，，

(1.西北工業(yè)大學(xué)，陜西 西安 710072；2.東方航空公司西安維修基地，陜西 西安 712000)

Estimation the System Reliability based on 3-Parameter Weibull Distribution Model

WANG Haitao1，CHEN Xing1， DUAN Feifei2

(1.Northwestern Polytechnical University，Xi’an，710072，China；2.China Eastern Xibei Maintenance Base， Xi’an 712000，China)

三參數(shù)威布爾分布模型在系統(tǒng)的可靠性評(píng)估中的應(yīng)用

王海濤1，陳星1，段斐翡2

(1.西北工業(yè)大學(xué)，陜西 西安 710072；2.東方航空公司西安維修基地，陜西 西安 712000)

Estimation the System Reliability based on 3-Parameter Weibull Distribution Model

WANG Haitao1，CHEN Xing1， DUAN Feifei2

(1.Northwestern Polytechnical University，Xi’an，710072，China；2.China Eastern Xibei Maintenance Base， Xi’an 712000，China)

摘要：威布爾分布是目前可靠性領(lǐng)域內(nèi)最流行的模型之一，在此，采用三參數(shù)威布爾分布模型建模，用相關(guān)系數(shù)法求得位置參數(shù)，通過最小二乘法求得形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，運(yùn)用WQS軟件擬合出最小二乘回歸直線，得出相關(guān)的可靠性數(shù)據(jù)。并且通過對(duì)渦輪葉片可靠性分析的實(shí)例，驗(yàn)證了三參數(shù)威布爾模型比兩參數(shù)模型擁有更高的精確度。

關(guān)鍵詞：三參數(shù)威布爾分布；相關(guān)系數(shù)法；最小二乘法；可靠性

中圖分類號(hào)：O213.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-2257(2015)03-0078-03

收稿日期：2014-12-10

Abstract：The Weibull distribution is one of the most popular models in the field of reliability. This article use the 3-parameter Weibull distribution model，get the positional parameter by using the correlation coefficient method and solve the shape parameter &scale parameter by using the least squares method. Through analysis the data of turbine fan we prove that the 3-parameter Weibull distribution has the higher accuracy than 2-parameter model. Computation is made using ‘Windchill Quality Solution 10.1 Tryout’ software.

作者簡(jiǎn)介：王海濤(1972-)，男，黑龍江哈爾濱人，博士，副教授，中國(guó)航空學(xué)會(huì)會(huì)員，西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院民航工程系系主任，研究方向?yàn)槠鹇浼苤鲃?dòng)控制、飛機(jī)適航等。

Key words：3-parameter weibull distribution；correlation coefficient method；least squares；reliability

0引言

在壽命數(shù)據(jù)分析中，使用最廣泛的就是威布爾分布，它的主要優(yōu)點(diǎn)是利用有限的數(shù)據(jù)樣本，就能夠給出精確的分析和預(yù)測(cè)結(jié)果。從產(chǎn)品的早期階段、使用階段和疲勞階段獲得的數(shù)據(jù)都可以使用它進(jìn)行分析。它廣泛應(yīng)用于機(jī)械、化工、電氣、電子和材料的失效研究。威布爾模型是研究機(jī)械零部件可靠性的最適合的模型之一。標(biāo)準(zhǔn)的威布爾分布能夠擬合各種類型的壽命數(shù)據(jù)，當(dāng)其形狀參數(shù)分別取特定的數(shù)值時(shí)，它接近于指數(shù)分布、正態(tài)分布等分布類型。用威布爾分布可以擬合各種可靠性數(shù)據(jù)，計(jì)算產(chǎn)品的可靠性指標(biāo)，為故障樹分析、可靠性設(shè)計(jì)、可靠性預(yù)計(jì)與分配等工作提供了統(tǒng)計(jì)學(xué)依據(jù)。

余國(guó)林等提出了兩參數(shù)威布爾分布在可靠性評(píng)估中的應(yīng)用，但是兩參數(shù)的威布爾分布忽略了位置參數(shù)，這意味著沒有考慮產(chǎn)品或者系統(tǒng)的最低可靠性時(shí)間，與現(xiàn)實(shí)情況不符，并容易產(chǎn)生計(jì)算精度的誤差。

1三參數(shù)威布爾分布建模

1.1　三參數(shù)威布爾分布函數(shù)

威布爾分布的壽命分布函數(shù)為：

(1)

t為時(shí)間；γ為位置參數(shù)；η為尺度參數(shù)；β為形狀參數(shù)。

對(duì)式(1)整理得：

(2)

則式(2)可簡(jiǎn)化為：

y=ax+b

(3)

設(shè)可靠性壽命試驗(yàn)的樣本數(shù)量為n，失效樣本的壽命時(shí)間分別(順序統(tǒng)計(jì)量)為t1≤t2≤…≤tn，對(duì)應(yīng)的累計(jì)失效概率(經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù))為F(t1)≤F(t2)≤…≤F(tn)，其中到第i個(gè)產(chǎn)品的累計(jì)失效概率F(ti)可用中位秩算法求得，即

(4)

1.2　最大相關(guān)系數(shù)優(yōu)化法

x與y間的相關(guān)系數(shù)R(x，y)為：

(5)

整理可得：

(6)

滿足式(6)的γ即為所求的位置參數(shù)。

威布爾分布的可靠度函數(shù)為：

(7)

失效率函數(shù)為：

(8)

威布爾分布概率密度的平均故障時(shí)間為：

(9)

1.3　三參數(shù)威布爾分布參數(shù)求解

在工程應(yīng)用中可用中位秩法計(jì)算出F(ti)后得到y(tǒng)i，如果(xi，yi)數(shù)據(jù)上大體沿一條直線分布，則故障時(shí)間可以用三參數(shù)威布爾分布建模，并且如果相關(guān)系數(shù)R(x，y)越大，證明數(shù)據(jù)擬合度越好，計(jì)算結(jié)果越精確。式(6)所表示的方程十分復(fù)雜，解該方程一般是通過編程，用數(shù)值解法求出位置參數(shù)，然后再通過最小二乘法或其他方法求解形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

運(yùn)用WQS軟件通過實(shí)例分別應(yīng)用兩參數(shù)威布爾模型和三參數(shù)威布爾模型建模仿真，得出各個(gè)參數(shù)的估計(jì)值，并通過計(jì)算比較兩種模型的優(yōu)劣。

1.4　參數(shù)估計(jì)優(yōu)劣的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

對(duì)于同一個(gè)樣本，若采用不同的估計(jì)方法，將得到不同的結(jié)果，為了定量表示應(yīng)用不同方法，對(duì)同一試驗(yàn)樣本進(jìn)行擬合的精確程度，統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用均方根誤差(RMSD)和相對(duì)均方根誤差(NRSME)2種評(píng)價(jià)指標(biāo)。

(10)

(11)

2WQS對(duì)設(shè)備可靠性評(píng)估

2.1　數(shù)據(jù)模擬

WQS(windchill quality solutions 10.1)是一款可靠性分析軟件，它擁有多個(gè)模塊可以對(duì)產(chǎn)品或系統(tǒng)的可靠性做出全面的分析。運(yùn)用其中的weibull分布模塊對(duì)參考文獻(xiàn)中某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片故障數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，具體數(shù)據(jù)如表1所示。

表1　渦輪葉片失效數(shù)據(jù)表

分別通過兩參數(shù)和三參數(shù)威布爾模型建模，選取中位秩法進(jìn)行仿真，通過計(jì)算機(jī)軟件仿真可以得到，可靠度與時(shí)間關(guān)系圖以及失效率與時(shí)間關(guān)系如圖1和圖2所示。

圖1　可靠度與時(shí)間

圖2　失效率與時(shí)間

2.2　結(jié)果和討論

通過計(jì)算得到對(duì)于兩參數(shù)威布爾分布，形狀參數(shù)β1=2.618 9，尺度參數(shù)η1=4 085.3 相關(guān)系數(shù)R(x，y)1 =0.973 3。對(duì)于三參數(shù)威布爾分布，形狀參數(shù)β2=1.208 8，尺度參數(shù)η2=2 517.2，位置參數(shù)γ=1 391.4，相關(guān)性系數(shù)R(x，y)=0.987 1。其他數(shù)據(jù)如表2所示。

表2　使用不同模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

從以上計(jì)算得出，三參數(shù)威布爾模型的相關(guān)系數(shù)要大于兩參數(shù)的模型，而均方根誤差RMSD和相對(duì)均方根誤差NRMSE的值均小于兩參數(shù)模型，同時(shí)從圖1看出三參數(shù)模型比兩參數(shù)模型的擬合度更好，由此可見，考慮了位置參數(shù)的三參數(shù)威布爾模型在實(shí)際應(yīng)用中更加精確，誤差更小。而從圖2中可以看出，兩參數(shù)威布爾分布的失效率曲線增長(zhǎng)過快，與實(shí)際情況不符，應(yīng)用后可能產(chǎn)生很大誤差。

3結(jié)束語(yǔ)

用三參數(shù)威布爾分布對(duì)飛機(jī)部件的使用可靠性進(jìn)行了分析，通過相關(guān)系數(shù)法計(jì)算相關(guān)參數(shù)，應(yīng)用WQS可靠性分析軟件驗(yàn)證了其在處理機(jī)械部件故障概率上可用性。通過與兩參數(shù)威布爾分布的比較看出，應(yīng)用三參數(shù)威布爾分布模型的計(jì)算結(jié)果更加精確，對(duì)于工程應(yīng)用更有幫助。該方法還可用于飛機(jī)整機(jī)設(shè)備、發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠性評(píng)估。評(píng)估結(jié)果可直接作為可靠性監(jiān)控的依據(jù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)飛機(jī)的維修大綱和航空公司的維修方案，進(jìn)行動(dòng)態(tài)管理和有效控制，保持其正確、完整、有效和實(shí)用，為科學(xué)維修和新機(jī)研制提供參考。

參考文獻(xiàn)：

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