王晶昕，鞠　妍

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

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三次B樣條曲線形狀調(diào)整方法

王晶昕，鞠妍

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

摘要：分析了某種帶局部形狀調(diào)整參數(shù)的B樣條曲線的構(gòu)造,提出用帶調(diào)整參數(shù)的變換矩陣方法生成控制點(diǎn)進(jìn)而生成所要求的帶形狀參數(shù)的三次B樣條曲線的方法.研究了參數(shù)變化對曲線的影響,以及該方法下所生成樣條曲線在拼接點(diǎn)處的連續(xù)性條件.

關(guān)鍵詞：三次B樣條曲線;調(diào)整參數(shù);矩陣變換

在B樣條曲線的形狀調(diào)整的研究中有很多行之有效的方法[1-4].文獻(xiàn)[1]中構(gòu)造出了一種新的三次、四次調(diào)配函數(shù),以此作為三次B樣條基函數(shù)的擴(kuò)展,通過改變局部形狀參數(shù)達(dá)到對曲線形狀調(diào)整的目的.筆者對文獻(xiàn)[1]中所給出的方法進(jìn)行分析,試圖找出這種調(diào)配函數(shù)生成的曲線與標(biāo)準(zhǔn)的B樣條基函數(shù)生成的曲線之間的聯(lián)系與區(qū)別.經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),如果將給定的控制點(diǎn)進(jìn)行某種方式的凸組合生成新的控制點(diǎn),那么僅利用標(biāo)準(zhǔn)的B樣條基函數(shù)即可生成文獻(xiàn)[1]中的方法所生成的曲線.此外，還可以用上述控制點(diǎn)的更一般化的凸組合來生成新的控制點(diǎn),從而生成自由度更大的B樣條曲線.而這種方法生成的B樣條曲線在拼接點(diǎn)處的連續(xù)性依賴于上述組合系數(shù)的選擇.

1對擴(kuò)展三次B樣條曲線的分析

因?yàn)闃訔l曲線即是分片的多項(xiàng)式曲線,所以筆者沿用文獻(xiàn)[1]中的方法,討論一個(gè)樣條區(qū)間中的多項(xiàng)式曲線,再分析相鄰的下一段多項(xiàng)式曲線與之拼接的問題即可.

文獻(xiàn)[1]中帶形狀參數(shù)λi的第1類三次B樣條的擴(kuò)展基在第i個(gè)區(qū)間的函數(shù)表示為

(1)

其中t∈[0,1],-2≤λi≤1.

對(1)式進(jìn)一步變形得

(2)

取定4個(gè)控制點(diǎn)P0,P1,P2,P3,得多項(xiàng)式曲線

(3)

將(2)式代入(3)式后整理得

即

記

(4)

(5)

如圖1為λi=0的情形.

對文獻(xiàn)[1]中帶形狀參數(shù)λi的第2類四次B樣條擴(kuò)展基做同樣分析:

圖1　λi=0

(6)

其中t∈[0,1],-2≤λi≤1.

對(6)式作進(jìn)一步變形,最后得到曲線C(t)也可用控制點(diǎn)Qi(i=0,1,2,3,4)與標(biāo)準(zhǔn)的四次Bernstein基函數(shù)表示出來,即

記

同樣Q0,Q1是3個(gè)控制點(diǎn)P0,P1,P2的凸組合,Q2是P1,P2的凸組合,Q3,Q4是P1,P2,P3的凸組合.按這個(gè)方法鄰接于點(diǎn)Q3處的下一段曲線的控制點(diǎn)是

圖2　λi=1

如圖2為λi=1的情形.

2構(gòu)造帶調(diào)整參數(shù)的三次B樣條曲線

對上一節(jié)的分析作進(jìn)一步探索,又可以發(fā)現(xiàn)新問題:既然Q0,Q1,Q2,Q3是原控制點(diǎn)的凸組合,而組合系數(shù)僅受一個(gè)參數(shù)λi制約,那么采用多個(gè)組合系數(shù)生成新控制點(diǎn)是不是可以得到自由度更大的樣條曲線？如果要求這樣生成的分片曲線在拼接點(diǎn)處達(dá)到一定的連續(xù)性,本段曲線所選取的參數(shù)與下一段曲線選取的參數(shù)之間應(yīng)該滿足什么樣的條件？這就是本節(jié)要討論的問題.

對于任意給定4個(gè)控制頂點(diǎn)P0,P1,P2,P3,作變換

即為

其中αi,βi,γi∈[0,1],文中這類參數(shù)均滿足αi+βi+γi=1的關(guān)系.

考察曲線

它是由順次以Q0,Q1,Q2,Q3為控制點(diǎn)的Bézier曲線,若與之在點(diǎn)Q3處相連接的下一段Bézier曲線的控制點(diǎn)是

設(shè)以Q0,Q1,Q2,Q3為控制點(diǎn)的Bézier曲線為C1,以Q4,Q5,Q6,Q7為控制點(diǎn)的Bézier曲線為C2.顯然,若僅要求C1與C2在拼接點(diǎn)處達(dá)到G0連續(xù),則只要C1(1)=C2(0),即Q4=Q3即可.但若要求C1與C2在拼接點(diǎn)處達(dá)到更高階的連續(xù)性,則需要所選擇的參數(shù)之間滿足更多的條件.

引理1[5]2段Bézier曲線在連接點(diǎn)處達(dá)到G1連續(xù)的充分條件為:

(ⅰ)在連接點(diǎn)處重合,即C1(1)=C2(0);

引理2[5]2段Bézier曲線在連接點(diǎn)處達(dá)到G2連續(xù)的充分條件為:

(ⅰ)在連接點(diǎn)處G1連續(xù)；

由上述引理可以推知下面的結(jié)果:

定理1若相鄰2段曲線C1與C2的形狀參數(shù)滿足α4=α3,β4=β3,γ4=γ3,則此二曲線C1與C2在拼接點(diǎn)處達(dá)到G0連續(xù).

定理2若相鄰2段曲線C1與C2的形狀參數(shù)滿足如下2個(gè)條件,則此二曲線C1與C2在拼接點(diǎn)處達(dá)到G1連續(xù):

(ⅰ)(α4,β4,γ4)=(α3,β3,γ3);

(ⅱ)存在K>0,使得(α5,β5,γ5)=(1+K)(α3,β3,γ3)-K(α2,β2,γ2).

α5P1+β5P2+γ5P3=(1+K)(α3P1+β3P2+γ3P3)-K(α2P1+β2P2+γ2P3).

由此求得

α5=(1+K)α3-Kα2,β5=(1+K)β3-Kβ2.

進(jìn)而可計(jì)算出

γ5=(1+K)γ3-Kγ2=(1+K)(1-α3-β3)-K(1-α2-β2)=(-(1+K)α3+Kα2)+

(-(1+K)β3+Kβ2)+1=1-α5-β5.

故可知定理2結(jié)論成立.

容易計(jì)算,文獻(xiàn)[1]中的第1類曲線所對應(yīng)的變換(4),(5)滿足定理2的條件,故所產(chǎn)生的新的曲線在連接點(diǎn)處是G1連續(xù)的.

對文獻(xiàn)[1]中的第2類曲線作對應(yīng)的變換:

(7)

(8)

為討論相鄰2段曲線C1與C2在連接點(diǎn)處的G2連續(xù)性,先作一些分析.

首先，若要C1與C2在連接點(diǎn)處是G1連續(xù)的，只要有:

(1)(α5,β5,γ5)=(α4,β4,γ4);

(2)存在K>0,使得(α6,β6,γ6)=(1+K)(α4,β4,γ4)-K(α3,β3,γ3).

這樣,(8)式應(yīng)為

(9)

計(jì)算可知

12(Q5-2Q6+Q7)=12L(Q2-2Q3+Q4)+4υ(Q4-Q3),

Q5-2Q6+Q7=L(Q2-2Q3+Q4)+υ(Q4-Q3),

Q5-2((1+K)Q4-KQ3)+Q7=L(Q2-2Q3+Q4)+υ(Q4-Q3).

將(8),(9)式代入得

(α5P1+β5P2+γ5P3)-2(1+K)(α4P1+β4P2+γ4P3)+2K(α3P1+β3P2+γ3P3)+

(α7P2+β7P3)=L((α2P1+β2P2)-2(α3P1+β3P2+γ3P3)+(α4P1+

β4P2+γ4P3))+υ((α4P1+β4P2+γ4P3)-(α3P1+β3P2+γ3P3))·

(2Kα3-(1+2K)α4)P1+(2Kβ3-(1+2K)β4+α7)P2+

(2Kγ3-(1+2K)2γ4+β7)P3=(Lα2-(2L+υ)α3+(L+υ)α4)P1+

(Lβ2-(2L+υ)β3+(L+υ)β4)P2+(-(2L+υ)γ3+(L+υ)γ4)P3,

得

2Kα3-(1+2K)α4=Lα2-(2L+υ)α3+(L+υ)α4,

即

Lα2-(2L+υ+2K)α3+(L+υ+2K+1)α4=0.

令ω=L+υ+2K+1,則有

Lα2-(ω+L-1)α3+ωα4=0.

2Kβ3-(1+2K)β4+α7=Lβ2-(2L+υ)β3+(L+υ)β4,

即

α7=Lβ2-(2L+υ+2K)β3+(L+υ+2K+1)β4，

α7=Lβ2-(ω+L-1)β3+ωβ4.

2Kγ3-(1+2K)2γ4+β7=-(2L+υ)γ3+(L+υ)γ4,

即

β7=-(2L+υ+2K)γ3+(L+υ+2K+1)γ4=-(ω+L-1)γ3+ωγ4=

-(ω+L-1)(1-α3-β3)+ω(1-α4-β4)=

(-(ω+L-1)+ω)+(ω+L-1)α3-ωα4+(ω+L-1)β3-ωβ4=

(1-L)+Lα2+(ω+L-1)β3-ωβ4=

(1-L)+L(1-β2)+(ω+L-1)β3-ωβ4=

1-Lβ2+(ω+L-1)β3-ωβ4=1-α7,

其中因υ是任意實(shí)常數(shù),故ω也是任意實(shí)常數(shù).

由上述分析可知下述定理成立：

定理3在(7),(9)式的變換條件下所生成的曲線段,若上述變換中的參數(shù)滿足如下條件,則所生成的2條曲線段在連接點(diǎn)Q4=Q5處是G2連續(xù)的,且此二曲線C1與C2在拼接點(diǎn)處達(dá)到G2連續(xù):

(ⅰ)(α5,β5,γ5)=(α4,β4,γ4);

(ⅱ)存在K>0,使得(α6,β6,γ6)=(1+K)(α4,β4,γ4)-K(α3,β3,γ3);

(ⅲ)存在L>0及實(shí)數(shù)ω,使得α7=Lβ2-(ω+L-1)β3+ωβ4，其中ω=L+υ+2K+1.

參考文獻(xiàn):

[1] 徐崗,汪國昭.帶局部形狀參數(shù)的三次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展[J].計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展,2007,44(6):1 032-1 037.

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[3] 王文濤,汪國昭.帶形狀參數(shù)的均勻B樣條[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2004,16(6):783-788.

[4] 王文濤,汪國昭.帶形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式均勻B樣條[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào),2005,28(7):1 192-1 198.

[5] 王仁宏,李崇君,朱春剛.計(jì)算幾何教程[M].北京：科學(xué)出版社,2008.

(責(zé)任編輯向陽潔)

Method of Shape Adjustment of Cubic B-Spline Curve

WANG Jingxin,JU Yan

(School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian 116029,Liaoning China)

Abstract:This paper analyzes the structure of B-Spline Curve with local shape adjustment parameters,proposes the method of using transformation matrix with adjustment parameters to generate the control points,and then obtains the method of the objective Cubic B-Spline Curve with shape parameter.The study explores the influence of parameter change on the curve and the continuity conditions for generating Spline Curve at the splice point.

Key words:Cubic B-Spline Curve;adjustment parameters;matrix transformation

作者簡介：王晶昕(1958—)，男，內(nèi)蒙古赤峰人，遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授，博士，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11226326)

收稿日期：2014-09-21

中圖分類號：O241.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.02.006

文章編號：1007-2985(2015)02-0023-06