李從清

重點難點

重點：掌握線線平行、線面平行的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線面平行、面面平行，會用性質(zhì)定理解決線面平行、面面平行的問題.

難點：線面平行與面面平行在判定中的相互轉(zhuǎn)化使用.

方法突破

線面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找出一條直線與這條直線平行，就可斷定這條直線必與這個平面平行. 線面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面與已知平面相交，其交線必與已知直線平行. 兩個平面平行問題的判定與證明，是將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題，即“線面平行，則面面平行”，必須注意這里的“線面”是指一個平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面.

1. 判定線線平行的三種方法

（1）公理4：證明兩直線同時平行于第三條直線.

（2）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，且經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線與交線平行.

推理模式：l∥α，l∥β，α∩β=m？圯l∥m.

（3）平行平面的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行.

推理模式：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b？圯a∥b.

2. 判定線面平行的三種方法

（1）根據(jù)線面平行的判定定理：如果不在某個平面內(nèi)的一條直線與該平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行.

推理模式：l？埭α，m？奐α，l∥m？圯l∥α.

使用定理時，一定要說明“平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行”，若不注明該條件，則證明過程就不完備.

（2）面面平行的另一性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面.

推理模式：α∥β，a？奐α？圯a∥β.

3. 判定面面平行的三種方法

（1）根據(jù)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行.

推理模式：a？奐β，b？奐β，a∩b=P，a∥α，b∥α？圯β∥α.

（2）平行平面的判定定理推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行.

推理模式：a∩b=P，a？奐α，b？奐α，a′∩b′=P′，a′？奐β，b′？奐β，a∥a′，b∥b′？圯α∥β.

（3）向量法：如果兩個不同平面的法向量相互平行，那么就可以判定兩個平面平行.

典例精講

一、線線平行的判定

■ 已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

思索 若證四邊形是平行四邊形，只需證一組對邊相等且平行或兩組對邊分別平行，選其一證出即可. 利用平行公理證明兩條直線平行的思路就是要找準(zhǔn)一條直線與這兩條直線都平行的直線來傳遞.

破解 如圖1，連結(jié)BD，因為EH是△ABD的中位線，所以EH∥BD，EH=■BD. 又因為FG是△CBD的中位線，所以FG∥BD，F(xiàn)G=■BD. 根據(jù)公理4，F(xiàn)G∥EH且FG=EH，所以四邊形EFGH是平行四邊形.

■

圖1

二、線面平行的判定

■ 如圖2，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=■，AF=1，M是線段EF的中點. 求證：AM∥平面BDE.

■

圖2

思索 設(shè)AC與BD相交于G，連結(jié)EG，證明四邊形AGEM是平行四邊形，可得EG∥AM，利用線面平行的判定定理可證.

破解 設(shè)AC與BD相交于G，連結(jié)EG，則G是AC的中點. 因為M是線段EF的中點，ACEF是矩形，所以EM∥AG，EM=AG，所以四邊形AGEM是平行四邊形，所以EG∥AM. 因為AM不在平面BDE內(nèi)，EG在平面BDE內(nèi)，所以AM∥平面BDE.

三、面面平行的判定

■ 如圖3，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB. 過A作AF⊥SB，垂足為F，點E，G分別是側(cè)棱SA，SC的中點. 求證：平面EFG∥平面ABC.

■

圖3

思索 證明平面EFG∥平面ABC，需要在平面EFG內(nèi)找到兩條相交直線與平面ABC平行，而線面平行的判定定理告訴我們，要證明線面平行，需要轉(zhuǎn)化為證明線線平行. 因此，證明該題的關(guān)鍵是在平面內(nèi)最為恰當(dāng)?shù)奈恢谜页鲆粭l直線與該直線平行.

破解 （1）因為E，G分別是側(cè)棱SA，SC的中點，所以EG∥AC.

因為AC？奐平面ABC，EG？埭平面ABC，所以EG∥平面ABC. ？搖

因為AS=AB，AF⊥SB，所以F為SB的中點，所以EF∥AB.

因為AB？奐平面ABC，EF？埭平面ABC，所以EF∥平面ABC.

因為EF∩EG=E，EF，EG？奐平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.

四、線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化

■ 如圖4，已知點S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SA=SB=SC，SG為三角形SAB上的高，D，E，F(xiàn)分別是AC，BC，SC的中點，試判斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并給予證明.

■

圖4

思索一 可判斷SG∥平面DEF，要證明結(jié)論成立，只需證明SG與平面DEF內(nèi)的一條直線平行，觀察圖形可以看出，轉(zhuǎn)化成線線平行的證明.

破解一 連結(jié)CG交DE于點H，因為DE是△ABC的中位線，所以DE∥AB. 在△ACG中，D是AC的中點，且DH∥AG， 所以H為CG的中點，所以FH是△SCG的中位線，所以FH∥SG. 又SG？埭面DEF，F(xiàn)H？奐面DEF，所以SG∥平面DEF.endprint

思索二 要證明SG∥平面DEF，只需證明平面SAB∥平面DEF，從而得到線面平行.

破解二 因為EF是△SBC的中位線，所以EF∥SB，又EF？埭面SAB，SB？奐面SAB，所以EF∥平面SAB. 同理，DF∥平面SAB.因為EF∩DF=F，所以可得面SAB∥面DEF. 又SG？奐面SAB， 所以SG∥平面DEF.

證法一直接應(yīng)用線面平行的判定定理來證明；證法二是通過線線平行證面面平行，再由面面平行證線面平行. 在本題的證明過程中實現(xiàn)了線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化.

變式練習(xí)

1. 如圖5，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D不同于點C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點. 求證：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直線A1F∥平面ADE.

■

圖5

2. 如圖6，在三棱錐S-ABC中，M，N，P分別為棱SA，SB，SC的中點，求證：平面MNP∥平面ABC.

■

圖6

3. 如圖7，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D為AB的中點，求證：AC1∥平面CDB1.

參考答案

1. （1）因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因為AD？奐平面ABC，所以CC1⊥AD. 因為AD⊥DE，且CC1，DE？奐平面BCC1B1，CC1∩DE=E，所以AD⊥平面BCC1B1. 又因為AD？奐平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

（2）因為A1B1=A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1F⊥B1C1. 因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F？奐平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F. 因為CC1，？搖B1C1？奐平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，所以A1F⊥平面BCC1B1. 由（1）知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又因為AD？奐平面ADE，？搖A1F？埭平面ADE，所以直線A1F∥平面ADE

2. 因為M，N，P分別為棱SA，SB，SC的中點，所以MN∥AB，PN∥BC. 因為MN？埭平面ABC，AB？奐平面ABC，PN？埭平面ABC，BC？奐平面ABC，所以MN∥平面ABC，PN∥平面ABC. 因為MN∩PN=N，MN，PN？奐平面MPN. 所以平面MNP∥平面ABC.

3. 證法一（利用線面平行的判定定理）：設(shè)C1B與CB1的交點為E，由已知得E為C1B的中點. 連結(jié)AC1，DE，則OE■■AC1. 又DE？奐平面CDB1，AC1？埭平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.

證法二（利用共線向量定理證明線面平行）：因為直三棱柱ABC-A1B1C1底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以AC，BC，CC1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D■，2，0. 設(shè)CB1與C1B的交點為E，則E（0，2，2），因為■=-■，0，2，■=（-3，0，4），所以■=■■，所以■∥■. 因為DE？奐平面CDB1，AC1？埭平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.

證法三（利用法向量證明線面平行）：因為直三棱柱ABC-A1B1C1底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以■，■，■為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B■（0，4，4），D■，2，0，故■=（-3，0，4），■=（0，4，4），■=■，2，0. 設(shè)平面CDB1的法向量為n=（x，y，z），則4y+4z=0，■x+2y=0，故有n=（4，-3，3），所以■·n=0. 因此■⊥n. 又AC1不在平面CDB1內(nèi)，從而有AC1∥平面CDB1. ■endprint