魏艷華（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741001）

損失模型及其隨機模擬

魏艷華
（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741001）

研究保單限額、免賠額及通貨膨脹率對理賠額的影響，利用隨機模擬方法估計Pareto分布參數(shù)、分位數(shù)并對誤差進行討論.最后，在假定在損失額獨立或同分布不成立的情形下，建立了總損失模型，并利用隨機模擬探討了總損額的性質(zhì)，給出了模擬程序.

保單限額；損失模型；帕累托分布；時間價值；隨機模擬

一張保單由于不確定性而發(fā)生的損失有多種結(jié)果，可以尋找一個合適的分布函數(shù)來刻畫保單發(fā)生各種損失的概率，即損失分布.損失額是指承保的標(biāo)的可能發(fā)生的實際損失大小，而理賠額是保險公司按保險合同規(guī)定的保單責(zé)任所支付的實際費用.對保險公司而言，理賠額是保險事故的實際損失額，保費、準(zhǔn)備金、破產(chǎn)概率及再保險等精算問題都以保險人的實際賠付情況而定，因此，理賠額比損失額更值得關(guān)心.［1-4］保險公司為了規(guī)避風(fēng)險及減少營業(yè)成本對保單責(zé)任進行限制.在總損失模型中，遞推和逆變化法常要假設(shè)理賠額相互獨立且和理賠次數(shù)相獨立，這可能使模型不能反映現(xiàn)實情況.但是，在在損失額獨立或同分布不成立的情形下，由于解析法得到的結(jié)果并不令人滿意，因此關(guān)于總損失額的計算通常采用隨機模擬的方法.［5-6］本文研究保單限額、免賠額及通貨膨脹率對理賠額的影響，在責(zé)任險種，利用混合Pareto分布擬合損失數(shù)據(jù)非常成功，利用隨機模擬方法估計Pareto分布參數(shù)、分位數(shù)并對誤差進行討論.最后在假定在損失額獨立或同分布不成立的情形下，建立了總損失模型，并利用隨機模擬探討了總損額的性質(zhì)，給出了模擬程序.

1　責(zé)任限制與通貨膨脹對理賠額分布的影響

1.1保單限額

保單限額指每次保險事故中按保險單約定的最高賠償金額，當(dāng)損失金額超過保單限額時，投保人將只獲得最高賠償額，超出部分自己承擔(dān).［5］在財產(chǎn)保險中，保單限額就是投保額，為了規(guī)避道德風(fēng)險，投保額最高不能超過財產(chǎn)的實際價值，即使投保人在幾家公司同時投保，發(fā)生事故后，理賠總額也不會超過財產(chǎn)的實際價值，否則，投保人會任其發(fā)生事故，理賠后還會大賺一把，這違背了財險的補償型原則，即賠償數(shù)額不能超過財物的實際價值，避免保戶通過理賠得到額外收益.但在責(zé)任保險，保單限額由雙方協(xié)議.若保單規(guī)定保單限額為L，一旦發(fā)生事故，保險人必須賠付，即損失事件等于理賠事件.假定X為保險事故的實際損失，其分布函數(shù)為FX（x），Y為保險公司按保單規(guī)定保險責(zé)任的實際理賠額，則

被保險人所獲得的實際賠付額的期望值為EY，顯然Y由一個離散分布和一個連續(xù)分布混合而成，密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為

其中SX（x）=1-FX（x），稱為生存函數(shù).

特別有，若X是非負隨機變量，則

由全概率公式顯然有

1.2免賠額

若保單規(guī)定，當(dāng)損失額低于某一限額d時，保險公司不予賠償，當(dāng)損失額高于該限額時，保險人只賠償高出部分.［6］這一限額稱為普通免賠額，免賠額可以提高投保人的安全意識，主動防范風(fēng)險，從而減少索賠次數(shù)，減少經(jīng)營費用.試想，如果某此事故的損失額為200元，投保人申請理賠，則保險人就要派人去勘察、核實，這樣會浪費很多人力、物力，特別會浪費雙方當(dāng)事人的時間，最后造成的社會總損失比200元可能還高，這也違背了保險的原則.若保單合同規(guī)定免賠額為d，則每次事故中被保險人實際獲得的賠付

當(dāng)損失額X≤d時，投保人不會提出索賠，保險人也無需理賠，因此理賠額也不存在.當(dāng)損失額X＞d時，投保人才會提出索賠，賠付額為X-d.在每次損失事故中，保險人的理賠額

當(dāng)y＞0時，

當(dāng)y=0時，F(xiàn)Y（y）=0.求導(dǎo)可得密度函數(shù)為

有些保單中規(guī)定，當(dāng)保險事故實際損失額為X時，保險公司只賠付aX，這稱為比例分擔(dān)免賠，a稱為比例分擔(dān)系數(shù).這時，理賠額Y=aX，

假定X為保險事故的實際損失，其分布函數(shù)為FX（x），Y為保險公司按保單規(guī)定保險責(zé)任的實際理賠額.若保單同時規(guī)定最高保單限額為L，免賠額為d，則每次事故的實際賠付為：

當(dāng)0＜y＜L-d時，

當(dāng)y≥L-d時，F(xiàn)Y（y）=1.

1.3通貨膨脹

貨幣存在時間價值，即利率，同樣由于國家為了增加財政收入，促進消費，增加就業(yè)，往往會采用征收通貨膨脹稅，即適度過量發(fā)行貨幣，這樣，正常情況都會存在適度的通貨膨脹.隨著時間推移，損失額會隨著通貨膨脹而變大.

（1）當(dāng)通貨膨脹率為已知r時

設(shè)X為今年每次的實際損失額，預(yù)期通貨膨脹率為r，則明年的實際損失Z=（1+r）X，分布函數(shù)為

若X的分布函數(shù) FX（x，θ）屬于尺度（標(biāo)度）不變分布，即FCX（x，θ）=FX（x，θ c），則通貨膨脹后Z的分布函數(shù)形式?jīng)]發(fā)生變化，只是參數(shù)發(fā)生了一定的變化.如指數(shù)分布族為一標(biāo)準(zhǔn)分布族，即尺度分布族，伽瑪分布存在尺度參數(shù).設(shè)隨機變量X～Γ（α，β），對c＞0，令Y=cX，則

求導(dǎo)可得

即Y～Γ（α，β c），因此伽瑪分布的參數(shù) β是尺度參數(shù).

綜上所述，設(shè)X為實際損失額，若保單規(guī)定免賠額為d，限額為u，比例分擔(dān)系數(shù)為a，則每次損失事件的實際賠付額為I（X）和理賠額為Y，則E［I（X）］=a［E（X∧L）-E（X∧d）］，

若預(yù)期通貨膨脹率為r，且d，L，a在通貨膨脹前后不變，則明年每次損失事件的實際賠付額為

其中Z為理賠額，Z=I（Z）|X≥d（1+r），化簡得

（2）當(dāng)通貨膨脹率是隨機時

若年通貨膨脹率為隨機變量C，則明年的實際損失Z=CX，其中C與今年年實際損失額X相互獨立，設(shè)C的分布函數(shù)為FC（c），密度函數(shù)為fC（c），則

顯然 EZ=E（CX）=E（C）E（X），由條件方差公式［4-6］

若明年的保單限額為30，求明年理賠額的期望.

解 設(shè)明年的損失額Z=CX，則

2　帕累托損失分布及其隨機模擬

在損失模型中，只有選擇一個合適的分布類型去估計損失額的分布，才可以較為精確地預(yù)測平均損失額或理賠額，進而才可考慮保費厘定、再保險安排等一系列精算問題.在非壽險中，很多損失數(shù)據(jù)具有厚尾特征，而Pareto分布具有厚尾，因此Pareto分布在數(shù)據(jù)模擬中具有廣泛的用武之地.［7-8］意大利經(jīng)濟學(xué)家Pareto在研究收人數(shù)據(jù)時最先引進Pareto分布，目前，它廣泛應(yīng)用于極值分析，擬合保險損失，網(wǎng)絡(luò)流建模，可靠性研究，以及金融風(fēng)險管理等領(lǐng)域.

定義1［5］Pareto分布X的密度函數(shù)定義為

其中參數(shù)α＞0，θ＞0，分布函數(shù)為

定義1是單參數(shù)Pareto分布，其實，只有α是真正的參數(shù)，θ的值必須預(yù)先確定.顯然對于k＜α，

特別有

注意：當(dāng)α＜2時，Pareto分布的方差不存在.眾數(shù)恒為θ.

定義2［6］Pareto分布X的密度函數(shù)定義為

其中參數(shù)α＞0，θ＞0，分布函數(shù)為

今后如不加聲明，一般采用定義2.密度函數(shù)的右尾通常表示取值較大時的概率，精算師對這非常關(guān)注，因為高額索賠的發(fā)生對盈利的影響很大.如果隨機變量X在取值較大的部分具有較高的概率，則稱X具有厚尾.厚尾是一個相對的概念，如X比Y的尾厚，或是一個絕對的概念，如具有某種特征的分布稱為厚尾分布.當(dāng)選擇模型時，考慮損失分布的尾部可幫助我們縮小選擇的范圍.如，對醫(yī)療事故索賠用Pareto分布模型是較為合理的，對牙醫(yī)保險則應(yīng)考慮對數(shù)正態(tài)分布較為合理，因為其尾部很輕.但是度量尾部輕重的方法并不一致.［6］如果任意整數(shù)階矩存在，則說明尾部很輕，而整數(shù)階矩存在最高階或不存在，在說明尾部很厚.對于Γ（α，β）及?k＞0，

而對于Pareto（α，θ），

上述積分存在僅當(dāng)和式中y的指數(shù)都小于1，即j-α-1＜-1對所有 j成立?k＜α.由于可見Pareto分布只有某些矩存在，故尾部比gamma分布厚.

Pareto分布的尾比較厚，常用來描述損失分布，但保單存在限額x時，我們有：

Pareto分布具有下述性質(zhì)：

（1）Pareto分布總是右偏的，眾數(shù)恒為0；

（2）Pareto分布乘以正常數(shù)r后，仍是Pareto分布，參數(shù)為（α，rθ）；

（3）如果均值EX=μ不變，當(dāng)α→∞時，Pareto分布收斂到參數(shù)為1μ的指數(shù)分布.

在廣義Pareto分布中，令τ=1，可得到參數(shù)（α，θ）的帕累托分布.如果確定損失數(shù)據(jù)的尾部存在厚尾，我們一般可用廣義帕累托分布來擬合損失數(shù)據(jù)，為了穩(wěn)妥起見，應(yīng)用條件的最大吸引域條件檢驗進行檢驗.在確定可使用廣義Pareto分布來擬合存在厚尾的數(shù)據(jù)之后，一個重要的問題就是對損失數(shù)據(jù)進行分割，即找到一個科學(xué)且適當(dāng)?shù)拈T限值.只有找到了一個適當(dāng)?shù)拈T限值，對廣義Pareto分布的參數(shù)估計才能得到一個成功的結(jié)果.

例2美國保險服務(wù)局的精算師發(fā)現(xiàn)，一般責(zé)任保險的損失模型采用2個參數(shù)的Pareto分布非常成功，并且不必要采用5個參數(shù)，他們選擇的累積分布函數(shù)為

可見2個Pareto分布的形狀參數(shù)相差2，第1個分布在取值很大的部分有較小的概率，它表示索賠額較大但不頻繁發(fā)生的模型.第2個分布在取值很小的部分有較大的概率，它表示頻繁發(fā)生且索賠額較小的模型.這個分布只有4個參數(shù)，一定程度上簡化了建模工作.

一個簡單的建模模型至少應(yīng)具有以下特點：

（1）當(dāng)可以使用較少的參數(shù)確定模型時，確定每個參數(shù)的精度應(yīng)很高；

（2）模型要對時間和環(huán)境穩(wěn)定.如發(fā)生通貨膨脹或類似想象引起的一些微小變化，模型仍然可以用；

（3）由于數(shù)據(jù)通常是不規(guī)則的，所以簡單的模型應(yīng)便于進行必要的光滑處理；

當(dāng)然使用較多參數(shù)確定的復(fù)雜模型可以與現(xiàn)實吻合的更好，可以更準(zhǔn)確地匹配數(shù)據(jù)的不規(guī)則性.［5-6］統(tǒng)計建模所遵循的過度節(jié)約原則是：應(yīng)選擇能夠充分反映現(xiàn)實情況的最簡單的模型，就像購買商品，要買你買得起的最好商品，對充分的理解應(yīng)依賴于模型的用途.

目前獲得Pareto隨機樣本仍很困難，但我們可以做出一些讓步，利用Pareto偽隨機數(shù)來代替帕累托隨機樣本，因為不知二者來源的人不能將二者區(qū)分開，這樣的一個偽隨機序列完全可以滿足我們的需求.如果F（x）是分布函數(shù)，u～U［0，1］，則

是一個F隨機數(shù).由

為參數(shù)為Pareto（α，θ）隨機數(shù).［7］

例3生成10000個偽Pareto（3，1000）隨機數(shù)并驗證無法將其與真實的Pareto分布觀察值區(qū)分開.利用隨機模擬估計均值、FX（1000）以及90%分位數(shù)π0.9，當(dāng)n多大時，你確信有95%的概率得到的模擬結(jié)果與與真實值的誤差為±1%？

解 由商業(yè)化軟件生成均勻隨機數(shù)u，由公式x=1000［（1-u）-1 3-1］可得到Pareto偽隨機數(shù).程序省略，模擬結(jié)果如下表：

表1　特征數(shù)

表2　頻數(shù)表

由于均值、標(biāo)準(zhǔn)差分別為

模擬的結(jié)果為

可見結(jié)果還是挺好的.由于

ni，Ei是第i個區(qū)間實際出現(xiàn)的次數(shù)和理論出現(xiàn)次數(shù)，k為未知參數(shù)的個數(shù)，如果計算得到的統(tǒng)計值，則拒絕原假設(shè).程序運行結(jié)果為，Q=5.578927426＜14.067，接受原假設(shè)，即無法將無偽帕累托隨機數(shù)與真實的Pareto分布觀察值區(qū)分開.由于均值μ的經(jīng)驗估計為xˉ，由中心極限定理，

在樣本容量為n時，有

成立時可滿足要求.

當(dāng)n=10000次時，n1000=8746，

完全可以滿足要求，這時的估計值為0.8746，真實值為0.8750，相對誤差為0.0457%.

假如 X（1）≤X（2）≤…≤X（n）是模擬樣本的次序統(tǒng)計量，令

則0.95=P（X（a）≤π0.9≤X（b））.

可見模擬10000次，即使沒有滿足停止規(guī)則，可模擬誤差達到了要求.可見停止規(guī)則只是給我們提供了一種參考的方式，由于數(shù)字的隨機性及利用樣本均值和樣本方差代替均值和方差的近似性，導(dǎo)致了結(jié)果具有不小的誤差.

3　總損失模型

獨立性或同分布在以下兩種情形下常不成立，一是考慮時間，如貨幣的時間價值，二是承保責(zé)任的調(diào)整.［6］

（1）損失賠付的時間價值

（2）含投保人最大自留額的情形

假設(shè)對每一筆損失都考慮免賠額d，但是在一年中，投保人自己的支付不會超過u.用Xi表示第i筆損失，Wi=Xi∧d表示免賠額為d時投保人的支出，Yi=Xi-Wi表示保險人的支付，則R=W1+…+WN表示沒有支付上限時投保人的總支付額，顯然投保人的實際支出為 Ru=R∧u.S=X1+…+XN表示一年內(nèi)的總損失額，則保險人的總支付T=S-Ru.當(dāng)S和Ru的分布都基于獨立同分布索賠額的分布時，我們可利用解析法求得他們的分布，但是因為存在相依性，不能通過合并的方式得出T的分布，也不存在一種方法將T表示成i.i.dYi的和.雖然在年初時，看起來T表示成獨立同分布的Yi的和，但是在某些點投保人的總支付額達到上界u 時Yi將被Xi取代.

假定免賠額d=250，賠付上界u=1000，損失次數(shù)N～NB（3，2），損失額服從參數(shù)τ=2，θ=600的威布爾分布，分布函數(shù)為試給出保險人損失為95%的分位數(shù).

（3）隨機模擬

只給出情形（1）的隨機模擬，（2）同理可得.假設(shè)Xi～Pareto（3，1000），Li服從參數(shù)τ=1.5，θ=ln（Xi）6的威布爾分布，分布函數(shù)為，可見尺度參數(shù)依賴于損失量.對于貼現(xiàn)因子，我們假定當(dāng)t＞s，

由于由損失時間間隔可推出損失次數(shù)N，故不必對N假設(shè).下面通過隨機模擬法計算一年總賠付期望的貼現(xiàn)值.

其中x為損失量.損失的最終支付時間ti是ci合li之和.

最后生成貼現(xiàn)因子，先將ti按升序排列，又因為

由于每年的索賠次數(shù)隨機性太強，可能1次，也可能4此或7次，這樣就導(dǎo)致結(jié)果的隨機性很強，表現(xiàn)在模擬的方差很大，達到了106級，但我們的模擬結(jié)果還具有一定的參考價值，一年總賠付貼現(xiàn)值為2300左右.

特別值得注意的是：如果再進行同樣程序運行，模擬次數(shù)仍為100次，結(jié)果可能不一樣，普遍在2300左右.由于每年的索賠次數(shù)隨機性太強，導(dǎo)致，總賠付限制的方差可能隨次數(shù)的增加而增加.

由于均值μ的經(jīng)驗估計為xˉ，由中心極限定理，在樣本容量為n時，有

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〔責(zé)任編輯 高忠社〕

Losses Model and its Stochastic Simulation

Wei Yanhua，Wang Bingcan，Zhang Yixin
（School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu741001，China）

The paper discusses that policy limits，deductibles and inflation impact on the claim amount distribution.By using stochastic simulation method estimates parameters and quantiles of Pareto distribution，discusses the error of simulation.Last it establishes the total losses model when losses are not independent and identically distributed，discusses the property of total losses by using stochastic simulation method，gives the simulation program.

insurance policy limits；losses model；pareto distribution；time value；stochastic simulation

O211.9

A

1671-1351（2016）02-0009-07

2016-01-21

魏艷華（1978-），女，吉林四平人，天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師。