楊 金,曾新韻,譚遠(yuǎn)順

(重慶交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400074)

基于共生理論的供應(yīng)鏈上下游企業(yè)庫(kù)存水平策略研究

楊 金,曾新韻,譚遠(yuǎn)順

(重慶交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400074)

運(yùn)用共生理論，在下游企業(yè)庫(kù)存水平相對(duì)增長(zhǎng)率為線性反應(yīng)函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了Holling II非線性功能性反應(yīng)函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，得出供應(yīng)鏈上下游企業(yè)庫(kù)存水平穩(wěn)定的充分條件，當(dāng)這一穩(wěn)定的平衡狀態(tài)被破壞時(shí)，其外圍出現(xiàn)一系列關(guān)聯(lián)緊密的穩(wěn)定平衡態(tài)，供應(yīng)鏈中的上游企業(yè)和下游企業(yè)仍達(dá)到一種動(dòng)態(tài)的平衡.這種現(xiàn)象符合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的杠杠原理，使得此模型更加合理，相關(guān)結(jié)論有助于上游企業(yè)和下游企業(yè)作出更加合理的庫(kù)存決策.

Holling II功能性反應(yīng)函數(shù)；供應(yīng)鏈；平衡態(tài)；極限環(huán)；庫(kù)存

隨著互聯(lián)網(wǎng)、ERP、電子商務(wù)等信息技術(shù)在企業(yè)中的廣泛應(yīng)用，如何有效管理庫(kù)存，使它既可以維持一個(gè)較高的服務(wù)水平，又可以減少不必要的庫(kù)存成本費(fèi)用.許多學(xué)者對(duì)供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的庫(kù)存水平進(jìn)行研究，胡建波等[1]研究了供應(yīng)鏈庫(kù)存管理策略；Zhang等[2]通過(guò)考慮多個(gè)敏感需求流的庫(kù)存系統(tǒng)，分析牛鞭效應(yīng)所產(chǎn)生的后果；Fu等[3]研究?jī)杉?jí)供應(yīng)鏈中供應(yīng)商和分銷商在供應(yīng)方面的合作庫(kù)存決策，說(shuō)明供應(yīng)方面的協(xié)作能夠提高供應(yīng)鏈性能的穩(wěn)定作用和服務(wù)水平.隨著對(duì)供應(yīng)鏈庫(kù)存問(wèn)題的深入研究，學(xué)者們建立模型，運(yùn)用算法，對(duì)供應(yīng)鏈庫(kù)存進(jìn)行分析，倪冬梅等[4]建立需求預(yù)測(cè)與庫(kù)存決策集成模型，驗(yàn)證其求解方法有效性，表明集成模型在減少缺貨和節(jié)約成本方面具有優(yōu)勢(shì)；柳鍵等[5]基于需求和供應(yīng)都不確定，建立定期檢查補(bǔ)貨模式下的供需雙方庫(kù)存模型，研究供應(yīng)鏈庫(kù)存協(xié)調(diào)與優(yōu)化；何繼善院士等將上下游企業(yè)管理策略和生態(tài)數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來(lái)，在下游企業(yè)庫(kù)存水平相對(duì)增長(zhǎng)率為線性反應(yīng)函數(shù)的基礎(chǔ)上，研究了集群中上下游企業(yè)庫(kù)存的穩(wěn)定性[6]；此后一系列文獻(xiàn)以數(shù)學(xué)和生態(tài)學(xué)的原理與工具對(duì)管理現(xiàn)象進(jìn)行了卓有成效的探究，得出了很好的結(jié)論.王子龍等[7]研究了企業(yè)集群共生演化模型，韓二東等[8]研究了生態(tài)學(xué)視角下港口產(chǎn)業(yè)集群共生模型的穩(wěn)定性等.以上這些文章更多的是對(duì)供應(yīng)鏈上下游企業(yè)庫(kù)存策略的定性說(shuō)明，對(duì)于模型的定量分析也只側(cè)重于當(dāng)系統(tǒng)存在平衡態(tài)時(shí)的上下游企業(yè)之間庫(kù)存水平穩(wěn)定性的描述，而當(dāng)供應(yīng)鏈上下游企業(yè)庫(kù)存狀態(tài)不穩(wěn)定時(shí)，會(huì)發(fā)生何種現(xiàn)象，則沒(méi)有研究說(shuō)明.因此，本文運(yùn)用共生理論，改進(jìn)下游企業(yè)庫(kù)存水平相對(duì)增長(zhǎng)率為線性率的情形，提出了下游企業(yè)庫(kù)存水平相對(duì)增長(zhǎng)率為Holling II函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，推廣了相關(guān)結(jié)論，得到一定條件下供應(yīng)鏈中的上游企業(yè)和下游企業(yè)達(dá)到一種動(dòng)態(tài)平衡的充分條件，使得模型更加合理，符合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的杠杠原理，相關(guān)結(jié)論有助于上游企業(yè)和下游企業(yè)作出更加合理的庫(kù)存決策.

1 模型建立

考慮由一個(gè)上游企業(yè)和一個(gè)下游企業(yè)構(gòu)成供應(yīng)鏈.

對(duì)于上游企業(yè)，若沒(méi)有下游企業(yè)來(lái)購(gòu)買它的產(chǎn)品，其庫(kù)存水平x1呈logistic增長(zhǎng)[6]：

(1)

其中，xi表示供應(yīng)鏈上游企業(yè)的庫(kù)存水平，r表示上游企業(yè)庫(kù)存水平的自然增長(zhǎng)率，t表示時(shí)間，K表示在一段時(shí)間區(qū)域內(nèi)，以及有限的資源約束的條件下，上游企業(yè)的極限庫(kù)存水平.

對(duì)于下游企業(yè)，若沒(méi)有上游企業(yè)給它提供產(chǎn)品，其庫(kù)存水平按幾何級(jí)數(shù)減少[6]：

(2)

其中，x2表示供應(yīng)鏈下游企業(yè)的庫(kù)存水平，d表示下游企業(yè)庫(kù)存的消耗率.

若供應(yīng)鏈中的下游企業(yè)購(gòu)買上游企業(yè)的產(chǎn)品.此時(shí)，供應(yīng)鏈上下游企業(yè)庫(kù)存水平的關(guān)系滿足Lorka-Volterra方程.因此，供應(yīng)鏈上下游企業(yè)庫(kù)存的共生模型[6]為:

(3)

其中，α表示下游企業(yè)對(duì)上游企業(yè)產(chǎn)品的購(gòu)買率，e表示下游企業(yè)將上游企業(yè)的庫(kù)存產(chǎn)品轉(zhuǎn)化為自身產(chǎn)品的效率.該模型簡(jiǎn)單描述了供應(yīng)鏈中上游企業(yè)和下游企業(yè)的供求關(guān)系.

模型(3)假設(shè)兩個(gè)企業(yè)庫(kù)存量的相對(duì)增長(zhǎng)率是線性函數(shù)[9]，這一個(gè)假設(shè)使得模型十分的簡(jiǎn)單，雖然能將模型中的幾個(gè)參數(shù)和這兩個(gè)企業(yè)的相互作用關(guān)系對(duì)應(yīng)起來(lái)，認(rèn)為上游企業(yè)庫(kù)存水平與庫(kù)存量成正比，供應(yīng)鏈上游企業(yè)庫(kù)存水平越高，下游企業(yè)在單位時(shí)間內(nèi)購(gòu)買的產(chǎn)品也就越多，這在一定程度上是合理的，但是下游企業(yè)不可能購(gòu)買無(wú)窮多的產(chǎn)品，忽略了下游企業(yè)庫(kù)存產(chǎn)品的消化飽和因素.為了更好地反映實(shí)際情況，應(yīng)該假定功能性反應(yīng)與供應(yīng)鏈上游企業(yè)庫(kù)存水平的關(guān)系是一種包含著飽和因素的函數(shù)關(guān)系.因此，我們引進(jìn)Holling II功能性函數(shù)[10～12].

(4)

其中，ω>0為常數(shù).該函數(shù)描述了上下游企業(yè)之間庫(kù)存量之間的相互影響.上游企業(yè)產(chǎn)品越多，在開(kāi)始階段對(duì)下游企業(yè)的影響越大，但是，隨著時(shí)間的推移，下游企業(yè)對(duì)產(chǎn)品的需求程度降低，在一定時(shí)刻達(dá)到飽和值，此時(shí)，上游企業(yè)的產(chǎn)品對(duì)下游企業(yè)的影響將穩(wěn)定于某一恒定值，其關(guān)系可以由式(4)很好地加以描述.

將式(4)帶入模型(3)中，得到具有II類功能性反應(yīng)的供應(yīng)鏈上下游企業(yè)庫(kù)存水平共生模型:

(5)

模型中假定各個(gè)參數(shù)都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，而且在企業(yè)的運(yùn)作中，庫(kù)存水平?jīng)]有受到突然政策或者不可抗拒災(zāi)難的影響.

2 模型分析

2.1 穩(wěn)定性分析

對(duì)模型(5)進(jìn)行無(wú)量綱化，令

dt=(1+ωx1)dτ，

為方便模型計(jì)算分析，令

則模型(5)化為

(6)

其中，a1=a,a2=ωa-b,a3=-bω,β=eα-dω.易知，若模型存在非平凡平衡位置，則必有β≠0.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們作變換:

則模型(6)化為(新的變量仍記為x1,x2,t)

(7)

其中，

求出平衡態(tài)和雅可比矩陣

將A帶入特征方程

中，得到對(duì)應(yīng)的特征值,見(jiàn)表1.

表1 模型(7)的平衡點(diǎn)以及對(duì)應(yīng)的特征值

記

取合適的r使得Φ(x1,r)為定號(hào)，也就是說(shuō)，取r使得Φ(x1,r)=0.關(guān)于x1無(wú)實(shí)根，只要r滿足不等式，因而當(dāng)r1rr2時(shí)，f1(r)0.所以當(dāng)0時(shí)，只要r滿足r1

帶入其中，正平衡點(diǎn)為

說(shuō)明無(wú)論供應(yīng)鏈中的上游企業(yè)和下游企業(yè)是處于何種庫(kù)存水平，要想供應(yīng)鏈繼續(xù)維持，以及雙方都獲得極高的收益和較低的庫(kù)存成本，上游企業(yè)和下游企業(yè)的庫(kù)存水平處于這個(gè)穩(wěn)定的平衡位置是供應(yīng)鏈上下游企業(yè)最好的選擇.因此，供應(yīng)鏈上游企業(yè)和下游根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型，分析其穩(wěn)定性，可以讓供應(yīng)鏈上下游企業(yè)穩(wěn)定地發(fā)展下去，并獲取更高的利益，達(dá)到分析建立供應(yīng)鏈上下游企業(yè)庫(kù)存模型的目的，模型達(dá)到穩(wěn)定的條件為

2.2 極限環(huán)現(xiàn)象分析

2.2.1 極限環(huán)存在性 首先研究供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的極限環(huán)現(xiàn)象是否存在.極限環(huán)存在性的判定方法主要有兩類：第一類是根據(jù)環(huán)域定理或由它所推演出來(lái)的判定定理；第二類是基于分支理論.本文運(yùn)用第一類方法研究供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的極限環(huán)現(xiàn)象.

圖1 AOR1B構(gòu)成的Bendixson區(qū)域圖

所以，直線x=x0是無(wú)切的.模型(7)的軌線在其上的穿過(guò)方向如圖1所示.再考慮直線L2=x2+x1-K=0，這里K>0充分大.于是關(guān)于模型(7)有

因?yàn)橹豢紤]直線L2=0在區(qū)域0x1x0內(nèi)的一部分線段AB，顯然當(dāng)K取得充分大時(shí)上式右端在區(qū)間0x1x0內(nèi)恒為負(fù)，實(shí)際上只要取

極限環(huán)實(shí)際上就是一條孤立的閉軌線.當(dāng)極限環(huán)存在時(shí)，說(shuō)明從任何一點(diǎn)初始值出發(fā)，時(shí)間經(jīng)過(guò)無(wú)窮大，不會(huì)收斂到一個(gè)平衡位置，而是會(huì)趨近于一段閉合的軌跡.如線性規(guī)劃中求出的最優(yōu)解，不是一個(gè)孤立的解，而是一個(gè)區(qū)域.

2.2.2 極限環(huán)唯一性 在研究極限環(huán)存在的前提下，我們研究這極限環(huán)是否唯一.對(duì)模型(7)作變換

其中

則模型(7)變化為

(8)

(9)

其中,

因?yàn)楫?dāng)u≠0時(shí)，

ug(u)=uz(eu-1)>0；

成立.

極限環(huán)除了在研究軌線的定性結(jié)構(gòu)中扮演著重要角色外，還有著重要的實(shí)際意義，反映了現(xiàn)實(shí)世界中大量存在的周期震蕩現(xiàn)象.在實(shí)際情況中，上游企業(yè)和下游企業(yè)的庫(kù)存水平不是穩(wěn)定在一個(gè)數(shù)值(平衡位置)上的，它們會(huì)出現(xiàn)周期性的變化.也就是說(shuō)，雖然平衡位置是不穩(wěn)定的，但是其周圍會(huì)存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán).如果這個(gè)極限環(huán)是唯一的，則上游企業(yè)和下游企業(yè)的庫(kù)存水平是穩(wěn)定在一個(gè)周期性的軌道上.在供應(yīng)鏈上下游企業(yè)實(shí)際運(yùn)作過(guò)程中，上游企業(yè)和下游企業(yè)相互協(xié)調(diào)，當(dāng)上游企業(yè)的庫(kù)存水平較低，而下游企業(yè)產(chǎn)出水平較高；上游企業(yè)的庫(kù)存水平較高，而下游企業(yè)的庫(kù)存水平較低時(shí)，在這個(gè)協(xié)調(diào)的過(guò)程中，都可以讓這個(gè)供應(yīng)鏈繼續(xù)維持下去，使得庫(kù)存系統(tǒng)狀態(tài)的不確定和動(dòng)態(tài)復(fù)雜性降低，同時(shí)使得供應(yīng)鏈上下游企業(yè)獲取高收益.

3 結(jié)論

對(duì)供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的庫(kù)存水平進(jìn)行模型分析，其初衷是為了供應(yīng)鏈中的企業(yè)能夠適應(yīng)外部環(huán)境(經(jīng)濟(jì)全球變化、顧客需求變化、競(jìng)爭(zhēng)態(tài)勢(shì)變化)、內(nèi)部環(huán)境(組織和管理觀念)和科學(xué)技術(shù)的快速變化.穩(wěn)定的供應(yīng)鏈?zhǔn)菢?gòu)成供應(yīng)鏈的節(jié)點(diǎn)企業(yè)相對(duì)穩(wěn)定，也就是建立在供需關(guān)系上的節(jié)點(diǎn)企業(yè)的關(guān)系相對(duì)穩(wěn)定.供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的庫(kù)存關(guān)系是一個(gè)動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)，企業(yè)庫(kù)存受到供應(yīng)鏈成員的信任程度、運(yùn)作能力、資源的互補(bǔ)性、風(fēng)險(xiǎn)程度和信息分享程度的影響.若庫(kù)存管理不當(dāng)，將導(dǎo)致庫(kù)存的不足或者過(guò)剩.庫(kù)存不足將錯(cuò)過(guò)送貨、失去銷售額、使客戶不滿、產(chǎn)生生產(chǎn)力瓶頸等；而庫(kù)存過(guò)多則要占用更多的資源.而分析供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的穩(wěn)定性，就是在企業(yè)適應(yīng)內(nèi)外部環(huán)境和科技快速變化的基礎(chǔ)上，指導(dǎo)企業(yè)作出合理的庫(kù)存決策，使得供應(yīng)鏈上下游企業(yè)獲得更大的利益.

本文提出了第二類功能性反應(yīng)函數(shù)，使得供應(yīng)鏈上下游企業(yè)之間庫(kù)存的相互影響作用力具體的表現(xiàn)出來(lái).根據(jù)實(shí)際探訪某供應(yīng)鏈上下游企業(yè)，通過(guò)數(shù)據(jù)分析，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)數(shù)據(jù)，建立模型，通過(guò)求解，分析平衡態(tài)和極限環(huán)現(xiàn)象.我們根據(jù)實(shí)時(shí)的數(shù)據(jù)，分析此時(shí)的狀態(tài)，有利于供應(yīng)鏈中的上游企業(yè)和下游企業(yè)作出正確的決策和措施，具有實(shí)用價(jià)值.

供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的庫(kù)存關(guān)系是一個(gè)動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)，其企業(yè)的共生關(guān)系是動(dòng)態(tài)的關(guān)系，共生模型的各個(gè)數(shù)據(jù)隨時(shí)都在發(fā)生變化，變化中出現(xiàn)了許多現(xiàn)象，我們建立模型，用量化的方式了解這些現(xiàn)象，分析穩(wěn)定點(diǎn)是否穩(wěn)定、是否出現(xiàn)了極限環(huán)現(xiàn)象、這些極限環(huán)又是否穩(wěn)定和唯一.因?yàn)楣?yīng)鏈上下游企業(yè)都是獨(dú)立的實(shí)體，是平等的關(guān)系，彼此之間是在共同利益下的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，擁有獨(dú)立的決策權(quán)，兩者通過(guò)共同的目標(biāo)得到很好的統(tǒng)一.除了判斷該平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定和不穩(wěn)定時(shí)的極限環(huán)現(xiàn)象，我們還可以研究其它問(wèn)題，如該平衡點(diǎn)穩(wěn)定，是漸進(jìn)穩(wěn)定還是全局穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，從靠近穩(wěn)定點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)間趨近于無(wú)窮大時(shí)，運(yùn)動(dòng)收斂到穩(wěn)定點(diǎn)，就說(shuō)明這個(gè)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，全局穩(wěn)定則說(shuō)明從任意一點(diǎn)出發(fā)，時(shí)間趨近于無(wú)窮大時(shí)，運(yùn)動(dòng)都會(huì)收斂到該穩(wěn)定點(diǎn).

本文中企業(yè)的庫(kù)存水平是隨著時(shí)間變化的函數(shù)，其參數(shù)都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，企業(yè)的庫(kù)存水平只與瞬時(shí)庫(kù)存水平有關(guān)，不考慮滯后效應(yīng).在企業(yè)的運(yùn)作中，庫(kù)存水平?jīng)]有受到突發(fā)政策或者不可抗拒災(zāi)難的影響.但是，在實(shí)際的供應(yīng)鏈上下游企業(yè)運(yùn)作過(guò)程中，其參數(shù)都是隨著時(shí)間的變化而變化，并不是一成不變的.進(jìn)一步地，我們可以分析研究非自治模型和時(shí)滯模型，考慮隨時(shí)間變化的函數(shù)和滯后效應(yīng)，以及建立脈沖微分系統(tǒng)，考慮瞬時(shí)突變現(xiàn)象對(duì)供應(yīng)鏈上下游企業(yè)的影響，充分、深刻及精確地反映事物的變化規(guī)律.

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(責(zé)任編輯：張冬冬)

Research on the inventory level strategy of upstream and downstream firms in supply chain based on symbiotic theory

YANG Jin,ZENG Xinyun,TAN Yuanshun

(SchoolofMatnematicsandStatistics,ChongqingJiaotongUniversity,Chongqing400074,China)

This paper proposes a mathematical model in which the relative growth rate of downstream firms’ inventory level satisfies the Holling II functional response function based on symbiotic theory,which expands the linear case.The results indicate that when,the upstream and downstream firms’ inventory level is stable,the original stability of the equilibrium is broken,and a series of close-related new equilibria are generated.The model appears many dynamical equilibria.This phenomenon accords with the lever principle in economics,which makes the model more reasonable.These related conclusions are helpful for upstream and downstream firms to make more reasonable decisions in their managements.

Holling II functional response function;supply chain;equilibrium;limit circle;inventory

2016-08-15

重慶市研究生教學(xué)改革研究項(xiàng)目(yjg2014162)；重慶高校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃資助項(xiàng)目(CXTDX201601022).

楊金(1986-)，男，安徽合肥人，重慶交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，博士研究生.研究方向:生物數(shù)學(xué).

C939

A

1008-2441(2016)06-0012-07