朱斌

立體幾何在高考中占有極其重要的地位，主要考查位置關系及有關的幾何計算問題，其中位置關系、距離及角一直是考查的熱點. 本文對立體幾何知識作一梳理，希望對同學們有所幫助.

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平面的基本性質(zhì)

（1）如何證明若干點共線問題及點、線共面問題？

作答：______________________

（2）你知道如何證明三線共點嗎？

作答：______________________

（3）如何用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖？

作答：______________________

（1）①證明若干點共線問題，只需證明這些點同在兩個相交平面的交線內(nèi)即可. ②證明點、線共面有兩種基本方法：先用部分點、線確定一平面，再證余下的點、線都在此平面內(nèi)；或者分別用部分點、線確定兩個或多個平面，再證這些平面是重合的.

（2）證明三線共點，只需證明其中兩線相交，然后證明另一條也過交點即可.

（3）步驟如下：①兩坐標軸成45°（或135°）；②平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度減半.

異面直線

（1）證明兩條直線是異面直線的方法有哪些？

作答：______________________

（2）求兩條異面直線所成的角的步驟是什么？

作答：______________________

（1）證明兩條直線是異面直線，一般可利用異面直線的判定定理以及反證法.

（2）求兩條異面直線所成的角的步驟：①找出或作出有關角的圖形；②證明它符合定義；③求角.

空間的平行關系

（1）判定直線與平面平行的方法有哪些？

作答：______________________

（2）判定平面與平面平行的方法有哪些？

作答：______________________

（1）利用定義采用反證法；利用線面平行判定定理；利用面面平行性質(zhì)定理.

（2）利用定義；利用判定定理；利用面面平行的傳遞性；利用線面垂直的性質(zhì).

空間的垂直關系

（1）判定線、面垂直的常用方法有哪些？你還記得線、面垂直的性質(zhì)定理嗎？

作答：______________________

（2）三垂線定理及其逆定理主要用于哪些方面？

作答：______________________

（1）①利用判定定理；利用平行線垂直平面的傳遞性；利用面面平行的性質(zhì)；利用面面垂直的性質(zhì). ②過平面外一點，有且只有一條直線垂直于這個平面；垂直于同一條直線的兩個平面平行.

（2）三垂線定理及其逆定理主要用于：立體幾何的證明問題；立體幾何的計算問題；二面角問題（主要是構(gòu)造二面角的平面角）.

空間向量及其運算

（1）如何求空間中任意一點A的坐標？

作答：______________________

（2）利用向量可以解決立體幾何中的哪些問題？

作答：______________________

（1）過A作z軸的平行線交平面xOy于B，過B分別作x，y軸的平行線交x，y軸于C，D，則由■，■，■的長度和方向便可求得點A的坐標.

（2）利用向量可以解決立體幾何中的平行、垂直、求角、求距離等問題，應用的關鍵是建立正確的空間直角坐標系，難點是正確表示已知點的坐標.

空間的角

（1）兩條異面直線所成的角的取值范圍是多少？直線和平面所成角的取值范圍呢？二面角的平面角的取值范圍又是多少？

作答：______________________

（2）如何找直線和平面所成的角？

作答：______________________

（1）兩條異面直線所成的角的取值范圍是0，■；直線和平面所成角的取值范圍是0，■；二面角的平面角的取值范圍是[0，π].

（2）過直線上一點作平面的垂線或找直線上一點到平面的垂線，或找（作）垂面，將其轉(zhuǎn)化為平面上的角（斜線和斜線在平面上的射影所成的銳角），然后用向量求解或解直角三角形.

空間的距離

你知道求點到面以及異面直線的距離公式嗎？

作答：______________________

d=■（P為平面α外一點，a，n分別為平面α的斜向量和法向量，d為P到α的距離）.

d=■（n是異面直線l1，l2公垂線上的方向向量，a為l1，l2上兩點連線構(gòu)成的向量，d為l1，l2的距離）.

球

（1）你還記得球的表面積和體積公式嗎？球的截面圓有哪些性質(zhì)？

作答：______________________

（2）如何求球面上A，B兩點的距離？

作答：______________________

（1）①S球面=4πR2；V球=■πR3. ②球心和截面圓圓心的連線垂直于截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關系為r=■.

（2）求球面上A，B兩點的距離的一般步驟是：①計算線段AB的長；②計算∠AOB（注意結(jié)果是用角度表示的還是用弧度表示的），∠AOB=α；③求過A，B，O的大圓的劣弧■的長l（O是球心），l=αR. ■endprint