非線性系統(tǒng)響應功率譜密度的小波-Galerkin方法

孔凡, 李書進,周旺保

(武漢理工大學土木工程與建筑學院, 武漢430070)

摘要：發(fā)展了廣義諧和小波在確定非線性系統(tǒng)隨機動力響應中的應用。首先，利用周期廣義諧和小波展開非線性動力微分方程，并考慮小波的聯(lián)系系數(shù)后，可將動力微分方程轉(zhuǎn)化為一組非線性代數(shù)方程。其次，利用Newton迭代法數(shù)值解答了非線性代數(shù)方程，得到了非線性動力響應的小波變換。最后，根據(jù)響應時變功率譜與各階小波變換之間的關(guān)系，計算求得了非線性動力響應的功率譜密度。數(shù)值模擬顯示了本文建議方法與Monte Carlo模擬之間的吻合程度。

關(guān)鍵詞：廣義諧和小波；功率譜密度；非線性；聯(lián)系系數(shù)；Newton迭代

中圖分類號:TP273文獻標志碼：A

Determinationofpowerspectrumdensityofnonlinearsystemresponseviawavelet-galerkinapproach

KONG Fan, LI Shu-jin, ZHOU Wang-bao(SchoolofGivilEngineeringandArchitecture,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan400070,China)

Abstract:An application of generalized harmonic wavelet in the response determination of nonlinear stochastic dynamic system was developed. Based on the wavelet expansion of the nonlinear differential equation and the newly developed wavelet connection coefficients, the dynamic differential equation was converted into a set of nonlinear algebra equations. Then, the Newton’s method was utilized to solve the algebra equations. According to the relationship between the time-varying power spectrum density (PSD) and the wavelet coefficients, the PSD of the response was thus obtained. Pertinent numerical simulations demonstrate the reliability of the proposed technique.

Keywords:generalizedharmonicwavelet;powerspectrumdensity;nonlinearity;connectioncoefficient;Newton’siterationmethod

隨機振動理論研究的核心在于，在已知隨機激勵概率描述的情況下，如何計算得出結(jié)構(gòu)隨機動力響應的概率描述。其中，二階概率響應量特別是非線性結(jié)構(gòu)在完全非平穩(wěn)隨機動力作用下的響應功率譜密度的求解，是限制非線性隨機振動理論發(fā)展的難點之一。然而，由于結(jié)構(gòu)復雜的非線性恢復力特性，經(jīng)典隨機振動中穩(wěn)態(tài)或漸近響應功率譜密度與相應激勵功率譜之間的簡單關(guān)系已不復存在。因此，人們發(fā)展了諸多用于計算非線性結(jié)構(gòu)隨機動力響應的解析或數(shù)值近似算法。其中，統(tǒng)計線性化方法為解析近似方法中應用得較為廣泛的方法之一。然而，將非線性系統(tǒng)在某種統(tǒng)計意義上等效為線性系統(tǒng)，本質(zhì)上卻具有局限性：如在單頻激勵下不能表現(xiàn)出非線性系統(tǒng)動力響應的多頻特征?；谝陨峡紤]，人們提出和發(fā)展了其它各種方法用以計算結(jié)構(gòu)隨機響應功率譜密度。Miles[1]通過在等價線性系統(tǒng)中引入隨機自振頻率參數(shù)，得到了非線性動力系統(tǒng)的響應功率譜密度；Bellizzi等[2]將這種方法擴展應用于具有非線性阻尼的系統(tǒng)。Lin和Cai將矩截斷方法應用到多項式非線性隨機動力系統(tǒng)且將矩截斷微分方程進行Fourier變換后，得到了頻域內(nèi)功率譜密度函數(shù)的一組代數(shù)方程。Bouc等[3]利用Fourier級數(shù)對非線性微分方程展開后取諧和項平衡，得到了激勵與響應Fourier系數(shù)之間的一組代數(shù)方程，進而通過Newton迭代法解答了這組方程?？紤]到在處理非線性項的快速Fourier變換(FFT)時可能引起頻率混疊效應，Spanos等[4]得到了以線性項Fourier變換系數(shù)表示立方非線性項Fourier變換系數(shù)的解析表達，并采用統(tǒng)計立方化得到了任意非線性振子的平穩(wěn)功率譜密度。

另一方面，小波分析[5]作為一種新的數(shù)學及信號處理工具的出現(xiàn)，越來越在工程研究領域得到了廣泛的應用。其中，諧和小波或廣義諧和小波作為一種頻域內(nèi)緊支的特殊小波，在振動信號處理[6]、功率譜密度估計[7]以及隨機響應功率譜密度確定[8]等方面得到了廣泛的應用。由于小波函數(shù)作為正交基所特有的時間-頻率局部分析特點，它在估計或分析非平穩(wěn)隨機過程或響應方面具有Fourier變換所不具有的優(yōu)勢?；诖丝紤]，本文將文獻[4]所中提出的Galerkin方法結(jié)合諧和小波基函數(shù)后，將非線性動力微分方程轉(zhuǎn)化為了一組非線性代數(shù)方程。隨后，通過Newton迭代法解答了這組表達輸入小波變換與非線性輸出小波變換之間關(guān)系的代數(shù)方程。考慮到諧和小波變換與時變功率譜之間的直接關(guān)系，文章最后得到了非線性振子隨機動力響應的時變功率譜密度。

1非線性微分方程的諧和小波展開

對于一般非線性動力系統(tǒng)，即

(1)

(3)

(5)

(6)

線性動力系統(tǒng)的小波-Galerkin方法，將線性二階常微分方程轉(zhuǎn)化為一組線性代數(shù)方程[10]；對于非線性動力系統(tǒng)，小波-Galerkin方法將非線性二階常微分方程轉(zhuǎn)化為了一組非線性代數(shù)方程。對于前者，可通過直接解矩陣方程獲得線性系統(tǒng)隨機動力響應的小波變換；對于后者，則需要采用其它數(shù)值方法以獲得非線性動力響應的小波變換。

2非線性代數(shù)方程的Newton迭代

因此，可以利用已有的求解非線性代數(shù)方程的數(shù)值求解方法求解方程(6)，本文選用Newton迭代法求解。具體而言，將式(6)稍作變換后，即需要求解

(7)

那么，利用Newton迭代法，只需要求解

(8)

(9)

因此，Jacobian矩陣可以寫為

(10)

(11)

(j-1)(n-m)+(k+1)]=Aj(l,k)

(12)

非線性Jacobian矩陣為式(7)中非線性項對αj,j=1,2,…N/2的偏導數(shù)，即

(13)

(14)

本文所建議的求解非線性二階常微分方程的小波-Galerkin方法可以總結(jié)為：

(4)重復步驟(2)-(3)，直到動力響應或其小波變換達到某種意義上的收斂。

3響應時變功率譜密度

廣義諧和小波及周期廣義諧和小波以其在頻域里較好的分辨率，在隨機過程功率譜密度估計方面得到了廣泛的應用[11]。地震工程中應用較多的隨機過程，同時存在著時間和頻率非平穩(wěn)。在時間非平穩(wěn)方面，各頻率地震動分量的幅值往往是隨時間慢變的。因此，諧和小波的時間衰減較慢特性，在估計地震動隨機過程時變功率譜方面并不會引起較大的誤差。周期廣義諧和小波在估計隨機過程時變功率譜方，具有與廣義諧和小波相似的過程。文獻[12]中給出了周期廣義諧和小波在估計時間慢變演變功率譜方面的數(shù)學證明。具體而言，在利用隨機過程的譜表達或ARMA方法生成動力激勵樣本且由式(8)迭代計算以得到各樣本響應小波系數(shù)α的近似收斂值后，依式

(15)

以估計得到非線性隨機動力系統(tǒng)

(16)

4算例

(17)

(18)

(19)

式中，k0為使gmax=1的正規(guī)化參數(shù)，選擇α=0.25及β=0.5。

(20)

則典型迭代次數(shù)與相鄰迭代次數(shù)之間2范數(shù)之間的關(guān)系如圖1所示。可見，在經(jīng)過4~5次迭代計算后，對比首次迭代的2范數(shù)，已經(jīng)達到了可認為收斂的范圍。注意到，在第2節(jié)總結(jié)的求解非線性二階常微分方程的小波-Galerkin方法計算步驟中，需要采用小波正/逆變換計算下一次迭代的非線性項小波變換值。由于采取了基于快速Fourier變換的快速小波正/逆變換，因此本文建議的方法具有較高的計算效率。

圖1　迭代步數(shù)的2范數(shù) Fig.1 2-norm between neighboring iterations

在經(jīng)過5次迭代后，由本文所建議方法與Runge-Kutta數(shù)值積分方法得到的Duffing振子動力響應對比如圖2所示。由圖可見，本文所建議的小波-Galerkin方法計算所得的非線性系統(tǒng)確定性動力響應能較好的吻合數(shù)值積分解，從而為隨機動力激勵下非線性隨機動力響應功率譜密度計算打下了良好的基礎。

圖2　Duffing振子非平穩(wěn)小波-Galerkin和 Runge-Kutta積分的響應對比 Fig.2 Comprison of Non-stationary responses of Duffing oscillator, by wavelet-Galerkin and Runger-Kutta method

圖3與圖4所示分別為所建議方法計算所得到的第二時間段與第三時間段(取n-m=8)平均功率譜密度與MonteCarlo模擬結(jié)果的對比。由此二圖可見，小波-Galerkin方法計算所得到的響應功率譜較為吻合數(shù)值模擬解答。

圖3　第二時間段(t∈[T 0/ , 2T 0/ ])平均功率譜密度對比 Fig.3 Comparison of average power spectrum density during the 2 nd time interval (t∈[T 0/ , 2T 0/ ]) between wavelet-Galerkin (solid line) and Monte Carlo simulation (dot line with marker)

圖4　第三時間段(t∈[2T 0/ , 3T 0/ ])平均功率譜密度對比 Fig.4 Comparison of average power spectrum density during the 3 rd time interval (t∈[2T 0/ , 3T 0/ ]) between wavelet-Galerkin (solid line) and Monte Carlo simulation (dot line with marker)

在此算例中，采取了均勻調(diào)制隨機過程作為系統(tǒng)激勵?？紤]到小波函數(shù)同時具有的時間-頻率分辨率，本文所建議方法亦可應用于完全非平穩(wěn)隨機過程激勵下其它非線性系統(tǒng)響應功率譜密度的求解。

5結(jié)論

本文給出了作者最近發(fā)展的周期廣義諧和小波在解答確定性/隨機非線性二階運動方程中的應用。利用周期廣義諧和小波在有限區(qū)間上的正交性，首先將非線性二階常微分方程轉(zhuǎn)化為了一組以響應小波變換為未知參數(shù)的非線性代數(shù)方程組。通過Newton迭代法解答了這組方程后，得到了響應的小波變換解答。如果考慮在隨機激勵下的結(jié)構(gòu)隨機動力響應，在通過引入樣本響應小波變換均方值與響應非平穩(wěn)時變功率譜之間的關(guān)系后，得到了隨機動力系統(tǒng)響應的時變功率譜密度。確定性數(shù)值算例和隨機數(shù)值模擬顯示了所建議方法有較高的計算精度。

致謝：感謝國家留學基金委(CSC)對本文第一作者在美國Rice大學以聯(lián)合博士研究生身份進行訪問期間給予的資助。

參考文獻

[1]MilesRN.Spectralresponseofabilinearoscillator[J].JournalofSoundandVibration, 1993,163(2): 319-326.

[2]BellizziS,BoucR,DefilippiM,etal.Responsespectraldensitiesandidentificationofarandomlyexcitednon-linearsqueezefilmoscillator[J].MechanicalSystemsAndSignalProcessing, 1998,12(5): 693-711.

[3]BoucR,DefilippiM.AGalerkinmultiharmonicprocedurefornonlinearmultidimensionalrandomvibration[J].InternationalJournalofEngineeringScience, 1987,25(6): 723-733.

[4]SpanosPD,DiPaolaM,FaillaG.Agalerkinapproachforpowerspectrumdeterminationofnonlinearoscillators[J].Meccanica, 2002,37(1-2): 51-65.

[5]DaubechiesI.Thewavelettransform,time-frequencylocalizationandsignalanalysis[J].InformationTheory,IEEETransactionson, 1990,36(5): 961-1005.

[6]SpanosPD,GiaralisA,PolitisNP,etal.Numericaltreatmentofseismicaccelerogramsandofinelasticseismicstructuralresponsesusingharmonicwavelets[J].Computer-AidedCivilandInfrastructureEngineering, 2007,22(4): 254-264.

[7]SpanosPD,TezcanJ,TratskasP.Stochasticprocessesevolutionaryspectrumestimationviaharmonicwavelets[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering, 2005,194(12-16): 1367-1383.

[8]TratskasP,SpanosPD.Linearmulti-degree-of-freedomsystemstochasticresponsebyusingtheharmonicwavelettransform[J].JournalofAppliedMechanics, 2003,70(5): 724-731.

[9]孔凡, 李杰. 周期廣義諧和小波：變換及重構(gòu)[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(7): 24-29.

KONGFan,LIJie.Periodicgeneralizedharmonicwavelettransformationandreconstruction[J].JournalofVibrationandShock, 2013, 32(7): 24-29.

[10]孔凡, 李杰. 基于小波-Galerkin方法的結(jié)構(gòu)隨機動力響應功率譜的確定[J]. 計算力學學報, 2013, 30(2): 173-180.

KONGFan,LIJie.Powerspectrumdeterminationofsystemresponseviathewavelet-Galerkintechnique[J].ChineseJournalofComputationalMechanics, 2013, 30(2): 173-180.

[11]孔凡, 李杰. 非平穩(wěn)隨機過程功率譜密度估計的小波方法[J]. 振動工程學報, 2013, 26(3): 418-428.

KONGFan,LIJie.Powerspectrumestimationofnon-stationaryprocessviawavelet[J].JournalofVibrationEngineering, 2013, 26(3): 418-428.

[12]孔凡. 結(jié)構(gòu)隨機動力響應分析及可靠度研究—小波分析與矩演化方法[D]. 上海: 同濟大學, 2013.