張藝馨（天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 天水 741001）

基于比例odds模型最小次序統(tǒng)計量的隨機比較

張藝馨
（天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 天水 741001）

在比例odds模型的框架下，對它的最小次序統(tǒng)計量作了隨機比較，包括似然比序，失效率序和隨機序.

隨機序；反失效率序；似然比序；比例odds模型

1　研究背景和預備知識

近年來，次序統(tǒng)計量倍受國內(nèi)外學者的關(guān)注，它在統(tǒng)計推斷、擬合優(yōu)度檢驗、可靠性理論及經(jīng)濟學等領域都有重要應用.若有一組隨機變量X1，X2，…，Xn，可能服從相同的或不同的分布，則用Xi：n表示第i個次序統(tǒng)計量.很多文章對獨立同分布的情形做了研究，【1-3】由于非獨立同分布樣本的次序統(tǒng)計量比較復雜，所以僅有有限的文章討論了此種情形.［4-7］

Marshall&Olkin［8］通過生成一個參數(shù)擴展了生存函數(shù)為（x）的分布族，并且定義這族生存函數(shù)為

若獨立隨機變量組X1，X2，…，Xn滿足

則稱這組隨機變量屬于比例odds模型.這里就比例odds模型最小次序統(tǒng)計量的隨機性質(zhì)進行研究.

定義1設兩個隨機變量X和Y分別具有密度函數(shù) f和g以及分布函數(shù)F和G.令

為相應的生存函數(shù)，則

（1）若g（x）f（x）關(guān)于x單調(diào)遞增，則稱X以似然比序小于Y，記作X≤lrY；

定義1中的隨機序有以下包含關(guān)系：

定義2給定兩個向量x=（x1，…，xn）∈?n和

（3）若向量x與y的每一個分量都嚴格大于零，且

定義2中的序有如下關(guān)系：

引理1［10］令I??是一個開區(qū)間，并令φ：In→?連續(xù)可導.則稱φ在In上是Schur-凸［Schur-凹］當且僅當φ在In上對稱并對所有i≠j，

引理2［11］函數(shù)滿足

當且僅當

2　結(jié)果及其證明

定理1設有兩組獨立非負隨機變量X1，…，Xn和Y1，…，Yn，分 別 滿 足 Xi～G（x；αi）且Yi～G（x；βi），i=1，…，n，這里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤stY1：n.

證明 X1：n的生存函數(shù)為

要證明X1：n≤stY1：n.，只需證明

這里ai=logαi，i=1，…，n.此時對任意k，l∈1，…，n，

定理2設有兩組獨立非負隨機變量X1，…，Xn和 Y1，…，Yn，并且滿足 Xi～G（x；αi）且 Yi～G（x；βi），i=1，…，n，這里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤hrY1：n.

證明 X1：n的概率密度函數(shù)為

它的失效率函數(shù)為

對h（α）求導可得

再次求導有

定理3設有兩組獨立非負隨機變量X1，…，Xn和Y1，…，Yn，并且滿足 Xi～G（x；αi）且 Yi～G（x；βi），i=1，…，n，這里αi＞0，βi＞0，i=1，…，n.如果

那么，X1：n≤lrY1：n.

證明 X1：n與Y1：n的概率密度函數(shù)之比為

對h（x）求導有

其中

由引理2，可得h1（x）≥h2（x）.所以h（x）關(guān)于x遞增，結(jié)論成立.

3　總　結(jié)

通過本論文的研究，對比例odds模型最小次序統(tǒng)計量有了相對完整的隨機序比較結(jié)果，以后可以對比例odds模型最大次序統(tǒng)計量的隨機序進行研究，也可以對基于指數(shù)分布的比例odds模型的次序統(tǒng)計量進行研究。

［1］JOO S.，MI J..Some properties of hazard rate functions of sys tems with two components［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2010，140：444-453.

［2］KHALEDI B.E.，KOCHAR S..Some new results on stochastic comparisons of parallel systems［J］.Applied Probability，2000，37：283-291.

［3］PENG ZHAO，BALAKRISHNAN N..Some characterization results for parallel systems with two heterogeneous exponen?tial components［J］.Statistics，2011，45：593-604.

［4］Balakrishnan N.，Rao C.R..Order Statistics：Theory and Methods［M］.Amsterdam：Elsevier，1998.

［5］BALAKRISHNAN N.，RAO C.R..Order Statistics：Applications［M］.Amsterdam：Elsevier，1998.

［6］BALAKRISHNAN N..Permanents，Order statistics，Outliers，and Robustness［J］.Maremática Complutense，2007，20：7-107.

［7］DAVID H.A.，NAGARAJA H.N..Order statistics［M］.New Jersey：John Wiley Sons，2003.

［8］MARSHALL A.W.，OLKIN I..A new method for adding a parameter to a family of distributions with application to the ex?ponential and Weibull families［J］.Biometrika，1997，84：641-652.

［9］MARSHALL A.W.，OLKIN I..Life Distributions：Structure of Nonparametric，Semiparametric and Parametric Families［M］.New York：Springer.

［10］MARSHALL A.W.，OLKIN I..Inequalities：Theory of Majorization and its Applications［M］.New York：Academic Press，1979.

［11］KHALEDI B.E.，KOCHAR S.C..Dispersive ordering among linear combinations of uniform random variables［J］.Statisti?cal and Planning Inference，2002，100：13-21.

〔責任編輯 高忠社〕

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A

1671-1351（2016）02-0016-03

2016-01-12

張藝馨（1989-），女，甘肅平?jīng)鋈?，天水師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院教師。