推導(dǎo)勻強(qiáng)電場中導(dǎo)體球的電荷面
密度的簡單方法

鄭 金

(凌源市職教中心遼寧 朝陽122500)

摘 要：通過推導(dǎo)一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論和電偶極子的場強(qiáng)公式，利用均勻帶電球體內(nèi)部場強(qiáng)公式、等量異號(hào)電荷模型、鏡像電荷模型和偶極子模型以及等效法和疊加法，對(duì)勻強(qiáng)電場中導(dǎo)體球的電荷面密度的關(guān)系式給出兩種巧妙的推導(dǎo)方法.

關(guān)鍵詞：月牙形導(dǎo)體球等效法電荷面密度

收稿日期：(2014-11-14)

對(duì)于勻強(qiáng)電場中的導(dǎo)體球的電荷面密度關(guān)系式，在電動(dòng)力學(xué)教材和一些物理文獻(xiàn)中，是利用拉普拉斯方程和勒讓德函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)的，比較高深.下面利用一些等效物理模型和有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)勻強(qiáng)電場中的導(dǎo)體球感應(yīng)電荷面密度關(guān)系式給出兩種簡單的推導(dǎo)方法.

首先推導(dǎo)一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)結(jié)論.如圖1(a)所示，兩個(gè)大小相等的圓不重合，相交于兩點(diǎn)M和N，設(shè)直線OA偏離中軸線的角度為θ，兩個(gè)圓心錯(cuò)開的距離為d，月牙弦的長度為h=AB=OA-OB，其最大值為d，最小值為零. 弦長h隨直線OA的偏角θ而變化，θ越大，對(duì)應(yīng)的弦長越小，那么弦長h與最大弦長d和偏角θ的數(shù)量關(guān)系是什么呢？

相交弦同側(cè)的優(yōu)弧與劣弧圍成一個(gè)月牙形.兩圓心O1與O2連線的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作徑向直線OA交優(yōu)弧于點(diǎn)A，交劣弧于點(diǎn)B，把線段AB稱為月牙弦.

圖1

為了求弦長h，需分別求出OA和OB的長度，可通過構(gòu)造兩個(gè)三角形利用余弦定理來求.如圖1(b)所示，連接O1A，得到一個(gè)三角形O1OA，其中半徑R=O1A所對(duì)的角度即直線OA與月牙形的中軸線的夾角為θ；兩圓的公共弦為MN，劣弧MCN與劣弧MC′N關(guān)于直線MN對(duì)稱，過點(diǎn)B作MN的垂線，與劣弧MC′N交于點(diǎn)B′，連接OB′，則OB=OB′，由對(duì)稱性可知OB′與OC′的夾角也為θ.連接O1B′，又得到一個(gè)三角形O1OB′，其中半徑R=O1B′所對(duì)的角度為180°-θ.

設(shè)OO1=l，則O1O2=d=2l.對(duì)三角形O1OA和O1OB′分別由余弦定理得

R2=l2+OA-OA·2lcosθ

R2=l2+OB′+OB′·2lcosθ

兩式聯(lián)立可得

OA-OB′=2lcosθ

由于

OB′=OB2l=d

所以月牙形的弦長為

h=AB=dcosθ

結(jié)論:兩個(gè)重合的圓錯(cuò)開距離d而形成月牙形，若過兩圓心連線中點(diǎn)的直線與月牙形中軸線的夾角為θ，則月牙形截得直線的長度即月牙弦的長度為h=dcosθ，是余弦函數(shù).

該數(shù)學(xué)結(jié)論對(duì)于空間月牙體同樣適用.下面利用這個(gè)結(jié)論推導(dǎo)勻強(qiáng)電場中導(dǎo)體球的電荷面密度.

【例1】如圖2(a)所示，在電場強(qiáng)度為E0的勻強(qiáng)電場中，放著一個(gè)半徑為R的金屬球.若球面上的一點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的半徑與場強(qiáng)正方向的夾角為θ，求金屬球表面的感應(yīng)電荷面密度σ與角度θ的關(guān)系式.

圖2

解法1:利用數(shù)學(xué)結(jié)論和均勻帶電球體模型

對(duì)于在勻強(qiáng)電場中的金屬球，左側(cè)表面出現(xiàn)負(fù)電荷，右側(cè)表面出現(xiàn)正電荷，球內(nèi)合場強(qiáng)為零，即球面感應(yīng)電荷在球內(nèi)產(chǎn)生勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小也為E0，但方向相反.因此可利用兩個(gè)大小相同的均勻帶有等量異號(hào)電荷的球體交疊來構(gòu)建勻強(qiáng)電場中導(dǎo)體球的等效模型，即分別在兩個(gè)半徑為R的絕緣球內(nèi)均勻分布等量異號(hào)電荷，左球帶負(fù)電，右球帶正電，設(shè)想將兩球互相交疊放入勻強(qiáng)電場中，球心不重合，而是沿電場方向稍微錯(cuò)開距離d，如圖2(b)所示，兩球重疊部分正負(fù)電荷中和而形成電中性的空腔，即空腔內(nèi)的電荷體密度為零；在邊緣形成兩個(gè)月牙體，其中電荷按原密度均勻分布.

當(dāng)d→0時(shí)，空腔趨近于半徑為R的球體，月牙體幾乎趨近于兩個(gè)半球的表面.這與原題中的物理模型在空間幾何圖形上是等效的；雖然月牙體均勻帶電，但由于月牙體的厚度不均勻，因此離中軸線越近，電荷量越大，這與勻強(qiáng)電場中的導(dǎo)體球表面感應(yīng)電荷的分布情況相一致，所以兩個(gè)物理模型在電荷分布趨勢及對(duì)稱性上是等效的.

可以證明，對(duì)于半徑為R，均勻帶電Q的球體內(nèi)部距球心為r處的場強(qiáng)公式為

再推導(dǎo)兩個(gè)大小相同的均勻帶電的球體疊加區(qū)域的場強(qiáng)公式.如圖3(a)所示，設(shè)左、右兩球所帶的電荷量分別為-Q和+Q，可認(rèn)為分別集中于球心O1和O2的點(diǎn)電荷，在重疊區(qū)域任取一點(diǎn)P，對(duì)兩個(gè)球心的矢徑分別為r1和r2，方向都指向點(diǎn)P，則負(fù)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)矢量為

正電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)矢量為

由矢量三角形可知點(diǎn)P處的合場強(qiáng)為

圖3

由于兩球心連線O2O1對(duì)應(yīng)的矢量d1的大小恒定，方向恒定，則場強(qiáng)E恒定，表明在兩球體重疊區(qū)域的電場為勻強(qiáng)電場，即兩個(gè)月牙形帶電體在空腔內(nèi)產(chǎn)生勻強(qiáng)電場，方向與外電場相反，使疊加區(qū)域內(nèi)的合場強(qiáng)為零，這與勻強(qiáng)電場中的導(dǎo)體球內(nèi)合場強(qiáng)為零的情況完全一致，因此兩個(gè)物理模型是等效的.

由

可知兩絕緣球所帶的電荷量大小為

則電荷體密度為

可用微元法求電荷密度，如圖3(b)所示，月牙體所截得中軸線的長度即月牙體的最大厚度為d，過兩球心連線O1O2的中點(diǎn)O作直線與月牙體的中軸線的夾角為θ，在其一邊附近作一立體角元dΩ，對(duì)應(yīng)的微小錐體在月牙體內(nèi)截取一段小柱體ΔV，設(shè)其底面積為ΔS，則其體積為ΔV=ΔS·h.只要求出厚度h與最大厚度d和偏角θ的數(shù)量關(guān)系，就可求出電荷密度.

由月牙形厚度公式可知，在圖3(b)中月牙體的厚度隨偏角變化的關(guān)系式為

h=dcosθ

則立體角元在月牙體內(nèi)截得小柱體的體積為

ΔV=ΔS·dcosθ

因此小柱體所帶的電荷量為

ΔQ=ρΔV

所以該處的電荷面密度為

當(dāng)兩球心很近時(shí)，即d→0時(shí)，重疊區(qū)域趨近于球體，則直線OA與月牙形的中軸線的夾角趨近于球的半徑與外場強(qiáng)正方向的夾角，所以金屬球表面的感應(yīng)電荷面密度與角度θ的關(guān)系式

解法2:利用像電荷模型和電偶極子模型

如圖4(a)所示，一電偶極子的電偶極矩表示為p=ql，點(diǎn)P到偶極子中心O的距離為r，r與l的夾角為θ.在r?l時(shí)，可求出P點(diǎn)的電場強(qiáng)度E在OP方向的分量Er.

圖4

如圖4(b)所示，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)電荷到P點(diǎn)的距離分別為r1和r2，可知P點(diǎn)的電勢為

由于r?l，則

因此

r2-r1≈lcosθ

r2·r1≈r2

所以

可知P點(diǎn)的電場強(qiáng)度E在OP方向的分量為

如圖5所示，兩個(gè)點(diǎn)電荷q和-q分別放在過球心O的直線上關(guān)于球心對(duì)稱的位置，到球心的距離為a，a很大，q也很大，則在球心附近區(qū)域產(chǎn)生的電場近似為勻強(qiáng)電場，由點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式和電場疊加可知場強(qiáng)大小為

為了使該物理模型與例題中的物理模型等效，那么場強(qiáng)應(yīng)為

E=EO

圖5

由一對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷±q組成的帶電體系，若它們之間的距離l比場點(diǎn)到它們中點(diǎn)的距離r小得多，則把這種帶電體系叫做電偶極子.偶極子在球面上任意點(diǎn)P產(chǎn)生的法向場強(qiáng)為

式中

r=R

則

由于處于靜電平衡狀態(tài)導(dǎo)體表面的場強(qiáng)為4πkσ，則球面上P點(diǎn)的場強(qiáng)為

Er+EOcosθ=4πkσ

而

因此

2EOcosθ+EOcosθ=4πkσ

所以

角度θ是球面上的某點(diǎn)對(duì)應(yīng)的半徑與勻強(qiáng)電場正方向的夾角，對(duì)于一定的角度θ，電荷面密度相同的各點(diǎn)分布在球面的同一圓周上.

參 考 文 獻(xiàn)

1沈晨.專題17——靜電場：原理與方法.中學(xué)物理教學(xué)參考，2005(11)：53，56

2趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)(上冊(cè)).北京：高等教育出版社，1988.43

3王浩川，等.構(gòu)建一般化電荷模型求解靜電物理問題.物理通報(bào)，2014(6)：72