第一作者尤芳女，博士生，講師，1973年生

通信作者陳建軍男，教授，博士生導(dǎo)師師，1951年生

穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

尤芳1,2，陳建軍1，曹鴻鈞1，謝永強(qiáng)1

(1．西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安710071；2．西北農(nóng)林科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西楊凌712100)

摘要：研究具有區(qū)間參數(shù)的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)在散熱弱度非概率可靠性約束下的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題。建立了以單元相對導(dǎo)熱系數(shù)為設(shè)計(jì)變量，導(dǎo)熱材料體積極小化為目標(biāo)函數(shù)，滿足散熱弱度非概率可靠性為約束條件的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。基于區(qū)間因子法，推導(dǎo)出散熱弱度的均值及離差的計(jì)算表達(dá)式。采用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法的求解策略與方法，并利用過濾技術(shù)消除優(yōu)化過程中的數(shù)值不穩(wěn)定性現(xiàn)象。通過算例驗(yàn)證所述模型及求解策略、方法的合理性和有效性。

關(guān)鍵詞：熱傳導(dǎo)；區(qū)間參數(shù)；非概率可靠性；區(qū)間因子法；拓?fù)鋬?yōu)化

收稿日期：2014-05-27修改稿收到日期：2014-09-18

中圖分類號:TH122文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(51175158, 51075131);湖南省自然科學(xué)基金(11JJ2026);湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目資助(CX2013B144);湖南省機(jī)械設(shè)備健康維護(hù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(201202)

Topology optimization design of steady-state heat conduction structures considering non-probabilistic reliability

YOUFang1,2,CHENJian-jun1,CAOHong-jun1,XIEYong-qiang1(1. School of Mechatronic Engineering, Xi’an University of Electronics & Technology, Xi’an 710071, China；2. College of Mechanical & Electronic Engineering, Northwest A & F University, Yangling 712100, China)

Abstract:Topology optimization design of a steady-state heat conduction structure with interval parameters under constraint of dissipation of heat potential capacity was studied. The topology optimization model of the heat conduction structure with interval parameter was constructed based on the constraint of non-probabilistic reliability for dissipation of heat potential capacity. The total volume of heat conductive material was minimized and the relative thermal conductivities of elements were regarded as the design variables here. The computational expressions of numerical characteristics of dissipation of heat potential capacity based on the interval factor method were derived. The evolutionary structural optimization method was used in the optimization. A filtering technique was employed to eliminate numerical instabilities in the process of topology optimization. The numerical examples were presented to demonstrate the feasibility and effectiveness of the optimal model and solving approach.

Key words:heat conduction; interval parameters; non-probabilistic reliability; interval factor method; topology optimization

拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題之一，其主要目的是在設(shè)計(jì)域中尋求結(jié)構(gòu)最佳傳力(傳熱)路徑，以優(yōu)化結(jié)構(gòu)的某些性能或減小結(jié)構(gòu)的重量(體積)。目前，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究已取得一些成果。文獻(xiàn)[1]對雙向進(jìn)化結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法的有效性和精確性進(jìn)行研究，并分析結(jié)構(gòu)在自重作用下的拓?fù)湫问?。文獻(xiàn)[2-3]對瞬態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[4]結(jié)合SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)和AOFA(Aggregated Objective Function Approach)方法研究了多目標(biāo)傳熱結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題。文獻(xiàn)[5-6]基于水平集方法分別研究了穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)和多相材料熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題。文獻(xiàn) [7]研究了在結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和導(dǎo)熱系數(shù)約束下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[8] 采用漸進(jìn)優(yōu)化算法對約束阻尼圓柱殼的約束阻尼材料進(jìn)行優(yōu)化配置。文獻(xiàn)[9-10]以模態(tài)損耗因子(或模態(tài)阻尼比)最大化為目標(biāo)函數(shù)，采用雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化或移動漸近線法對約束阻尼板的拓?fù)鋬?yōu)化問題進(jìn)行研究。

在大量工程實(shí)際問題中，測量誤差、制造水平及環(huán)境條件等因素使得結(jié)構(gòu)材料特性、幾何參數(shù)和所受載荷等呈現(xiàn)不確定性，進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的性能或響應(yīng)結(jié)果產(chǎn)生不確定性。若忽略上述不確定性因素，按照傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化方法得到的結(jié)果可能會偏離所要求的最佳性能，甚至是不可行的。因此，在工程結(jié)構(gòu)分析及設(shè)計(jì)過程中有必要考慮這些不確定性因素。溫度場作為結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的重要研究領(lǐng)域，其結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)大多屬于確定性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，開展區(qū)間參數(shù)下熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究無疑具有一定的理論意義和工程實(shí)用價(jià)值。

本文在前人工作基礎(chǔ)上，研究具有區(qū)間參數(shù)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)非概率可靠性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題?？紤]熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的熱物性參數(shù)為區(qū)間變量，利用區(qū)間運(yùn)算法則，建立具有散熱弱度非概率可靠性約束的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，采用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的求解策略與方法求解，并應(yīng)用過濾技術(shù)消除優(yōu)化過程中的數(shù)值不穩(wěn)定性現(xiàn)象。最后，通過算例驗(yàn)證文中模型和方法的合理性和有效性。

1區(qū)間參數(shù)下穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)有限元分析

根據(jù)導(dǎo)熱理論，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的平衡方程為：

(1)

式中：T=T(x,y,z)為 待求的溫度場；

kx、ky、kz為結(jié)構(gòu)在x、y、z方向的導(dǎo)熱系數(shù)；

q0為結(jié)構(gòu)內(nèi)熱源度。

將熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)初始求解區(qū)域Ω離散為n個(gè)單元，則第e號單元有限元方程為：

KeTe=Re

(2)

式中：Ke為單元熱剛度矩陣；Te為單元節(jié)點(diǎn)溫度向量；Re為單元熱載荷向量。它們的具體表達(dá)式如下：

為從整體上描述結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱性能，定義結(jié)構(gòu)散熱弱度C(亦稱熱量傳遞勢容耗散)，其物理含義為導(dǎo)熱過程中結(jié)構(gòu)熱量傳遞勢容的損失，具體表達(dá)式為：

(3)

其中:K：結(jié)構(gòu)熱剛度矩陣；T：結(jié)構(gòu)溫度向量；R：結(jié)構(gòu)熱載荷向量。

初始求解區(qū)域Ω由導(dǎo)熱材料組成，拓?fù)鋬?yōu)化的目的在于通過刪除單元導(dǎo)熱材料來形成孔洞(或者將其替換為絕熱材料)以形成新的材料分布方式，從而使得結(jié)構(gòu)具有最佳散熱效果。

假設(shè)刪除第e號單元導(dǎo)熱材料(或?qū)⑵涮鎿Q為絕熱材料)對熱載荷向量R不造成影響，那么刪除第e號單元導(dǎo)熱材料(或?qū)⑵涮鎿Q為絕熱材料)后的結(jié)構(gòu)有限元方程為：

(K-Ke)(T-ΔT)=R

(4)

式中：ΔT為刪除第e號單元導(dǎo)熱材料(或?qū)⑵涮鎿Q為絕熱材料)所引起的結(jié)構(gòu)溫度變化量。

將KT=R代入式(4)，并忽略高階項(xiàng)，可得刪除第e號單元導(dǎo)熱材料(或?qū)⑵涮鎿Q為絕熱材料)所引起的結(jié)構(gòu)溫度變化量ΔT為：

ΔT=K-1KeT

(5)

此時(shí)刪除第e號單元導(dǎo)熱材料(或?qū)⑵涮鎿Q為絕熱材料)引起的散熱弱度變化量ΔC為：

(6)

易見，刪除該單元導(dǎo)熱材料(或?qū)⑵涮鎿Q為絕熱材料)時(shí)所引起的結(jié)構(gòu)散熱弱度變化量ΔC即為第e號單元的散熱弱度Ce。由此可知，當(dāng)單元的散熱弱度Ce越小時(shí)，刪除該單元導(dǎo)熱材料對結(jié)構(gòu)散熱弱度的影響也越小，該單元散熱弱度對結(jié)構(gòu)散熱弱度的貢獻(xiàn)也較小即該單元對于結(jié)構(gòu)散熱弱度來說是無效或低效的。

參考文獻(xiàn)為了便于與已有中的算例結(jié)果進(jìn)行比較，現(xiàn)假設(shè)結(jié)構(gòu)在換熱過程只有熱傳導(dǎo)，而無對流和輻射，且結(jié)構(gòu)是由各向同性導(dǎo)熱材料構(gòu)成。此時(shí)單元的熱剛度矩陣Ke為：

(7)

(8)

Ke=kFI·(Ke)C

(9)

K=kFI·KC

(10)

考慮熱傳導(dǎo)邊界條件為：

(11)

這里給定邊界S上的邊界條件為第一類邊界條件，即已知S邊界上任意M點(diǎn)的溫度場分布φ(M)。此時(shí)，單元熱載荷向量Re為：

(12)

Re=q0FI·(Re)C

(13)

R=q0FI·RC

(14)

其中：(Re)C、RC分別為當(dāng)q0取q0C時(shí)得到的單元熱載荷向量和結(jié)構(gòu)總熱載荷向量。

將式(9)和(13)代入式(2)，求得Te為：

(15)

由上式可知，Te亦為區(qū)間變量，其取值范圍同時(shí)取決于k、q0的取值范圍。至此，具有區(qū)間參數(shù)的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的第e號單元散熱弱度Ce和結(jié)構(gòu)散熱弱度C分別為：

(16)

(17)

由上式可知，Ce、C均為區(qū)間變量，其取值范圍亦同時(shí)取決于導(dǎo)熱系數(shù)k及內(nèi)熱源強(qiáng)度q0的取值范圍。

根據(jù)區(qū)間運(yùn)算法則，求得C的均值和離差分別為：

(18)

(19)

(20)

(21)

G=g(C0,CK)=C0-CK=

C0(C0FI)-CK(kFI,q0FI)

(22)

可見，G是由區(qū)間因子C0FI、kFI和q0FI確定的函數(shù)關(guān)系式，故G亦為區(qū)間變量。

2基于區(qū)間分析的非概率可靠性度量

η=GC/GR

(23)

式中：GC和GR分別為區(qū)間變量G的均值和離差。

當(dāng)功能函數(shù)G為多個(gè)區(qū)間變量的線性函數(shù)時(shí)，即：

(24)

此時(shí)，非概率可靠性指標(biāo)η為：

3穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)非概率可靠性約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

3.1優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題研究給定設(shè)計(jì)域內(nèi)導(dǎo)熱材料的最優(yōu)分布。這里以單元相對導(dǎo)熱系數(shù)為拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)變量來表征結(jié)構(gòu)中導(dǎo)熱材料的存在與否。當(dāng)單元相對導(dǎo)熱系數(shù)為0時(shí)，單元材料導(dǎo)熱系數(shù)為0，單元為絕熱材料(或低導(dǎo)熱系數(shù)材料)、孔洞等；當(dāng)單元相對導(dǎo)熱系數(shù)為1時(shí)，單元材料導(dǎo)熱系數(shù)為k，單元為導(dǎo)熱材料。建立以單元相對導(dǎo)熱系數(shù)為設(shè)計(jì)變量，導(dǎo)熱材料體積極小化為目標(biāo)函數(shù)，滿足結(jié)構(gòu)散熱弱度非概率可靠性為約束條件的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型如下：

(26)

其中：V為導(dǎo)熱材料的體積；Vi為第i個(gè)單元的體積；C0為結(jié)構(gòu)許用散熱弱度區(qū)間變量；CK為第K次迭代時(shí)結(jié)構(gòu)的散熱弱度區(qū)間變量；η*為給定的大于1的非概率可靠性指標(biāo)；η(·)為基于區(qū)間模型得到的非概率可靠性指標(biāo)；xi∈(0;1)表示每個(gè)設(shè)計(jì)變量只能取0或1兩個(gè)離散值。

3.2優(yōu)化求解策略

文中采用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(Evolutionary Structural Optimization，ESO)算法，通過逐步刪除無效或低效的導(dǎo)熱材料使得結(jié)構(gòu)趨于優(yōu)化。由單元散熱弱度均值和當(dāng)前刪除率所確定的刪除準(zhǔn)則為(Ce)C

4算例

①四周邊界溫度T=T0+0；

②左右邊界溫度T=T0+0，其余邊界為絕熱邊界。

給定非概率可靠性指標(biāo)為η*=1.2。初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)被離散為40×40個(gè)矩形單元。取初始刪除率RR0為0.5%，進(jìn)化率ER為0.5%。

邊界條件：① 四周邊界溫度T=T0+0下的區(qū)間模型的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。結(jié)構(gòu)初始散熱弱度均值為41.68 kJ，拓?fù)鋬?yōu)化后的結(jié)果如表1所示。為便于比較，文中同時(shí)給出了確定模型的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(如圖2和表1所示)。

圖1 區(qū)間模型的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.1Topologyoptimizationofintervalmodel圖2 確定模型的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.2Topologyoptimizationofcertainmodel

其中，確定性模型的非概率可靠性指標(biāo)是將其最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)方案中的各個(gè)參數(shù)視為與區(qū)間模型相同的區(qū)間變量時(shí)的計(jì)算結(jié)果。

表1　邊界條件：①四周邊界溫度 T= T 0+0下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

邊界條件：②左右邊界溫度T=T0+0，其余邊界為絕熱邊界下的區(qū)間模型的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖3所示。結(jié)構(gòu)初始散熱弱度均值為44.44 kJ，拓?fù)鋬?yōu)化后的結(jié)果如表2所示。同時(shí)給出的確定模型的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(如圖4和表2所示)。

圖3 區(qū)間模型的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.3Topologyoptimizationofintervalmodel圖4 確定模型的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.4Topologyoptimizationofcertainmodel

表2　邊界條件：②左右邊界溫度T=T 0+0，

由穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可知：

(1)對于確定模型的最優(yōu)解，由于其散熱弱度可能剛好滿足許用的散熱弱度，此時(shí)如果熱物性參數(shù)和熱載荷具有區(qū)間性，結(jié)構(gòu)散熱弱度值隨之也呈現(xiàn)區(qū)間性，散熱弱度非概率可靠性指標(biāo)不能滿足給定非概率可靠性指標(biāo)，結(jié)構(gòu)將處于失效狀態(tài)，即確定模型的最優(yōu)解很可能是區(qū)間模型的不可行解。

(2)區(qū)間模型和確定模型的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果存在較大差異，究其原因主要在于區(qū)間模型的非概率可靠性指標(biāo)要求“最壞的參數(shù)取值情形下結(jié)構(gòu)也滿足可靠性要求”，故區(qū)間模型的散熱弱度非概率約束比確定模型的散熱弱度約束嚴(yán)格，與確定模型相比可靠性更高，優(yōu)化結(jié)果也偏于保守。

(3)基于區(qū)間因子法，構(gòu)建的具有區(qū)間參數(shù)的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型是合理的，所采用的求解策略和方法是可行和有效的。

5結(jié)論

研究具有區(qū)間參數(shù)的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題?？紤]熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)為區(qū)間變量，借助區(qū)間因子法，建立滿足散熱弱度非概率可靠性約束的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。采用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法進(jìn)行求解。算例表明文中所構(gòu)建的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是合理性的，所采用的求解策略和方法是可行和有效的。

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