正弦波傳播介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)在做簡諧運(yùn)動嗎
——對人教版《物理·選修3-4》波動部分的一點(diǎn)看法

張建斌柴春琪

(嘉興市第一中學(xué)浙江 嘉興314050)

摘 要：人民教育出版社2010年4月第3版《物理·選修3-4》認(rèn)為,有正弦波傳播的介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)在做簡諧運(yùn)動.但筆者查閱了相關(guān)書籍后發(fā)現(xiàn)這一說法欠妥.本文將從平面簡諧波的波動方程和介質(zhì)波的能量出發(fā)，分析機(jī)械波能量在空間上的分布、隨時(shí)間的變化與能量傳遞的實(shí)質(zhì)，通過與簡諧運(yùn)動進(jìn)行對比，對新教材中關(guān)于機(jī)械波傳播過程中介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動作新的描述,即“簡諧波是簡諧運(yùn)動在介質(zhì)中的傳播，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)做的是運(yùn)動規(guī)律滿足正弦(或余弦)圖像的受迫振動”.

關(guān)鍵詞：受迫振動簡諧運(yùn)動機(jī)械波能量傳遞

收稿日期：(2014-05-08)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理·選修3-4》(人民教育出版社2010年4月第3版)第27頁有這樣一句話，“介質(zhì)中有正弦波傳播時(shí)，介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)在做簡諧運(yùn)動”.但簡諧運(yùn)動的能量在整個(gè)振動過程中是一個(gè)守恒量，簡諧運(yùn)動的過程是動能和勢能相互轉(zhuǎn)化的過程，這樣做簡諧運(yùn)動的介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)將無法實(shí)現(xiàn)傳遞能量的功能.本文主要闡述機(jī)械波的能量及其傳遞，并嘗試對新教材中關(guān)于機(jī)械波傳播過程中介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動談一點(diǎn)自己的看法.

1平面簡諧波的波動方程

(1)

這就是平面簡諧波方程，它可以描述平面簡諧波在傳播方向上任意點(diǎn)的振動規(guī)律.

2介質(zhì)中波的能量分布

一列波在彈性介質(zhì)中傳播時(shí)，各體元都在平衡位置附近振動，所以具有動能，同時(shí)，各體元發(fā)生形變，又有彈性勢能.現(xiàn)以簡諧橫波為例，研究某體元的動能、勢能和總能量的變化規(guī)律.

2.1動能

在有簡諧橫波傳播的介質(zhì)中，取一微元，根據(jù)平面簡諧波方程可得到其振動速度

設(shè)介質(zhì)密度為ρ，微元體積為dV，則該體元的動能為

2.2形變勢能

我們選取的介質(zhì)中的微元同時(shí)受到相鄰的微元的作用而發(fā)生剪切形變(即在力偶作用下，兩平行截面發(fā)生相對移動的形變)，如圖1所示.

圖1

對于傳播橫波的介質(zhì)中的微元而言，其剪切形變簡化為如圖2所示，有

所以選取的微元的形變勢能為

圖2

2.3總能量

彈性介質(zhì)中橫波的波動方程可寫為

對式(1)偏導(dǎo)運(yùn)算可得

即波動中某一微元的動能和勢能具有相同的數(shù)值，它們同時(shí)達(dá)到最大和最小.微元的總能量等于兩者之和，即

實(shí)際中，常用能量密度

也是時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)，體現(xiàn)出波的能量在時(shí)間和空間上的周期性.

3機(jī)械波能量及其傳遞的高中教學(xué)

基于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，我們在進(jìn)行這部分內(nèi)容教學(xué)時(shí)，應(yīng)切合學(xué)生實(shí)際，從學(xué)生已有知識基礎(chǔ)和能力水平去構(gòu)建新的知識體系.筆者在實(shí)際輔導(dǎo)教學(xué)中先讓學(xué)生回顧彈簧拉伸形變和形變勢能，然后簡單介紹剪切形變和剪切形變勢能.接著如下過程.

3.1機(jī)械波能量在空間上的分布

機(jī)械波在傳播過程中，某時(shí)刻介質(zhì)中某處質(zhì)點(diǎn)的動能決定于該處質(zhì)點(diǎn)的振動速度的大小，而勢能決定于該處介質(zhì)的形變(即剪切形變)大小.

圖3所示為一列沿彈性繩傳播的簡諧橫波，分別在位于平衡位置的B和位于最大位移的A,C處，取相同長度Δx(Δx→0)的媒質(zhì)微元來討論.

圖3

可以看出B處質(zhì)點(diǎn)的振動速度最大，同時(shí)該處繩子的形變也最大，因此該處質(zhì)點(diǎn)的動能和勢能為最大，其總能量也就最大.而對于A,C兩處的質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)它們的振動速度為零，且該處繩子的形變也趨于零，因此該處質(zhì)點(diǎn)的動能和勢能都為零，即總能量也就最小(為零)，而A與B之間,B與C之間的質(zhì)點(diǎn)的能量就介于最大和零之間.可見，同一時(shí)刻介質(zhì)中各處的能量分布并不相同，在波峰和波谷處質(zhì)點(diǎn)的能量最小(為零)，而在平衡位置處質(zhì)點(diǎn)的能量最大.質(zhì)點(diǎn)離平衡位置越近，能量就越大，即能量在波的傳播方向上呈現(xiàn)周期性的分布，隨著波形的向前傳播，這種能量分布的狀態(tài)也以波的傳播速度向前傳遞.

3.2機(jī)械波能量隨時(shí)間的變化

彈簧振子和單擺做自由的簡諧運(yùn)動時(shí)，只有振動系統(tǒng)內(nèi)部的動能和勢能的轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的總能量是守恒的，這表明振動系統(tǒng)不與外界交換能量，可認(rèn)為是一個(gè)“保守系統(tǒng)”.在簡諧波的傳播過程中，每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律與簡諧運(yùn)動相同，那么每一質(zhì)點(diǎn)的能量是否也守恒呢?

圖4

3.3機(jī)械波能量傳遞的實(shí)質(zhì)

如圖5所示為一列沿繩子向右傳播的簡諧橫波在某一時(shí)刻的波形圖.A,B,C為繩子上3個(gè)相鄰的質(zhì)點(diǎn)，設(shè)波是由A傳向B，再傳向C的，則B質(zhì)點(diǎn)的振動是由于A質(zhì)點(diǎn)的振動使繩子發(fā)生形變而產(chǎn)生的彈力F帶動的，這個(gè)彈力對A做負(fù)功而對B做正功，使A質(zhì)點(diǎn)不斷釋放能量，而使B質(zhì)點(diǎn)不斷吸收能量，使能量從A傳遞給B.同理,B質(zhì)點(diǎn)又不斷地向C質(zhì)點(diǎn)傳遞能量.但每一質(zhì)點(diǎn)在任一小段時(shí)間Δt(Δt→0)內(nèi)，從前一質(zhì)點(diǎn)吸收的能量并不等于向后一質(zhì)點(diǎn)釋放的能量，如圖5中的質(zhì)點(diǎn)B，由于兩側(cè)介質(zhì)的形變大小不同，兩側(cè)質(zhì)點(diǎn)A,C對它的彈力也就不同，左側(cè)形變小,彈力小，右側(cè)形變大,彈力大，因此在這一時(shí)刻附近的一小段時(shí)間Δt(Δt→0)內(nèi)A對B做的正功小于B克服C做的功，也就是說B從A吸收的能量小于B向C釋放的能量.因而B向上離開平衡位置的過程中總能量是減少的.同理，在B返回平衡位置的過程中總能量又是增加的.這樣通過介質(zhì)之間的相互作用力做功，使每一質(zhì)點(diǎn)周期性地積累能量和釋放能量，實(shí)現(xiàn)了能量隨波的傳遞.

圖5

綜上，機(jī)械波在傳播過程中，每一時(shí)刻介質(zhì)中各處的能量(即能量密度)在波的傳播方向上呈現(xiàn)周期性分布，是不均勻的，而每一質(zhì)點(diǎn)的能量也是隨時(shí)間周期性變化的，是不守恒的，能量的傳遞是通過質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力做功來實(shí)現(xiàn)的.

4對教材中 “波動”部分的一點(diǎn)看法

4.1關(guān)于簡諧運(yùn)動

質(zhì)點(diǎn)在某位置所受的力(沿運(yùn)動方向受的力)為零，則此位置稱為平衡位置.若作用于質(zhì)點(diǎn)的力總與質(zhì)點(diǎn)相對平衡位置的位移(線位移或角位移)成正比，且指向平衡位置，則此作用力稱為線性回復(fù)力.以平衡位置為原點(diǎn)，以x表示質(zhì)點(diǎn)相對于原點(diǎn)的位移，線性回復(fù)力fx=-κx，κ是正常量.力fx是質(zhì)點(diǎn)位移x的線性函數(shù)，且與位移x反向，即促使質(zhì)點(diǎn)返回平衡位置.質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動叫做簡諧運(yùn)動.

x=Acos(ω0t+α)=Asin(ω0t+α′)

這就是簡諧運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程，其運(yùn)動圖像為余弦(或正弦)圖線.

教材對簡諧運(yùn)動的定義，“如果質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖像(x-t圖)是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧運(yùn)動”，這個(gè)定義顯然不夠.教材既然通過振動圖像來定義簡諧運(yùn)動，則必須同時(shí)應(yīng)說明圖像x=Asin(ω0t+α′)中的ω0是由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定的.這樣也有助于學(xué)生區(qū)分簡諧運(yùn)動與有簡諧波傳播的介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動.