姚 韜

（北京科技大學(xué) 東凌經(jīng)濟管理學(xué)院，北京100083）

馬爾科夫躍遷矩陣用來分析消費者行為由一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移成另一種狀態(tài)的可能，以預(yù)測消費者行為未來走向。Heiko．B（2000）等首次將馬爾可夫矩陣應(yīng)用到消費者偏好研究中，通過統(tǒng)計模型假設(shè)，建立非齊次矩陣，從對幾種快速消費品的進行排名，對未來的市場發(fā)展情況進行了預(yù)測［1］。宋波等（2013）通過馬爾可夫躍遷矩陣對某種產(chǎn)品市場的戰(zhàn)略聯(lián)盟進行了分析。［2］余典范（2013）用灰色馬爾可夫狀態(tài)鏈對某產(chǎn)品多數(shù)品牌市場占有率進行了預(yù)測。［3］肖謙等（2014）通過對馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移的估算，對我國物流市場轉(zhuǎn)移趨勢進行了分析。［4］

本文采用了概率矩陣模型分析消費者偏好，避免了傳統(tǒng)線性分析法無法保證躍遷結(jié)果的總為非負(fù)的弊端，同時，降低了狀態(tài)躍遷概率計算的繁瑣性，通過多次迭代使得模型結(jié)果具有穩(wěn)定性。主要過程是通過抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，建立消費者行為內(nèi)部轉(zhuǎn)移的初始矩陣；然后對偏好的初始矩陣和狀態(tài)躍遷矩陣進行迭代，將其轉(zhuǎn)化為狀態(tài)概率躍遷矩陣，并通過PPMCC法對該矩陣的穩(wěn)定性進行檢驗。

1 模型的建立

1．1 建立消費者偏好的矩陣模型

假設(shè)市場共存在n種消費者偏好，其不同時期偏好變化的躍遷如表1所示。表中Pij表示對同一產(chǎn)品第i型消費偏好由狀態(tài)1躍遷至狀態(tài)2時的j型消費偏好；Ai表示消費者時期1對某產(chǎn)品類型的消費量總和，Bi表示消費者在時期2對某產(chǎn)品類型的消費量總和。其中矩陣Pij存在未知量，即表1中隱性數(shù)值；Ai、Bi的數(shù)據(jù)可以通過分層抽樣統(tǒng)計獲得，即表1中虛點數(shù)值。表1可以表示成消費者偏好矩陣P［5］。

表1 不同時期消費者偏好矩陣

其中，0≤Pij≤1；1≤i≤n，1≤j≤n．

式2中，λ1表示時期1某產(chǎn)品所有偏好類型的消費量；λ2表示時期2某產(chǎn)品所有偏好類型的消費量。

1．2 建立初始矩陣

在消費者偏好方面，一般認(rèn)為消費者由習(xí)慣型和和多變型兩部分組成［6］，由于這兩種消費者的心理因素等原因，導(dǎo)致他們選擇產(chǎn)品的偏好不一致。為了構(gòu)建能反映出消費者對某產(chǎn)品偏好的狀態(tài)躍遷矩陣，本文假設(shè)習(xí)慣型為穩(wěn)定躍遷消費者，多變型為不穩(wěn)定躍遷消費者，并對這兩種消費者群進行抽樣統(tǒng)計。

對于穩(wěn)定躍遷消費者，統(tǒng)計在長期內(nèi)對某產(chǎn)品不同型號的購買數(shù)量x，得到該類型消費者在時期2內(nèi)的偏好情況，如表2所示。

表2 習(xí)慣型消費者的偏好

表2可化成反映習(xí)慣型消費者消費偏好的矩陣Px的形式，如式（3）：

對于不穩(wěn)定躍遷消費者，統(tǒng)計其在時期1內(nèi)某產(chǎn)品不同型號的購買數(shù)量y，再通過矩陣躍遷得到其在時期2內(nèi)購買的數(shù)量，如表3所示。其中yij表示在時期1內(nèi)型消費偏好躍遷為j型的數(shù)量。

表3 多變型消費者的偏好躍遷

表3的矩陣表達式，式（4）：

再結(jié)合穩(wěn)定躍遷和不穩(wěn)定躍遷的綜合作用，得出消費者偏好躍遷的初始矩陣，見式（5）：

其中：α＋β＝1；分別指習(xí)慣性和多變型消費者對消費偏好影響的權(quán)重，其值由產(chǎn)品市場的不同特征而定。

1．3 躍遷矩陣“隱性→顯性”轉(zhuǎn)化

Pij代表的是消費偏好躍遷矩陣（式1）提高中的隱性數(shù)值，而狀態(tài)初始矩陣（式5）Pk，反映了式1矩陣中隱性數(shù)值的內(nèi)部躍遷。但初始矩陣的缺陷在于，單純的抽樣統(tǒng)計可能導(dǎo)致Ai≠Aki，Bi≠Bkj得到的最終結(jié)果誤差較大。為了減少初始矩陣的誤差，可結(jié)合初始矩陣Pk和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，對Pk逐步迭代求解，轉(zhuǎn)化后的矩陣第i行之和等于Ai，第j列之和等于Bj，該躍遷矩陣的結(jié)果更加準(zhǔn)確。

第一步，對矩陣Pk進行行變換后轉(zhuǎn)化成式（6）

第二步，對矩陣P（k＋1）（式6迭代至第n列變換 ，得式（7）：

計算所得式即為式（1）的解。

1．4 概率躍遷矩陣的求法

由式（2）和式（8）可知，時期t的消費者偏好

2 PPMCC法驗證“顯性”狀態(tài)躍遷矩陣的穩(wěn)定性

采用PPMCC（Pearson相關(guān)系數(shù)法）對求解得到的狀態(tài)躍遷矩陣P（k＋n）的穩(wěn)定性進行檢驗。如果躍遷矩陣P（k＋n）與初始矩陣P（k＋1）的線性相關(guān)系數(shù)0．8＜r＜1，表示兩矩陣的相關(guān)性高，則矩陣P（k＋n）穩(wěn)定。其計算方法如下：

則 P（k＋n）和P（k＋1）的 Pearson相關(guān)系數(shù)為：

若0．9＜r＜1，為極強相關(guān)關(guān)系；0．8＜r＜0．9，為強相關(guān)關(guān)系；－1≤r≤0．8為弱相關(guān)關(guān)系。

3 實例展示

通過對某產(chǎn)品（汽車）在國內(nèi)市場的消費偏好抽樣調(diào)查，其2013年和2014年的數(shù)據(jù)如表（4）［7］。

表4 2013年、2014年國內(nèi)汽車市場消費偏好比例分布

首先，對2013年購買汽車的習(xí)慣型（穩(wěn)定躍遷）消費者購買汽車的偏好進行調(diào)查，選取有效樣本372個；對多變型（不穩(wěn)定躍遷）消費者調(diào)查，同樣選取有效樣本372個，可以得到以下分布結(jié)果（見表4、表5）。

表5 習(xí)慣型消費者偏好分布

表6 多變型消費者偏好分布

對上表列矩陣進行迭代求解可得：

可得：Pk和P（k＋n）的Pearson相關(guān)系數(shù)為：r1＝0．9582，r2＝0．9282，r3＝0．9359，r4＝0．9947，以上數(shù)據(jù)表明，矩陣迭代過程較穩(wěn)定。

按照式（9），再把 P（k＋n）轉(zhuǎn)化成概率躍遷矩陣：

根據(jù)式（11）St＝λ2Ft，取t＝1，2，3，4，即可預(yù)測2015－2018年汽車消費偏好比例：

表7 2015－2018年汽車消費者偏好比例預(yù)測

4 結(jié)論

馬爾科夫概率躍遷矩陣和傳統(tǒng)的躍遷矩陣相比，能通過對數(shù)據(jù)的多步迭代，得到更為穩(wěn)定的預(yù)測結(jié)果。本文從2013－2014年產(chǎn)品（汽車）消費者偏好入手，先抽樣統(tǒng)計獲得樣本數(shù)據(jù)和初始矩陣；再通過迭代求解得到了概率躍遷矩陣；接著采用PPMCC法對迭代后的矩陣進行穩(wěn)定性檢驗；最后對2015年－2018年產(chǎn)品（汽車）的消費者偏好比例進行預(yù)測。結(jié)果表明未來四年內(nèi)，消費者對汽車奢侈優(yōu)先的偏好逐年下降，而品牌、技術(shù)和經(jīng)濟優(yōu)先的偏好逐年上升，其中經(jīng)濟優(yōu)先偏好比例上升的最大。

從以上推導(dǎo)和預(yù)測可得出以下啟示：（1）傳統(tǒng)經(jīng)濟學(xué)中關(guān)于消費者購買長期消費品存在臨界點的假設(shè)和中國的現(xiàn)狀不符。在經(jīng)濟總量處于長期增長的情況下，消費者對長期消費品消費的臨界點上也會不斷上升，極限會不斷延長；（2）生產(chǎn)廠商在制造長期消費品時不僅應(yīng)該考慮產(chǎn)品的價格和實用性，還要考慮滿足如消費者攀比效應(yīng)的增長帶來的差異化需求；（3）長期消費品消費需求波動較大，具有較強的不穩(wěn)定性。因此，為了避免長期消費品消費的隨機性帶來的市場沖擊，需要政府采取公共政策對消費者進行引導(dǎo)，在整個市場范圍內(nèi)對長期消費品形成示范效應(yīng)。

［1］ Heiko，B．Markov chain models for vegetation dynamics［J］．Financial model．，2000，327（3）：139－154．

［2］ 宋波，徐飛．基于馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)換自發(fā)性對稱破缺機制［J］．系統(tǒng)管理學(xué)報，2013，（1）：101－105．

［3］ 余典范．中國產(chǎn)業(yè)動態(tài)比較優(yōu)勢的實證研究——基于馬爾科夫鏈的方法［J］．經(jīng)濟管理，2013，（12）：46－47．

［4］ 肖謙，趙海燕．基于馬爾科夫模型的物流服務(wù)市場占有率的預(yù)測［J］．湖南社會科學(xué)，2014，（4）：52．

［5］ 聶篤忠，陳樺，米承繼等．馬爾科夫鏈狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣修正算法［J］．統(tǒng)計與決策，2013，（3）：15－16．

［6］ Kim，C．J．Pager，Estimation of Markov regime switching regression models with endogenous switching［J］．Journal of Econometrics，2008，143（2）：263－273．

［7］ 徐長明，李偉利．2013－2014汽車市場分析與預(yù)測［J］．汽車工業(yè)研究，2014，（7）：213－217．