吳慶華

(江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)　江蘇 宿遷　223600)

適應(yīng)物理競(jìng)賽內(nèi)容新調(diào)整提升對(duì)多普勒效應(yīng)的認(rèn)識(shí)

吳慶華

(江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)江蘇 宿遷223600)

摘 要：2013年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽委員會(huì)執(zhí)行新的《全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽內(nèi)容提要》，多普勒效應(yīng)是復(fù)賽題和決賽題新增補(bǔ)的內(nèi)容之一，本文利用初等數(shù)學(xué)分別對(duì)機(jī)械波和電磁波的多普勒效應(yīng)公式進(jìn)行推導(dǎo)，并應(yīng)用聲波和光波的多普勒效應(yīng)規(guī)律求解全國(guó)中學(xué)生高中物理競(jìng)賽題．

關(guān)鍵詞：多普勒效應(yīng)公式推導(dǎo)競(jìng)賽考綱調(diào)整奧賽題解析

1問(wèn)題的提出

2011年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽委員會(huì)對(duì)原有的《全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽內(nèi)容提要》進(jìn)行了調(diào)整和補(bǔ)充，復(fù)賽題和決賽題增補(bǔ)的內(nèi)容多達(dá)42處，從2013年開始執(zhí)行，多普勒效應(yīng)就是新增補(bǔ)的內(nèi)容之一，2014年全國(guó)物理奧賽復(fù)賽壓軸題就考查了光的多普勒效應(yīng)．光的多普勒效應(yīng)定量計(jì)算屬于邊緣性知識(shí)，奧賽輔導(dǎo)教材基本沒有涉及，大學(xué)普通物理也因?yàn)榉倍鴽]有對(duì)電磁波的多普勒效應(yīng)公式進(jìn)行推導(dǎo)，因此，有必要對(duì)多普勒效應(yīng)作較為全面的認(rèn)識(shí)．

2多普勒效應(yīng)

波源的頻率等于單位時(shí)間內(nèi)波源發(fā)出的完全波的個(gè)數(shù)，觀測(cè)者接收到的頻率等于觀測(cè)者單位時(shí)間內(nèi)接收到的完全波的個(gè)數(shù)．當(dāng)波源和觀測(cè)者之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀測(cè)者接收到的頻率與波源的振動(dòng)頻率不同，這種現(xiàn)象物理學(xué)上稱為多普勒效應(yīng)．多普勒效應(yīng)是波動(dòng)過(guò)程的共同特征，不僅機(jī)械波有多普勒效應(yīng)，電磁波也有多普勒效應(yīng)．

2.1機(jī)械波的多普勒效應(yīng)的公式推導(dǎo)

簡(jiǎn)單起見，我們只討論波源S和觀察者的運(yùn)動(dòng)方向與聲音的傳播方向共線的情況. 設(shè)波源頻率fS，觀察者接收到的頻率為fR，介質(zhì)中的波速為V．若波源和觀察者都不動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)波源發(fā)出的完全波個(gè)數(shù)等于觀察者接收到的完全波個(gè)數(shù)，觀察者接收到的頻率

(1)波源靜止，觀察者運(yùn)動(dòng)

如圖1所示，靜止點(diǎn)波源發(fā)出的球面波波面是同心的，若觀察者以大小為v的速度靠近或離開聲源，則機(jī)械波相對(duì)于觀察者的傳播速度變?yōu)?/p>

v′=V+v

或

v′=V-v

于是觀察者接收到的頻率為

圖1

(2)聲源運(yùn)動(dòng)，觀察者靜止

若聲源以大小為u的速度運(yùn)動(dòng)，它發(fā)出的球面波波面不再同心，如圖2所示，兩圓分別是時(shí)間相隔一個(gè)周期T的兩個(gè)波面，它們中心之間的距離為uT，從而對(duì)于迎面而來(lái)或背離而去的觀察者來(lái)說(shuō)，在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)接收到的波長(zhǎng)為

λ′=λ?uT=(v?u)T

觀察者接收到的頻率為

圖2

(3)聲源和觀察者都運(yùn)動(dòng)

這時(shí)，有效波速和波長(zhǎng)都發(fā)生了變化，觀察者接收到的頻率為

說(shuō)明：機(jī)械波總在一定的介質(zhì)中傳播，上面所說(shuō)的靜止和運(yùn)動(dòng)，都是相對(duì)于介質(zhì)而言的，在這里波源速度u和觀察者速度v在公式里的地位不對(duì)稱：若波源和觀察者相向運(yùn)動(dòng)或者波源和觀察者均逆著波的傳播方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，上式中取“+v”、“+u”；若波源和觀察者相背運(yùn)動(dòng)或者波源和觀察者均沿波傳播的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，上式中取“-v”、“-u”.

經(jīng)典的多普勒效應(yīng)物理中只有縱向效應(yīng)，沒有橫向效應(yīng)，如果運(yùn)動(dòng)速度不在波源與觀測(cè)者的連線上，只要考慮在連線方向的速度分量即可．

2.2電磁波的多普勒效應(yīng)的公式推導(dǎo)

因?yàn)殡姶挪ㄒ怨馑賯鞑?，光速c與參照系無(wú)關(guān)，電磁波的傳播不依賴彈性介質(zhì)，所以波源與觀測(cè)者之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度決定了接收到的頻率．在涉及相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)必須考慮相對(duì)論時(shí)空關(guān)系．在相對(duì)論中，除縱向外，還有橫向多普勒效應(yīng)，考慮到物理競(jìng)賽要求，本文僅討論波源與觀測(cè)者在同一直線上運(yùn)動(dòng)的情況．

(1)若波源遠(yuǎn)離觀測(cè)者運(yùn)動(dòng)

假設(shè)某一波源以速度v遠(yuǎn)離地球運(yùn)動(dòng),波源和地面的接收器的連線與波源的運(yùn)動(dòng)方向在同一直線上，在此過(guò)程中波源向地面接收器發(fā)出兩個(gè)電磁脈沖，在波源參考系S′看來(lái)，其時(shí)間間隔為Δt′，由于時(shí)間膨脹效應(yīng)，在地球參考系S看來(lái)這兩個(gè)電磁脈沖的時(shí)間間隔

(1)

考慮到波源在發(fā)射兩個(gè)電磁脈沖時(shí)又退行了vΔt,所以地球接收到的這兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔

(2)

由(1)、(2)兩式得

因此，一個(gè)相對(duì)觀察者退行速度為v的波源，若它所發(fā)出的電磁波的本征周期為TS，本征頻率為νS，則觀察者觀測(cè)到的電磁波的周期

頻率

(3)

當(dāng)波源遠(yuǎn)離觀測(cè)者運(yùn)動(dòng)，νR<νS，觀察者接收到的電磁波的頻率比波源發(fā)射的頻率低，稱為紅移．

(2)若波源向觀測(cè)者運(yùn)動(dòng)

將式(3)中的v用-v表示，得到

(4)

當(dāng)波源與觀測(cè)者相互靠近時(shí)，νR>νS，觀察者接收到的頻率比波源發(fā)射的頻率高，稱為紫移.

3奧賽題解析

3.1聲波的多普勒效應(yīng)

【例1】(第22屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第6題)兩輛汽車A與B，在t=0時(shí)從十字路口O處分別以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路勻速前進(jìn)，如圖3所示．汽車A持續(xù)地以固定的頻率ν0鳴笛，求在任意時(shí)刻t汽車B的司機(jī)所檢測(cè)到的笛聲頻率．已知聲速為u，且有u>vA，u>vB．

圖3

圖4

由幾何關(guān)系可知

即

其解為

令

有

(1)

(2)

令v表示B車司機(jī)接收到的笛聲的頻率，由多普勒效應(yīng)可知

(3)

由式(1)、(2)、(3)，得

點(diǎn)評(píng)：在經(jīng)典物理中，只有縱向多普勒效應(yīng)，沒有橫向多普勒效應(yīng)，所以需將笛聲沿著在A與B兩車連線進(jìn)行分解．

3.2光波的多普勒效應(yīng)

6.141×1014Hz．由于這兩條譜線處于可見光頻率區(qū)間，可假設(shè)它們屬于氫原子的巴爾末系，即為n>2的能級(jí)向k=2的能級(jí)躍遷而產(chǎn)生的光譜．(已知?dú)湓拥幕鶓B(tài)能量E0=-13.6 eV，真空中的光速c=2.998×108m/s)．普朗克常量h=6.626×10-34J·s，電子電荷量e=1.602×10-19C

(1)該星系發(fā)出的光譜線對(duì)應(yīng)于實(shí)驗(yàn)室中測(cè)出的氫原子的哪兩條譜線？它們?cè)趯?shí)驗(yàn)室中的波長(zhǎng)分別是多少？

(2)求該星系發(fā)出的光譜線的紅移量z和該星系遠(yuǎn)離我們的速度大小v.

(3)求該星系與我們的距離D.

(4)

式中，ν′是我們觀測(cè)到的星系中某恒星發(fā)出的頻率，而ν是實(shí)驗(yàn)室中測(cè)得的同種原子發(fā)出的相應(yīng)的頻率．上式可寫成

由氫原子能級(jí)公式

得到巴爾末系的能譜線為

從而，證實(shí)它們分別由n=3和n=4向k=2的能級(jí)躍遷產(chǎn)生的光譜，屬于氫原子譜線的巴爾末系，這兩條譜線在實(shí)驗(yàn)室的頻率分別為

λ1=656.4 nmλ2=486.2 nm

(2)由式(4)可知

由于多普勒效應(yīng)，觀測(cè)到的頻率

從而，該星系遠(yuǎn)離我們的速度大小為

v=zc=0.004 0×2.998×108m/s=1.2×106m/s

(3)由哈勃定律，該星系與我們的距離

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查光的多普勒效應(yīng)，由于學(xué)生對(duì)光波的多普勒效應(yīng)比較陌生，絕大多數(shù)同學(xué)都做不出本題的(2)、(3)兩問(wèn)，其實(shí)本題(2)、(3)兩問(wèn)比較簡(jiǎn)單，如果如果學(xué)生掌握了電磁波的多普勒效應(yīng)公式，很容易做出本題.

要特別關(guān)注競(jìng)賽內(nèi)容的調(diào)整變化，敏銳地捕捉和準(zhǔn)確地理解考綱調(diào)整的信息，只有這樣，奧賽輔導(dǎo)才能既不留死角，又突出重點(diǎn)，從而適應(yīng)新考綱，迎接新挑戰(zhàn)．

參 考 文 獻(xiàn)

1程稼夫．中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程·力學(xué)篇．合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，2002.347

2程守洙,江之水．普通物理學(xué)(第三冊(cè))．北京：高等教育出版社，1998．143

收稿日期：(2015-03-23)