(火箭軍工程大學(xué),陜西西安710025)

0 引言

單站無(wú)源定位技術(shù)[1-2]是指利用一個(gè)觀測(cè)平臺(tái)上的單個(gè)或多個(gè)接收機(jī),通過(guò)被動(dòng)接收目標(biāo)輻射源的輻射信息來(lái)對(duì)其進(jìn)行定位和跟蹤的技術(shù),具有電磁隱蔽性好、設(shè)備相對(duì)獨(dú)立、作用距離遠(yuǎn)和易于工程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)?，F(xiàn)有的單站無(wú)源定位方法主要有測(cè)向定位法、到達(dá)時(shí)間定位法、多普勒頻率定位法、方位/到達(dá)時(shí)間定位法、相位差變化率定位法和多普勒頻率變化率定位法等,用到的濾波算法主要有擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter,EKF)[3-4]、無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)[5-6]和容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filter,CKF)[7-8]等。楊曉君等[9]在EKF算法的基礎(chǔ)上,提出了基于相位差、相位差變化率和頻率變化率的單站無(wú)源定位方法(PFRC),該方法具有較高的定位精度和較快的收斂速度。

上述大多數(shù)方法都是建立在觀測(cè)信息準(zhǔn)確的基礎(chǔ)上。然而,在實(shí)際問(wèn)題中,由于測(cè)量設(shè)備本身出現(xiàn)故障或者環(huán)境干擾、目標(biāo)機(jī)動(dòng)等的影響,觀測(cè)數(shù)據(jù)不可避免會(huì)出現(xiàn)野值。統(tǒng)計(jì)學(xué)家根據(jù)大量數(shù)據(jù)指出,在生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,野值的出現(xiàn)約占觀測(cè)總數(shù)的1%～10%[10]。野值的出現(xiàn)使得觀測(cè)數(shù)據(jù)的可靠性和可用性下降,降低了定位精度,甚至無(wú)法定位。

目前,已有大量文獻(xiàn)對(duì)野值存在時(shí)如何保持估計(jì)量的最優(yōu)性進(jìn)行了論述,但有關(guān)單站無(wú)源定位跟蹤問(wèn)題的研究中,涉及野值處理問(wèn)題的文獻(xiàn)較少。例如,文獻(xiàn)[5,11-13]研究了野值存在時(shí)如何辨識(shí)并剔除的方法;文獻(xiàn)[6,14-16]指出,錯(cuò)誤的觀測(cè)量主要通過(guò)新息對(duì)濾波精度產(chǎn)生影響,因而對(duì)新息進(jìn)行修正能較好地保持濾波精度;文獻(xiàn)[17]將野值剔除法與新息修正法相結(jié)合達(dá)到抗野值效果;文獻(xiàn)[7,18]基于Bayes定理并結(jié)合歸一化受污染正態(tài)模型,根據(jù)野值出現(xiàn)的后驗(yàn)概率來(lái)自適應(yīng)調(diào)整新息的方差陣,以降低野值的影響。本文在單站無(wú)源定位PFRC方法基礎(chǔ)上,提出了一種基于 M估計(jì)的抗野值單站無(wú)源定位方法,該方法通過(guò)建立新息的非線性函數(shù)作為權(quán)函數(shù),對(duì)新息進(jìn)行權(quán)值修正,較好地消除了野值分量的影響。

1 單站無(wú)源定位方法

1.1 單站無(wú)源定位模型

單站無(wú)源定位系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可表示為

式中:k是時(shí)刻;X(k+1)是目標(biāo)狀態(tài)向量,包含目標(biāo)的位置、速度等信息;Z(k+1)是包含噪聲的觀測(cè)向量;f和h分別是非線性狀態(tài)函數(shù)和非線性測(cè)量函數(shù);D(k)是激勵(lì)矩陣;U(k)為未知加速度;W(k+1)和V(k+1)分別是過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲,彼此獨(dú)立且服從Gauss分布,它們的協(xié)方差矩陣分別為Q(k+1)和R(k+1)。

在PFRC方法中,測(cè)量向量包括相位差、相位差變化率、頻率變化率。因此,非線性測(cè)量函數(shù)可表示為

濾波過(guò)程中的新息定義為

它隱含了當(dāng)前最新觀測(cè)值Z(k+1)的信息,是實(shí)際觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值(擬合值)之間的差,故又稱(chēng)為殘差序列。

1.2 野值的影響分析

在單站無(wú)源定位理想模型中,當(dāng)濾波達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí),新息γ(k+1)應(yīng)為零均值的獨(dú)立正態(tài)同分布隨機(jī)序列,在這種情況下,卡爾曼濾波器對(duì)狀態(tài)的估計(jì)值可以達(dá)到很高的精度。但實(shí)際情況中,觀測(cè)數(shù)據(jù)不可避免會(huì)出現(xiàn)野值。不妨假設(shè)k時(shí)刻出現(xiàn)野值,并把野值看作疊加于正常觀測(cè)數(shù)據(jù)上的一個(gè)沖擊分量,則觀測(cè)方程變?yōu)?/p>

式中,Z(k+1)′為疊加野值分量后的觀測(cè)值,B為沖擊形式的野值分量。

則加入野值后得到的新息序列為

由此可見(jiàn),野值分量的影響主要體現(xiàn)在新息序列上。在野值分量出現(xiàn)的時(shí)刻必須采取適當(dāng)?shù)拇胧?duì)新息序列進(jìn)行校正,才能消除野值對(duì)估值精度的影響。

在觀測(cè)值中,野值的表現(xiàn)形式主要有以下兩種[5]:

1)孤立型野值,表現(xiàn)為k時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)為野值時(shí),在k的某一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的其他觀測(cè)數(shù)據(jù)是正常的,即野值的出現(xiàn)是孤立的。

2)斑點(diǎn)型野值,表現(xiàn)為k,k+1,k+2,…,k+p時(shí)刻的觀測(cè)值均嚴(yán)重偏離真值,即野值成片出現(xiàn)。

常用的野值處理方法有直接剔除法和新息修正法。直接剔除法能較徹底地消除野值分量的不良影響,但當(dāng)大量孤立型野值出現(xiàn),或者大片斑點(diǎn)型野值出現(xiàn)時(shí),直接剔除受野值污染的觀測(cè)值會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)缺失嚴(yán)重,仍然會(huì)降低定位精度,甚至使濾波器發(fā)散。而僅對(duì)新息進(jìn)行平滑修正,雖能保留觀測(cè)序列的完整性,但當(dāng)野值分量值較大時(shí),難以消除野值的不良影響。本文采用基于M估計(jì)法對(duì)新息進(jìn)行權(quán)值修正,在考慮野值分量水平的情況下,將觀測(cè)值分為正常觀測(cè)值、不正常但可以利用觀測(cè)值,以及不可利用觀測(cè)值這三類(lèi),既能保留可利用的觀測(cè)值,又可以較徹底地消除野值分量的影響。

2 M估計(jì)在單站無(wú)源定位中的應(yīng)用

2.1 M估計(jì)的定義

抗差估計(jì)[19]或稱(chēng)穩(wěn)健估計(jì)是指在粗差不可避免的情況下,選擇適當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法使估計(jì)量盡可能減少粗差的影響,得出正常模式下的最佳估值?？共罟烙?jì)包括M估計(jì)、L估計(jì)和R估計(jì)。其中, M估計(jì)是經(jīng)典的極大似然估計(jì)的推廣,稱(chēng)為廣義極大似然型估計(jì)。

傳統(tǒng)的極大似然估計(jì)(MLE),其估計(jì)量T n= T n(x1,x2,…,x n)需滿足

式中,f是隨機(jī)變量(x1,x2,…,x n)的概率密度。

1964年Huber用函數(shù)ρ代替式(6)中的-lnf(·)使其廣義化:

式中,ρ(·)稱(chēng)為極值函數(shù)。假設(shè)ρ(·)的導(dǎo)數(shù)為是待估參數(shù),它包括定位參數(shù)和尺度參數(shù),于是式(7)可以寫(xiě)為

式(7)和式(8)均可用于定義M估計(jì),當(dāng)ψ函數(shù)是ρ函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),式(7)和式(8)定義的M估計(jì)等價(jià)。

常用的ρ函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的、凸的或在正半軸上非降的函數(shù),而ψ函數(shù)常取成這種ρ函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然,ψ函數(shù)也可根據(jù)需要適當(dāng)選取。有一個(gè)ρ(或ψ)函數(shù)就定義一個(gè)M估計(jì),因此M估計(jì)實(shí)際上是一類(lèi)估計(jì),故稱(chēng)為廣義極大似然型估計(jì)。顯然,經(jīng)典的極大似然估計(jì)是M估計(jì)的特例。

2.2 單站無(wú)源定位中的M估計(jì)

式中,ρ(·)表示適當(dāng)選擇的凸函數(shù),n表示觀測(cè)向量維數(shù),γ(k)i表示時(shí)刻k新息序列的第i個(gè)元素。式(8)定義的M估計(jì)則可表示為

式中:ψ(·)也是適當(dāng)選擇的單調(diào)、正半軸非降函數(shù);H(k)i是測(cè)量函數(shù)h(X(k),k)的偏導(dǎo)矩陣H(k)的第i行向量。令

則式(10)可寫(xiě)成

式中,D(γ(k)i)可看成權(quán)函數(shù)。式(12)寫(xiě)成矩陣形式為

式中,D(γ(k))=diag[D(γ(k)1),D(γ(k)2),…,D(γ(k)n)]。

從式(11)可以看出,權(quán)函數(shù)D(γ(k)i)是新息序列的非線性函數(shù)。所以,M估計(jì)的實(shí)質(zhì)是用權(quán)函數(shù)去修正新息原有的權(quán),它實(shí)現(xiàn)抗差化的基本思想是:

1)對(duì)于正常觀測(cè)值采取保權(quán)處理,即令D(γ(k)i)=1,此時(shí),M估計(jì)退化為最小二乘估計(jì)。

2)對(duì)于非正常但又可以利用的觀測(cè)值采取降權(quán)處理,即令D(γ(k)i)＜1。

3)對(duì)于野值超過(guò)一定范圍的、不可用的觀測(cè)值,使其權(quán)為0,予以淘汰,即令D(γ(k)i)=0。

因此,抗差化的關(guān)鍵就在于建立恰當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)。本文中,權(quán)函數(shù)D(γ(k)i)由IGG法[19]確定:

式中,c為一選定的常數(shù)。

2.3 基于M估計(jì)的單站無(wú)源定位方法

本文在文獻(xiàn)[9]提出的PFRC方法基礎(chǔ)上,通過(guò)建立新息的非線性函數(shù)作為權(quán)函數(shù),對(duì)新息序列進(jìn)行權(quán)值修正,實(shí)現(xiàn)了PFRC算法的抗野值能力?；贛估計(jì)的單站無(wú)源定位方法步驟如下:

1)時(shí)間更新

① 設(shè)定初始值

② 一步預(yù)測(cè)

③ 一步預(yù)測(cè)均方誤差

④ 濾波增益

2)測(cè)量更新

① 計(jì)算測(cè)量新息

② 狀態(tài)估計(jì)

③ 估計(jì)均方誤差

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了檢驗(yàn)基于M估計(jì)的單站無(wú)源定位方法的抗野值能力,通過(guò)改變野值的水平和式(14)中常數(shù)c的值,分別針對(duì)孤立型野值和斑點(diǎn)型野值進(jìn)行Monte-Carlo仿真實(shí)驗(yàn)。

不失一般性,仿真以二維單站無(wú)源定位情況為例,假設(shè)固定觀測(cè)站位于坐標(biāo)原點(diǎn),目標(biāo)輻射源作勻速直線運(yùn)動(dòng),觀測(cè)周期為T(mén)s=1 ms,取1 500個(gè)觀測(cè)點(diǎn),初始狀態(tài)X(0)=[200 m,549 m,-300 m/s,0 m/s],在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)目標(biāo)輻射源的頻率保持f=200 M Hz不變。

本文采用相對(duì)定位誤差(RPE)和相對(duì)速度誤差(RVE)來(lái)描述單站無(wú)源定位的性能,其定義為

3.1 孤立型野值仿真實(shí)驗(yàn)

選取不同的常數(shù)c值,在第600個(gè)觀測(cè)時(shí)刻,對(duì)相位差觀測(cè)量添加大小不同的野值。圖1和圖2分別展示了c=0.1和c=1.5的情況下,野值的大小為B=2和B=10時(shí)的仿真結(jié)果。

圖1 基于100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)的相對(duì)位置誤差值

圖2 基于100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)的相對(duì)速度誤差值

通過(guò)圖1和圖2可以看出:

1)當(dāng)觀測(cè)量中未出現(xiàn)野值時(shí),兩種算法的定位精度一樣。

2)當(dāng)觀測(cè)量中存在單個(gè)野值的時(shí)候,PFRC方法的定位精度受到了比較嚴(yán)重的影響,這是由于觀測(cè)新息突然增大,導(dǎo)致濾波增益也隨之變大,使得估計(jì)結(jié)果較大地偏離了真實(shí)值;而基于M估計(jì)的抗野值PFRC方法,能根據(jù)新息變化自適應(yīng)地調(diào)整權(quán)函數(shù)值,通過(guò)對(duì)新息的權(quán)值修正克服野值分量的影響。

3)當(dāng)常數(shù)c取值越小時(shí),抗野值PFRC方法的穩(wěn)定性就越好,濾波系統(tǒng)也收斂得更快,表現(xiàn)出了較強(qiáng)的魯棒性。

4)當(dāng)野值分量越大時(shí),抗野值PFRC方法的優(yōu)越性體現(xiàn)得越明顯。

3.2 斑點(diǎn)型野值仿真實(shí)驗(yàn)

選取常數(shù)c=0.1,從第600個(gè)觀測(cè)時(shí)刻開(kāi)始,連續(xù)添加大小為B=2的野值分量。圖3和圖4分別展示了連續(xù)5個(gè)時(shí)刻、10個(gè)時(shí)刻添加野值時(shí)的仿真結(jié)果。

通過(guò)圖3和圖4可以看出,當(dāng)觀測(cè)量連續(xù)出現(xiàn)野值時(shí),PFRC方法的濾波精度受到很大影響,甚至導(dǎo)致濾波器發(fā)散;而基于 M 估計(jì)的抗野值PFRC方法保持了較好的穩(wěn)定性,濾波器依舊可以收斂到正常狀態(tài),具有較強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié)束語(yǔ)

圖3 基于100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)的相對(duì)位置誤差值

圖4 基于100次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)的相對(duì)速度誤差值

在實(shí)際情況中,單站無(wú)源定位過(guò)程中出現(xiàn)野值是不可避免的,野值的存在會(huì)影響定位的精度和系統(tǒng)的穩(wěn)定性,以致嚴(yán)重失真和誤判。本文通過(guò)建立新息的非線性函數(shù)作為權(quán)函數(shù),對(duì)新息進(jìn)行自適應(yīng)權(quán)值修正,提出了一種新的基于M估計(jì)的抗野值單站無(wú)源定位方法。通過(guò)對(duì)孤立型野值和斑點(diǎn)型野值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明,本文的算法能很好地克服野值影響,具有較強(qiáng)的魯棒性和較高的定位精度。并且當(dāng)不存在野值時(shí),該算法能保持原PFRC算法的精度。

以往在單站無(wú)源定位研究中,考慮到野值問(wèn)題的文獻(xiàn)較少,本文所提方法較好地解決了單站無(wú)源定位中的野值問(wèn)題,具有一定的實(shí)用性。

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