí)”真正擁有人性的高度,使“練習(xí)精神”在學(xué)校教育中熠熠生輝——這就是“練習(xí)”的系統(tǒng)開發(fā)的終極目標(biāo).所以,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們需要精心設(shè)計(jì)練習(xí)環(huán)節(jié),而不是隨手摘錄、簡單復(fù)制,需要根據(jù)所訓(xùn)練的例題、數(shù)學(xué)活動(dòng),編擬、改編成適合各個(gè)教學(xué)活動(dòng)之后的跟進(jìn)練習(xí),既讓學(xué)生得到必要訓(xùn)練,又通過這些不同形式的練習(xí)向?qū)W生傳遞一種“練習(xí)精神”:從系列練習(xí)中發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)(與新知的關(guān)系,不同小題之間的關(guān)系),理解對應(yīng)(函數(shù)的對應(yīng)思想).
函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的核心概念,既是數(shù)式、方程、不等式的“升級版”,又引導(dǎo)著后續(xù)數(shù)學(xué)(如微積分)的發(fā)展,教師備課、教學(xué)時(shí)需要有大局觀,才能在教學(xué)細(xì)節(jié)處體現(xiàn)出取舍的智慧.想來,“思考大問題,設(shè)計(jì)小細(xì)節(jié)”也許應(yīng)該成為我們教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)追求吧.
1.章建躍.全面深化數(shù)學(xué)課改的幾個(gè)關(guān)鍵[J].課程·教材·教法,2015(5).
2.鐘啟泉.讀懂課堂[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2015.
3.劉東升.關(guān)聯(lián)性:一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2013(12).
4.陳乘風(fēng).依靠基本套路,踐行單元教學(xué)——以“矩形、菱形”第1課時(shí)教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2016(2).H