劉蘭蘭，焦建軍,2

(1.貴州財經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴州 貴陽 550004；2.貴州財經(jīng)大學(xué) 貴州省經(jīng)濟系統(tǒng)仿真重點實驗室，貴州 貴陽 550004)

毒素具脈沖擴散與輸入的單種群動力學(xué)模型

劉蘭蘭1，焦建軍1,2

(1.貴州財經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，貴州 貴陽 550004；2.貴州財經(jīng)大學(xué) 貴州省經(jīng)濟系統(tǒng)仿真重點實驗室，貴州 貴陽 550004)

建立了毒素具脈沖擴散與輸入的單種群動力學(xué)模型，利用脈沖微分方程理論對模型進行研究，分別獲得了系統(tǒng)種群滅絕和持久生存的條件，為環(huán)境污染中的生物資源管理提供了可靠的依據(jù).

脈沖輸入環(huán)境毒素；脈沖擴散；單種群動力學(xué)模型

環(huán)境污染正在威脅物種的持續(xù)生存.近年來，有許多學(xué)者研究了污染環(huán)境下的單種群動力學(xué)模型[1～5]，文獻[1][6]采用數(shù)學(xué)建模的方法研究了環(huán)境污染給生物種群生存帶來的影響，其中大多數(shù)研究都假設(shè)毒素是連續(xù)輸入的.事實上，毒素通常是以脈沖的方式釋放到環(huán)境中[7].最近，脈沖微分方程理論被引用到種群的動態(tài)研究中[8～11].本文考慮毒素的脈沖擴散與輸入對單種群物種的影響，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用脈沖微分方程理論對模型進行分析并得到有意義的結(jié)論.

1 模型的建立

考慮種群具有Logistic增長的微分方程模型為

(1)

其中，x(t)為種群在t時刻的密度,a>0為種群的內(nèi)稟增長率,b>0為種群的種內(nèi)競爭系數(shù).如果考慮到種群的脈沖收獲，那么式(1)可改進為式(2),其中,x(t)為種群在t時刻的密度,a>0為種群的內(nèi)稟增長率,b>0為種群的種內(nèi)競爭系數(shù),μ為種群的脈沖收獲系數(shù),τ為種群的脈沖出生周期.

(2)

基于上述討論，考慮毒素具脈沖擴散與輸入對單種群生存的影響，本文建立以下模型：

(3)

其中,系統(tǒng)(3)由2個環(huán)境組成,x(t)表示種群在t時刻的密度，且種群x(t)生活在環(huán)境1中；ce1(t)表示環(huán)境1中的毒素在時刻t的濃度；ce2(t)表示環(huán)境2中的毒素在時刻t的濃度；a>0表示種群的內(nèi)稟增長率；b>0表示種群的種內(nèi)競爭系數(shù)；β 表示環(huán)境1中的毒素對種群的損耗率系數(shù)；-h1ce1(t)表示環(huán)境1中的毒素在時刻t損耗總量;-h2ce2(t)表示環(huán)境2中的毒素在時刻t損耗總量；毒素損耗主要有生態(tài)環(huán)境中的生物轉(zhuǎn)化、水解、分解，微生物分解和光合作用分解等；μ表示 t=nτ(n∈Z+) 時環(huán)境1的種群因為脈沖輸入毒素對種群的損耗系數(shù)；μ1表示 t=nτ(n∈Z+) 時環(huán)境1毒素濃度的脈沖輸入；μ2表示t=nτ(n∈Z+)時環(huán)境2中毒素濃度的脈沖輸入；0

2 動力學(xué)分析

lim(t,u)→((n+1)τ+,z)V(t,u)=V((n+1)τ+),z)

存在；

ii)V在z是局部李普希茨的.

討論主要結(jié)果前，首先給出引理.根據(jù)文獻[12]容易得到：

引理1 系統(tǒng)(3)的解(x(t),ce1(t),ce2(t))是最終一致有界的，即存在常數(shù)M>0，使得當(dāng)t充分大時，

考慮系統(tǒng)(3)的子系統(tǒng)

(4)

于是得到

(5)

證明 為了方便，做記號

那么差分方程(5)線性化后可以寫成

(7)

1-trM+detM>0,

顯然

那么

1-trM+detM=

1-[(1-D)e-h1τ+(1-D)e-h2τ]+[(1-D)e-h1τ×(1-D)e-h2τ-De-h1τ×De-h2τ]=

[1-(1-D)e-h1τ]×[1-(1-D)e-h2τ]-De-h1τ×De-h2τ=

(1-e-h1τ)(1-e-h2τ)+De-h2τ(1-e-h1τ)+De-h1τ(1-e-h2τ)>0,

由引理2可知：

由此得到系統(tǒng)(3)的另外一個子系統(tǒng)為：

(8)

得到頻閃映射

(9)

(10)

于是，容易得到：

引理3

引理4

(11)

由系統(tǒng)(3)的第一個方程可知

(12)

于是得到：

(13)

那么(13)的比較微分方程

(14)

類似引理4得到：

定理1

(15)

綜合引理4和定理1可得：

定理2

3 主要結(jié)論

根據(jù)實際的生物資源管理，本文結(jié)合脈沖微分方程理論，討論了毒素具脈沖擴散與輸入的單種群動力學(xué)模型，得出了生物資源管理中生物種群生存情況的控制閾值，這個結(jié)論對于生物資源管理是非常有意義的，如果其它的系數(shù)是確定的，那么

是控制閾值，當(dāng)μ>μ*，物種將滅絕；當(dāng)μ<μ*，物種將持久存在.

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(責(zé)任編輯：張冬冬)

A single population dynamics model with pulse input and spread of environmental toxin

LIU Lanlan1,JIAO Jianjun1，2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,GuizhouUniversityofFinance&Economics,GuizhouGuiyang550004，China；2.GuizhouKeyLaboratoryofEconomicsSystemSimulation,GuizhouUniversityofFinance&Economics,GuizhouGuiyang550004，China)

This paper forms a single population dynamics model with pulse input and spread of Environmental toxin,using the theory of impulsive differential equations to solve the model and get the final conclusion.Conditions are obtained for the species extinction and persistent systems.It provides reliable strategies for the biological resources management of the environmental pollution.

single population dynamics model;pulse input of environmental toxin;pulse spread

2016-10-20

國家自然科學(xué)基金資助(11361014).

劉蘭蘭(1994-)，女，貴州貴陽人，貴州財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院碩士生.

O175.4

A

1008-2441(2016)06-0001-05