基于樣條擬合模型的古塔變形分析

燕巖軍

(山西機電職業(yè)技術(shù)學院，山西 長治，046011)

摘要：基于2013年全國大學生數(shù)學建模C題數(shù)據(jù)，對古塔變形做初步判斷。首先，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制出等高線圖，對塔體的傾斜、彎曲情況進行定性分析。然后，對各層的重心建立樣條擬合模型，計算塔體傾斜位移和傾斜度。最后，根據(jù)2009年、2011年的數(shù)據(jù)，對古塔變形做出預測：塔體的變形會逐年加重。

關(guān)鍵詞：古塔；傾斜觀測；樣條擬合；變形分析

收稿日期：2014-11-07

作者簡介：燕巖軍(1984-)，山西長治人，山西機電職業(yè)技術(shù)學院助教、碩士.

中圖分類號：O29文獻標識碼：B

1數(shù)據(jù)

本文所用數(shù)據(jù)來自2013年全國大學生數(shù)學建模C題，數(shù)據(jù)來源中國某重點文物古塔分別于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月先后4次觀測結(jié)果。

2模型建立與求解

2.1模型假設(shè)

假設(shè)1：塔體各層假定為密度均勻的勻質(zhì)體，塔體每一層的重心與中心重合；

假設(shè)2：在觀測期內(nèi)，古塔周圍地質(zhì)穩(wěn)定無沉降或隆起，不影響監(jiān)測點；

假設(shè)3：古塔僅有唯一塔尖，且塔尖為古塔的海拔最高點；

假設(shè)4：采樣數(shù)據(jù)真實反映古塔狀態(tài)；

2.2 模型的建立與求解

2.2.1 計算中心坐標

依據(jù)假設(shè)及四年的古塔數(shù)據(jù)，求解中心坐標，建立如下模型：

運用lingo軟件計算最優(yōu)值，得出四年每一層的中心坐標。將每一層中心坐標一一代入數(shù)據(jù)即可得出。其結(jié)果分別如下：

表1　歷年古塔各層中心坐標

續(xù)表1　歷年古塔各層中心坐標

2.2.2 塔體重心軸線投影模型的計算模型

為研究簡便，本文將歷年中心投影到xoy，xoz，yoz平面下研究，觀察其中心在三個不同投影面上變化趨勢。由于在三個平面上投影大致也呈現(xiàn)S型變化，本文主要通過擬合法中三次樣條插值函數(shù)來估計變化趨勢。本文以1986年中心坐標投影到xoy平面為例，數(shù)據(jù)擬合出三次樣條函數(shù)[1]，模型如下：

投影到xoz，yoz平面以及其它年份擬合相類似，這里不一一介紹，擬合程序如下[2]：

% M文件,求擬合圖線，及多項式系數(shù)

function output = msline(x,y)

%x，y為擬合數(shù)據(jù)向量

Pp=spline(x,y) %返回樣條插值的分段多項式(pp)形式結(jié)構(gòu)

Fnplt(pp) %畫出樣條擬合圖線

2.2.3 傾斜計算

擬合得到底層處中心坐標和塔尖坐標；其中，通過計算空間凸八邊形的中心坐標得到底層處中心坐標，塔尖坐標取歷年測量的最高點(z坐標最大值點)。計算過程中，為了保證計算精度，過程數(shù)據(jù)取8位有效數(shù)字。

表2　古塔歷年底層中心坐標塔尖坐標擬合數(shù)據(jù)

表3　歷年傾斜位移值傾斜度

2.2.4 由各層半徑變化情況，分析塔體變形情況

塔體變形，每一年每一層半徑都在發(fā)生改變。Matlab數(shù)據(jù)擬合出每年每一層半徑值，根據(jù)每一年每一層半徑的相對變化量分析塔體變形趨勢[4]，其每一年每一層半徑值見下表：

表4　1986年和2011年各層半徑變化情況(單位：m)

從表可以看出，每一年每一層半徑都在改變，且相對于1986年的變化量6層最為明顯，由此可以得出6層塔體坍塌現(xiàn)象顯著，呈擴大趨勢。

2.2.5 塔體傾斜預測

為研究塔體未來傾斜趨勢程度，本文從四年的傾斜度方面來考慮(傾斜度在傾斜計算中已求出)。Matlab繪制出時間與傾斜度的點圖，觀測傾斜度趨勢，如圖：

圖1　時間與傾斜度關(guān)系圖

可以看出，傾斜度與時間比較符合一次線性關(guān)系，可知，未來時間內(nèi)，塔體傾斜會比較嚴重。由于傾斜度足夠小，擬合效果會很差，這里為處理簡便，論文將傾斜度變?yōu)樵瓉淼?000倍處理，即1986年，1999年，2009年，2011年的傾斜度分別為14.086,14.3717,14.8985,14.9323。根基數(shù)據(jù)擬合，擬合出一次線性方程為：

y=0.035x-55.5128

則根據(jù)此方程即可得到未來任意一年的傾斜程度(傾斜度縮小1000倍)。以2020年為例，計算出傾斜度值為15.1872，所以2020年的實際傾斜度為0.0151872.。顯然，改函數(shù)為增函數(shù)，所以未來若干年，古塔將嚴重傾斜。

2.2.6 分析歷年觀測數(shù)據(jù)的最高、最低點，進一步驗證結(jié)果

根據(jù)四年數(shù)據(jù)，用Matlab 繪制出歷年最高點及最低點變化趨勢圖，分別如下：

圖2　歷年最高點變化趨勢

圖3　歷年最低點變化趨勢

由此圖可以得出，歷年最高點最低點都呈遞減趨勢，因此，古塔將發(fā)生明顯變形。

結(jié)論：綜合以上預測及驗證，可以知道古塔由于長時間承受自重、氣溫、風力等各種作用，以及長期自然因素影響，塔體自身傾斜會越來越嚴重，相關(guān)部門應該采取相應措施做好防護工作，防止古塔進一步被破壞。

3模型的優(yōu)缺點及改進

3.1 模型的優(yōu)缺點

優(yōu)點：該模型給出的中心求解方法，計算簡便且求解更科學、精確；利用三次樣條插值函數(shù)數(shù)據(jù)擬合，圖形直觀明了，且擬合出結(jié)果更加符合實際，結(jié)論具有一定的真實性。

缺點：古塔有些數(shù)據(jù)缺失，如1986年，1999年13層，為了模型處理簡便，該沒有考慮，結(jié)果存在一定的誤差

3.2 模型的改進

在模型的建立中，論文主要從將各層重心投影到各個平面上這方面來研究，這樣簡化了計算。如果能將模型轉(zhuǎn)換為求解各層重心坐標的空間曲線方程，根據(jù)重心空間曲線方程樣條進行數(shù)據(jù)擬合，進而求解其傾斜度，那么這樣擬合求出的結(jié)果將更為精確。

參考文獻：

[1]胡志曉.古塔傾斜觀測和數(shù)據(jù)分析[J].江蘇建筑，2011(6).

[2]石利情.關(guān)于高層建筑沉降及傾斜監(jiān)測[J].科技創(chuàng)新導報，2012(18).

[3]許小勇.三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造與Matlab實現(xiàn)[J].兵工自動化，2006(11).

[4]劉慧穎.MATLAB7.0基礎(chǔ)教程[M].北京：清華大學出版社，2008.

(責任編輯侯中巖)