一類異構捕食-食餌退化模型正解的存在性

楊文彬, 李艷玲*

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院, 陜西 西安 710119)

摘要：研究了一類空間非齊次環(huán)境下的捕食-食餌擴散模型。在食餌弱增長情形下, 利用分歧理論給出了兩個半平凡解附近正解的存在性, 并刻畫了整體結構;在食餌強增長情形下, 通過度理論和正則攝動理論給出了正解存在的充分條件:。鑒于空間環(huán)境的非齊次性和退化因素的存在, 通過數(shù)值算例驗證了相應理論結果。

關鍵詞:擴散; 空間非齊次; 分歧理論; 度理論; 存在性

中圖分類號：O175.26文獻標志碼： A

文章編號：1672-4291(2015)01-0019-05

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2015.01.114

收稿日期：2014-09-09

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11371012,11471200); 北方民族大學校級項目(2012Y038)

Existence of positive solutions for a predator-prey degenerate model in

heterogeneous environment

YANG Wenbin, LI Yanling*

(School of Mathematics and Information Science,

Shaanxi Normal University, Xi′an 710119, Shaanxi, China)

Abstract:A predator-prey diffusion model in heterogeneous environment is researched.For the case of weak growth of prey, the existence of positive solutions are obtained near two semi-trivial solutions by using the bifurcation theory; moreover, the global structure are given. for the existence of positive solutions are showed by the degree theory and the regular perturbation theory. Considering the spatial heterogeneity and the influence of the degradation factor, some simulations are done in order to verify the theoretical results.

Key words: diffusion; spatial heterogeneity; bifurcation theory; degree theory; existence

MR subject classification: 35K57

考慮空間非齊次環(huán)境下的一類退化的捕食-食餌模型

(1)

(2)

(3)

當a(x)是正常數(shù)(齊次環(huán)境下)時, 文獻[3]利用正錐上的不動點指標理論分析了對應模型解的存在性、多解性和唯一性。文獻[4]利用分歧理論討論了局部和全局分歧解的存在性并通過隱函數(shù)定理和廣義最大值原理說明了正解的存在唯一性。Du和Hsu[5]在空間齊次環(huán)境下, 通過構造Lyapunov函數(shù)研究了對應模型全局吸引子的存在性;在非齊次環(huán)境下,利用分析方法說明了對應模型正解的存在性。文獻[6]研究了在空間非齊次環(huán)境下一類捕食-食餌模型正平衡態(tài)的存在性和穩(wěn)定性。本文主要涉及的方法有分歧理論和拓撲度理論[7-9]。

為了得到系統(tǒng)(3)解的性質(zhì),首先考察以下橢圓方程:

(4)

1分歧解的存在性

(ⅰ) 0

max{μ,0}

(ⅱ) 參數(shù)μ滿足

(5)

證明由標準比較原理,結論(ⅰ)成立。現(xiàn)在證明結論(ⅱ)。

由u、v的方程, 結合結論(ⅰ)得

由λ<1/m3可知，

引理得證。

對p>1,令

G(μ,w,v)=

(6)

此時，系統(tǒng)(3)等價于G(μ,w,v)=0,而且(u,w)=(0,0)是G的平凡解。通過簡單計算可知，

Gu(w,v)(μ,w,v)[φ,ψ]=(0,ψ)T。

(7)

Γ1={(μ(s),uλ(x)-w(s),v(s)):s∈[0,δ)},

(8)

zi(0)=0,i=1,2。

此時,記u(s)=uλ(x)-w(s)。將(μ(s),u(s)-w(s),v(s))代入系統(tǒng)(3)的第2個方程，方程兩邊同時除以s,再對方程兩邊在s=0處求導，最后在Ω上積分可得

μ′(0)=

(9)

即(μ1,uλ,0)附近分歧曲線Γ1是超臨界的。

Γ2={(μ(s),u(s),μ+w(s)):s∈[0,δ)},

(10)

zi(0)=0,i=1,2。類似(9)式，有

μ′(0)=

2正解的存在性(度理論)

‖un‖∞+‖vn‖∞≤C。

(12)

證明令(un,vn)是用μn代替μ后系統(tǒng)(3)的正解。因為μn≤M，所以

(13)

進而，‖vn‖∞≤M+b/m2。假設結論不成立，那么當μ=μn時，系統(tǒng)(3)存在正解序列{(un,vn)}使得，當n→∞時，‖un‖∞→∞。

∫Ω|

(λ+1)|Ω|。

(14)

(15)

取光滑函數(shù)φ，使得suppφ?Ω0。在方程(15)兩邊同時乘以φ,在Ω0上積分可得

∫Ω0φφdx-

(16)

(17)

(18)

由于當n→∞時，

對以上不等式兩邊求極限可得

(19)

為討論系統(tǒng)(3)正解的存在性，首先考慮以下攝動系統(tǒng):

(20)

(21)

其中(uμ,vμ)是系統(tǒng)(3)的正解，M在引理3中定義。

(22)

易知，對任意μ∈[-b/m2,M]和∈[0,1],Aμ,是W到P上的緊算子。對于固定的(μ,)，Aμ,在W中的不動點即是系統(tǒng)(20)的非負解。特別地，如果=0，那么Aμ,在W中的不動點即是系統(tǒng)(3)的非負解。

對于任意μ∈[-b/m2,M]，當(u,v)∈?W時，Aμ,0(u,v)≠(u,v)。由標準緊性理論知，存在0>0使得，對于任意μ∈[-b/m2,M],∈(0,0],Aμ,0(u,v)≠(u,v);Aμ,相對P的固定點指標indexP(Aμ,,W)有定義，而且與(μ,)無關。

當μ<0時，系統(tǒng)(20)存在唯一非負常數(shù)解(0,0);當μ>0時，系統(tǒng)(20)存在非負常數(shù)解(0，0)和(0，μ)。對任意∈(0,0],由Dancer[13-14]不動點指標計算(可以驗證(0,0)和(0,μ)都是非退化的。在此，省去不動點指標的計算過程)可知：

當μ≠0時，indexP(Aμ,,(0,0))=0;

由Aμ,的不動點指標關于μ的不變性知，對任意,

indexP(Aμ,,W)=indexP(Aμ1,,W)=0。

(23)

indexP(Aμ,,W)=indexP(Aμ,,(0,0))+

indexP(Aμ,,(0,μ))=0+1=1

與(23)矛盾。因此，系統(tǒng)(20)在W中存在另外的解(uμ,,vμ,),而且。對于存在的任意非負解(uμ,,vμ,),則由標準緊性理論知,存在(uμ,vμ),使得如果需要可以取其子列,(uμ,n,vμ,n)→(uμ,vμ)。

假設vμ,≡0。因為,經(jīng)過對uμ,n的方程進行極限分析可知uμ=0,即(uμ,vμ)=(0,0)。這與(0，0)是系統(tǒng)(20)的退化解相矛盾,所以vμ,>0。即當時，系統(tǒng)(20)存在正解?？芍?，系統(tǒng)(20)的任意正解(u,v)滿足v>μ,故而vμ≥μ>0。假設uμ=0,因為,經(jīng)過對vμ,n的方程進行極限分析可知vμ=μ,即(uμ,vμ)=(0,μ),這與(0,μ)是系統(tǒng)(20)的退化解相矛盾，所以uμ>0。故而，當n→0時，{(uμ,n,vμ,n)}收斂到系統(tǒng)(3)的一個正解(uμ,vμ)。結論證畢。

3數(shù)值算例

考察系統(tǒng)(1)在一維空間下對應的系統(tǒng)(24)，驗證定理2結論下系統(tǒng)(3)正解的存在性，

(24)

容易驗證，以上參數(shù)均滿足定理2中系統(tǒng)(3)正解的存在性條件。借助Matlab軟件，利用有限差分方法對系統(tǒng)(24)進行模擬仿真，其中空間尺度為x∈(0,2π),時間尺度為t∈(0,T),T=10,空間和時間網(wǎng)格間距分別為Δx=2π/49,Δl=10/99。具體數(shù)值結果見圖1和圖2。

圖1系統(tǒng)(24)正解u、v的模擬圖

Fig.1The simulation diagram of the positive solutionuandvof system (24) respectively

圖2圖1在T=10時刻的剖面圖

Fig.2The profile of figure 1 at the timeT=10,

可以理解為系統(tǒng)(3)的正解

4結語

本文在齊次Neumann邊界條件下研究了一類空間非齊次環(huán)境下的捕食-食餌擴散模型。鑒于空間環(huán)境的非齊次性和退化因素的影響,分別在在食餌弱增長和強增長情形下,利用分歧理論, 拓撲度理論和正則攝動理論說明了正解的存在性。但是無論是食餌弱增長還是強增長情形,對于系統(tǒng)(3)正解的存在性分析中,總是假設λ<1/m3。對于λ≥1/m3的情況, 文中部分方法失效, 該類問題有待進一步研究。

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〔責任編輯宋軼文〕

第一作者： 范亞靜, 女, 講師, 博士研究生, 主要研究方向為算子代數(shù)與量子信息。E-mail:fanyajing119@163.com