孔幫新

思維定式是指心理活動中的一種準(zhǔn)備狀態(tài)，是按照積累的思維活動經(jīng)驗教訓(xùn)和已有的思維規(guī)律，在反復(fù)使用中所形成的比較穩(wěn)定的、定型化了的思維路線、方式、程序、模式.它可以分為兩種：一種是積極的，有利于學(xué)習(xí)和解決新問題，稱之為思維定式的正效應(yīng)；另一種是消極的，它干擾學(xué)習(xí)者對新的規(guī)律的探索、理解和掌握，稱之為思維定式的負(fù)效應(yīng).

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)離不開問題的解決，解題意味著把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的問題.思維定式是指學(xué)生在解決問題過程中表現(xiàn)出來的思維定向預(yù)備狀態(tài).解數(shù)學(xué)題決定了解題過程也是思維定式不斷作用的過程，因此思維定式廣泛存在于學(xué)生的解題過程中，對解題是否順利有著重要的影響，有時能舉一反三，觸類旁通，使問題較快、較易地解決，但有時會產(chǎn)生消極作用，妨礙思路的打開，或形成錯誤的思路，甚至產(chǎn)生思維惰性.本文結(jié)合教學(xué)實踐，從以下幾方面闡述解題教學(xué)中突破思維定式負(fù)效應(yīng)的教學(xué)策略.

一、逆向思維 實現(xiàn)思路新拓展

逆向思維是一種特殊的思維方式，簡而言之就是反過來思考問題.它要求學(xué)生善于從不同的立場、不同的角度、不同的層次和不同的側(cè)面去進(jìn)行思考.當(dāng)學(xué)生習(xí)慣于正向思維思考問題，尤其處于“山重水復(fù)疑無路”的困境時，逆向思維往往會出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的境地.下面介紹兩種典型的逆向思維策略.

（一）反客為主

在含有幾個變量的數(shù)學(xué)問題中，常常有一個變量處于主要地位，稱之為主元.由于思維定式的影響，學(xué)生在解決這類問題時，總是抓住主元不放.但在某些特定的條件下，此路往往不通，此時若能反客為主變更主元，就能突破思維定式負(fù)效應(yīng)，使問題迎刃而解.

運用反客為主策略，構(gòu)造出關(guān)于a的函數(shù)是突破思維定式、打開解題思路的關(guān)鍵（要注意x≠-2）.

（二）正難則反

在解答數(shù)學(xué)題目時，有時采用正向思維的方法比較麻煩（或者考慮的情況比較多），此時可以換一種思維方式，運用正難則反策略可以使問題簡單化.

案例2：甲、乙、丙三人各進(jìn)行一次射擊，擊中目標(biāo)的概率分別是0.8，0.7，0.6，求至少一人擊中目標(biāo)的概率.

解析：此題若用正向思維方法去解決，要求出“甲擊中乙擊中丙擊中，甲擊中乙擊中丙未擊中，甲擊中乙未擊中丙擊中，甲未擊中乙擊中丙擊中，甲擊中乙未擊中丙未擊中，甲未擊中乙未擊中丙擊中，甲未擊中乙未擊中丙擊中”七種情況的概率再相加，情況較多，運算量大，不易解決.若采用正難則反策略，只要求出它的對立事件（即甲、乙、丙均未擊中）的概率再來解既可，相比正向思維要簡單多.

正難則反策略是一種轉(zhuǎn)化解決問題的好策略，它能開拓解題思路，打破思維定式、簡化解題過程、提高解題速度.

總之，逆向思維策略是發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的重要手段，有助于克服思維定式負(fù)效應(yīng)，開拓解題思路，使思維進(jìn)入新的境界，使問題得到較快、較易地解決.

二、變廢為寶 體味錯題真價值

學(xué)生的錯誤是寶貴的教學(xué)資源，巧妙利用錯誤資源，讓學(xué)生在課堂中討論、探索，就可變廢為寶，從錯誤中探尋出有價值的東西.在學(xué)生容易形成思維定式的地方設(shè)置題目，學(xué)生犯錯后，剖析其錯誤的原因，并糾正錯誤，可以消除思維定式負(fù)效應(yīng).例如，在新舊知識交替時最易犯的錯誤是將舊知識思維定式地遷移到新知識體系，這些錯誤發(fā)生了，學(xué)生未必能察覺；利用新舊知識交替形成的錯誤，讓學(xué)生有所警醒，使學(xué)生形成正遷移.

分析：實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集，所以在實數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格論證后方可使用.學(xué)生不加考慮地直接把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤，這是思維定式負(fù)遷移的結(jié)果.

正解：設(shè)a是方程的實數(shù)根，則a2+（m+4i）a+1+2mi=0，即a2+ma+1+（4a+2m）i=0. 由于a，m都是實數(shù)，所以a2+ma+1=0，4a+2m=0，解得 m=±2.

初高中知識的呈現(xiàn)是交叉遞進(jìn)的，新知識的引入，往往伴隨著新規(guī)則的出臺，但學(xué)生在接受新知識時依然沿襲舊的思維方式，因此要利用新舊知識交替的錯誤幫助學(xué)生樹立新規(guī)則，同時實現(xiàn)新舊知識的順利交接，從而有效地消除思維定式在解題中的負(fù)效應(yīng).

三、追根溯源 探尋知識真面目

數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)是形成正確的、完整的、合理的表征，實現(xiàn)豐富知識的關(guān)聯(lián).沒有對數(shù)學(xué)知識的來龍去脈的正確把握，不僅會影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念發(fā)展的認(rèn)知和理解，也會影響對具體數(shù)學(xué)問題的解決.

分析：當(dāng)有學(xué)生在求解中利用二次方程的判別式應(yīng)大于或等于0時，即（2sin）2-4≥0時，許多學(xué)生就會對此提出“更正”，理由是“原方程根本就不是二次方程”，不能用判別式.產(chǎn)生這一錯誤認(rèn)識的根本原因，就在于當(dāng)學(xué)生熟記住了一元二次方程的求根公式后，想當(dāng)然地認(rèn)為只有對一元二次方程才能運用判別式非負(fù)的性質(zhì)，這是受思維定式負(fù)效應(yīng)的影響，許多學(xué)生忘記了求根公式的來龍去脈，忘記了判別式其實是“配方法的結(jié)果”.學(xué)生在知識的運用上實現(xiàn)了負(fù)遷移.

掐頭去尾燒中斷，忽視知識的來龍去脈，有意無意縮減思維過程，就可能造成思維斷層，出現(xiàn)嚴(yán)重消化不良，這樣就會導(dǎo)致學(xué)生對知識的表層理解和機(jī)械記憶，容易使學(xué)生形成思維定式.為了凸顯知識的本質(zhì)屬性，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，教師就必須重視知識的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程性教學(xué).這樣既可避免“知其然而不知其所以然”，而且可以有效把握知識的本質(zhì)和思想方法，從而有效地突破思維定式在知識運用上的負(fù)效應(yīng).endprint

四、變式求深 理解知識更深刻

在基本不等式的教學(xué)中，在教師的反復(fù)強(qiáng)化下，學(xué)生已對基本不等式求最值的基本步驟“一正、二定、三相等”的解題技能形成思維定式.當(dāng)題目情境改變時（含有字母），仍然對解題步驟生搬硬套.

統(tǒng)計結(jié)果顯示，全班有近的學(xué)生運用以上方法求解，令人震驚.學(xué)生認(rèn)為運用了基本不等式求最值的步驟，而且不知道出錯的原因（對字母a的討論）.筆者調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生只會機(jī)械套用公式（技能層面），還不能靈活運用公式（能力層面），更沒有深刻理解公式本質(zhì)的東西（等號能否取到），這是技能性思維定式的消極影響.

分析：以上6個題組，從基本不等式的各個層面進(jìn)行覆蓋（一正、二定、三相等），并逐步深化.運用基本不等式時，第1題滿足三個條件可直接使用，第2題注意變量是否為正數(shù)進(jìn)行討論，第3題注意配湊成積定，第4題注意取最值等號不能取到，第5題注意用二次基本不等式求最值不能同時取等號，第6題注意等號能否取到要進(jìn)行分類討論.

通過以上6個變式題目的深入分析，學(xué)生對知識的理解已經(jīng)非常深刻，案例5就可以較快地得到解決.

變式教學(xué)是突破思維定式負(fù)遷移的有效手段.在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)認(rèn)真分析課本中的例、習(xí)題，針對一些典型的問題、有代表性的方法，通過變換問題的條件和結(jié)論，變換問題的形式，使問題逐步深入，但不改變問題的本質(zhì)，使本質(zhì)的東西更凸顯、更全面；變式教學(xué)注意從問題之間的聯(lián)系和矛盾上來理解問題的本質(zhì)，在一定程度可以克服和減少思維僵化及思維惰性，幫助學(xué)生從思維定式的消極作用中走出來，使學(xué)生的思維更嚴(yán)密、靈活，從而可以更深刻地理解數(shù)學(xué)知識、方法.

五、解題反思 選擇方法更自然

解題反思屬于反思性學(xué)習(xí)的范疇，它是對解題活動的深層次的再思考，不僅僅是對數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的一般性回顧或重復(fù)，而且是深入探究數(shù)學(xué)解題活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等.

對解題結(jié)果及解題思路、方法和策略等的再思考，將解題的思維過程處于一種可控制的狀態(tài)當(dāng)中，多思考“為什么這樣想”，會讓數(shù)學(xué)方法浸潤其中，可有效地克服思維定式負(fù)效應(yīng)，使解題方法選擇更自然，使教學(xué)更具合理性，能將自己的教學(xué)經(jīng)驗升華到更高水平，不僅有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，而且有利于學(xué)生掌握規(guī)律性的東西.

分析：學(xué)生解決案例6時，學(xué)會了將“焦半徑轉(zhuǎn)化為點P到準(zhǔn)線的距離”的解題方法，導(dǎo)致在解決案例7時也將該解題方法進(jìn)行遷移，導(dǎo)致解題失敗，反之，解決案例7形成的解題方法也會遷移到案例6，導(dǎo)致解題失敗，這都是解題思維定式雙向負(fù)遷移的作用.

反思1：案例6的解決是通過橢圓的第二定義；案例7，從幾何意義看，AP+PF2的幾何意義不明顯，若設(shè)左焦點為F2，把AP+PF2轉(zhuǎn)化為4+PA-PF1，PA-PF1的幾何意義卻很明顯，只要聯(lián)結(jié)AF1，延長并與橢圓相交，交點就是所求的點P.這兩個題在解題方法上是不一樣的，案例7運用橢圓的第一定義，案例6運用橢圓的第二定義.

反思2：回歸課本上的習(xí)題，已知點A（1，5），B（3，1），在x軸上找一個點P，使PA+PB最小，PA-PB最大.

分析：找到點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′與x軸相交，交點即滿足PA+PB最小，如果直接連接A，B，延長與x軸相交，交點即滿足PA-PB最大.

從以上反思，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)如下：如果兩個點在曲線的兩側(cè)，連接兩點必與曲線相交，交點到兩點距離之和最?。蝗绻麅牲c處于曲線的同側(cè)，連接兩點延長若與曲線相交，交點到兩點距離之差最大.

對于案例7，盡管給出的是橢圓不是直線，但在思想方法上卻是一致的.可以認(rèn)為兩個點在曲線的同側(cè)，應(yīng)該求出差的最大值，但題目要求的卻是和的最大值，已無法通過對稱解決，只有轉(zhuǎn)化為同側(cè)的差的最大值來解決，這就是為什么要將AP+PF2轉(zhuǎn)化為4+PA-PF1的原因.

通過以上案例的解題反思、比較分析、歸類整理，學(xué)生頭腦中已形成了解決這兩類問題的方法，并形成較強(qiáng)的鑒別能力，對思維定式負(fù)遷移產(chǎn)生了免疫力，從而很流暢地突破案例6與案例7相互思維定式的負(fù)遷移造成的影響.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師既要正確引導(dǎo)學(xué)生形成思維定式（正效應(yīng)），促使學(xué)生形成靈活、高效的思維定式，有利于學(xué)生精簡思維過程，提高思維效率；同時又要適時突破思維定式（負(fù)效應(yīng)），激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，從而打開新思路，發(fā)現(xiàn)新思想、新方法，這對于提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力和綜合解題能力都有重要意義.endprint