黨相懿，楊文廣，蔣東翔

基于樣條曲線的壓氣機(jī)特性內(nèi)插算法研究

黨相懿1,2，楊文廣1，蔣東翔1

（1.清華大學(xué)熱能工程系，北京100084；2.中航工業(yè)航空動(dòng)力控制系統(tǒng)研究所，江蘇無錫214063）

針對(duì)壓氣機(jī)特性曲線中未知轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)難以精確計(jì)算問題，提出了基于樣條曲線的內(nèi)插算法。在分析壓氣機(jī)性能曲線特點(diǎn)基礎(chǔ)上，通過制作壓比/效率-流量、流量-轉(zhuǎn)速2組輔助線，并使用樣條曲線對(duì)其進(jìn)行擬合，基于擬合結(jié)果計(jì)算測(cè)試轉(zhuǎn)速下的特性數(shù)據(jù)，進(jìn)而完成了對(duì)某型壓氣機(jī)壓比/效率特性的內(nèi)插計(jì)算。結(jié)果表明：基于樣條曲線的內(nèi)插算法比RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法準(zhǔn)確性更高，并具有良好的工程應(yīng)用價(jià)值。

壓氣機(jī)；性能；樣條曲線；內(nèi)插算法；仿真計(jì)算；RBF網(wǎng)絡(luò)；燃?xì)廨啓C(jī)；熱力學(xué)模型

0 引言

作為燃?xì)廨啓C(jī)的3大部件之一，壓氣機(jī)的特性對(duì)于仿真結(jié)果有顯著影響。通過試驗(yàn)獲取壓氣機(jī)特性費(fèi)用高昂，且難以獲得全部轉(zhuǎn)速下的數(shù)據(jù)。因此，根據(jù)有限的試驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得壓氣機(jī)的未知特性數(shù)據(jù)具有重要意義。壓氣機(jī)特性具有很強(qiáng)的非線性特征，采用傳統(tǒng)的線性插值方法難以獲得理想的精度，因此許多學(xué)者研究壓氣機(jī)特性計(jì)算的新算法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[1-3]、模糊辨識(shí)方法[4]、滑動(dòng)最小二乘法[5]等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)于已知轉(zhuǎn)速線的擬合效果很好，理論上可以達(dá)到與試驗(yàn)值無限逼近；但其擬合精度與泛化能力相矛盾，難以在獲得良好擬合精度的同時(shí)達(dá)到良好的插值效果[6]。模糊辨識(shí)方法對(duì)于壓氣機(jī)特性的擬合精度比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的稍差，并且能否用于未知轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)的插值計(jì)算，以及精度如何等問題還需進(jìn)一步研究。而滑動(dòng)最小二乘法算法復(fù)雜，計(jì)算量較大。樣條曲線作為1種非線性方法，其原理簡單，計(jì)算速度快，且擬合結(jié)果能夠完全保留樣本數(shù)據(jù)。

本文基于樣條曲線的特點(diǎn)，構(gòu)造了壓氣機(jī)特性圖的輔助線并對(duì)其擬合、插值，進(jìn)而完成特性曲線的計(jì)算。

1 壓氣機(jī)特性的內(nèi)插計(jì)算

典型的壓氣機(jī)特性曲線如圖1所示。它包括壓比特性曲線和效率特性曲線2部分，圖中數(shù)據(jù)為相對(duì)值[7]。壓氣機(jī)的特性一般表示為

式中：π為壓氣機(jī)壓比；η為壓氣機(jī)效率；m˙為壓氣機(jī)流量；n為壓氣機(jī)轉(zhuǎn)速。

圖1 壓氣機(jī)特性曲線

在一般情況下，在壓氣機(jī)出廠前會(huì)對(duì)其進(jìn)行測(cè)試，記錄某些轉(zhuǎn)速下的壓比、流量和效率等數(shù)據(jù)。但是這些數(shù)據(jù)不可能包含所有的轉(zhuǎn)速，因此在工程中需要根據(jù)已有的數(shù)據(jù)推算未知轉(zhuǎn)速下壓氣機(jī)特性[8]?；谠囼?yàn)數(shù)據(jù)的壓氣機(jī)特性內(nèi)插計(jì)算是指通過已知等轉(zhuǎn)速的數(shù)據(jù)推算未知等轉(zhuǎn)速線數(shù)據(jù)，該目標(biāo)轉(zhuǎn)速值在已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)速值的范圍內(nèi)。

從式（1）中可見，特性參數(shù)壓比和效率都是雙變量參數(shù)，因此需要進(jìn)行2次插值計(jì)算才能確定。在插值變量的選擇上，每個(gè)特性參數(shù)都有3種方案，即π/η-m˙，m˙-n,π/η-n 的組合。通過分析各類方案的效果，本文選用 π/η-m˙，m˙-n 的插值方式。

基于樣條曲線的壓氣機(jī)特性進(jìn)行計(jì)算（圖1），該數(shù)據(jù)包含25條等轉(zhuǎn)速線，相對(duì)轉(zhuǎn)速范圍為0.3172～1.1623，分別對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速n1-n25。本文選取n4,n10，n18，作為目標(biāo)內(nèi)插等轉(zhuǎn)速線的測(cè)試樣本，其他轉(zhuǎn)速下的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本。

2 樣條曲線

樣條曲線是指通過樣本節(jié)點(diǎn)來確定的光滑曲線，曲線的形狀由這些點(diǎn)確定，在節(jié)點(diǎn)兩邊樣條曲線段光滑。按照控制點(diǎn)處曲線的連續(xù)階數(shù)，樣條曲線具有不同的階次。比如最常用的3次樣條曲線，在控制點(diǎn)處第2階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即其曲率連續(xù)變化。類似的還有斜率連續(xù)的2次樣條曲線以及更高次的樣條曲線。

下面給出3次樣條曲線的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義[9]。

設(shè) 1 組數(shù)據(jù)點(diǎn) Pi(xi,yi)，i=1,2,3,…,n 且 hi=xi+1-xi＞0,i=2,3,4,…,n。若有y=S(x)滿足以下條件：（1）在 Pi(xi,yi)點(diǎn)上有 y=S(xi)；

（2）S(x)在區(qū)間[x1,xn]上2階連續(xù)可導(dǎo)；

（3）在每個(gè)區(qū)間[xi,xi+1]上，S(x)是x不高于3次的多項(xiàng)式。

則S(x)稱為過點(diǎn)Pi(xi,yi),i=1,2,3…,n的3次樣條函數(shù)，由該函數(shù)構(gòu)成的曲線稱為3次樣條曲線。3次樣條曲線的求解方法已非常成熟[10]，本文不再贅述。從定義可知，3次樣條曲線擬合數(shù)據(jù)的本質(zhì)是通過“分段低次”代替單純地增加擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，從而更加適合對(duì)非線性曲線進(jìn)行擬合計(jì)算。

分別利用5次多項(xiàng)式和3次樣條曲線對(duì)同1組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的結(jié)果如圖2所示。從圖中可見，3次樣條曲線的擬合效果遠(yuǎn)好于多項(xiàng)式的。圖中“spline”特指3次樣條曲線。

圖2 多項(xiàng)式與樣條曲線擬合效果比較

3 壓氣機(jī)特性內(nèi)插算法

為了對(duì)壓氣機(jī)特性進(jìn)行內(nèi)插計(jì)算，本文使用了2組輔助線，具體以壓比特性計(jì)算為例進(jìn)行說明。

（1）構(gòu)造輔助線

特性曲線有25條等轉(zhuǎn)速線，每條等轉(zhuǎn)速線上有8個(gè)點(diǎn)，形成1個(gè)25×8的點(diǎn)陣A。在壓比特性圖上，依次連接點(diǎn)陣A的每1列就形成8條輔助線，如圖3（a）所示。從圖中可見，每條輔助線都是1條參數(shù)為π,m˙的曲線，這就是進(jìn)行π-m˙參數(shù)擬合的對(duì)象。

圖3 輔助線

對(duì)于m˙-n插值，需要提取各條輔助線上點(diǎn)的流量和轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)，重新繪制出需要插值的8條曲線，其結(jié)果如圖 3（b）所示。

（2）m˙-n 插值

分別使用RBF網(wǎng)絡(luò)和樣條曲線對(duì)8條m˙-n輔助線進(jìn)行擬合，得到8個(gè)RBF網(wǎng)絡(luò)和8條樣條曲線；將目標(biāo)轉(zhuǎn)速n4，n10，n18分別代入訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)或樣條曲線，得到該目標(biāo)等轉(zhuǎn)速線與輔助線相交8個(gè)點(diǎn)的流量值。

（3）π-m˙插值

分別使用RBF網(wǎng)絡(luò)和樣條曲線對(duì)8條π-m˙輔助線進(jìn)行擬合，然后將（2）中m˙-n插值所得流量值代入該網(wǎng)絡(luò)或樣條曲線中就得到輔助線與該等轉(zhuǎn)速線相交8個(gè)點(diǎn)的壓比值。

（4）做出壓比曲線

根據(jù)（2）和（3）獲得的流量與壓比值，在壓比特性曲線圖上可以獲得8個(gè)點(diǎn)，這就是內(nèi)插得到的目標(biāo)轉(zhuǎn)速壓比特性曲線。其上、下邊界分別由第1和第8條輔助線界定。

壓氣機(jī)效率特性的內(nèi)插與此類似，只需將（3）中的擬合對(duì)象替換成η-m˙輔助線即可。

4 結(jié)果和分析

按照第3章所述方法，針對(duì)圖1數(shù)據(jù)中n4,n10,n18 3條等轉(zhuǎn)速線進(jìn)行內(nèi)插計(jì)算。RBF網(wǎng)絡(luò)和3次樣條曲線的結(jié)果分別如圖4、5所示。

圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)插結(jié)果

3條測(cè)試等轉(zhuǎn)速線內(nèi)插計(jì)算的壓比結(jié)果和效率結(jié)果分別如圖6、7所示。圖中RBF指RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，spline指3次樣條曲線。圖6中RBF網(wǎng)絡(luò)的n18插值結(jié)果看似n17的插值結(jié)果，這只是由誤差引起的巧合。

圖5 3次樣條曲線內(nèi)插結(jié)果

圖6 等轉(zhuǎn)速線的壓比插值結(jié)果

圖7 等轉(zhuǎn)速線的效率插值結(jié)果

表1 等轉(zhuǎn)速線壓比特性內(nèi)插誤差

表2 等轉(zhuǎn)速線效率特性內(nèi)插誤差

內(nèi)插結(jié)果均方根誤差和平均相對(duì)誤差見表1、2。表中RMSE為均方根誤差，MRE為平均相對(duì)誤差。

從表中結(jié)果可知，3次樣條曲線的內(nèi)插精度要優(yōu)于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的。這是因?yàn)镽BF網(wǎng)絡(luò)要求大量的訓(xùn)練樣本，且其準(zhǔn)確性和泛化性是1對(duì)矛盾。對(duì)于本例來說，m˙-n輔助線的訓(xùn)練樣本較少，且曲線形態(tài)變化大，因此RBF網(wǎng)絡(luò)難以在準(zhǔn)確性和泛化性上都獲得滿意的結(jié)果，插值誤差較大，傳遞到第2次π/η-m˙插值上使整體插值精度下降。而樣條曲線對(duì)于形態(tài)變化較大的曲線擬合效果較好，且受樣本數(shù)量限制較小，因此具有更好的內(nèi)插精度。

為了驗(yàn)證這一結(jié)論，使用3次樣條曲線代替RBF網(wǎng)絡(luò)對(duì)m˙-n 插值，π/η-m˙插值仍使用 RBF 網(wǎng)絡(luò)，插值結(jié)果的平均相對(duì)誤差見表3。表3顯示RBF與樣條曲線結(jié)合的插值方式相對(duì)單一RBF插值，壓比結(jié)果均更好，且轉(zhuǎn)速越高差別越明顯；效率結(jié)果低轉(zhuǎn)速n4插值精度稍低，中高轉(zhuǎn)速n10精度相當(dāng)，n18精度提高。結(jié)合圖3可知，因?yàn)橹械娃D(zhuǎn)速區(qū)m˙-n基本呈線性變化，樣條曲線的擬合優(yōu)勢(shì)并未顯現(xiàn)。

表3 RBF-樣條曲線結(jié)合方法的平均相對(duì)誤差

5 結(jié)論

（1）基于某型發(fā)動(dòng)機(jī)特性數(shù)據(jù)，構(gòu)造了 π/η-m˙，m˙-n輔助線，并分別使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和3次樣條曲線插值計(jì)算，獲得了測(cè)試等轉(zhuǎn)速線下的特性曲線。

（2）3次樣條曲線內(nèi)插效果優(yōu)于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的，其優(yōu)勢(shì)在于對(duì)m˙-n輔助線的計(jì)算。

（3）基于3次樣條曲線內(nèi)插計(jì)算壓氣機(jī)特性可以獲得較高的精度，對(duì)提高燃?xì)廨啓C(jī)仿真精度具有重要意義。

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Interpolation Algorithm of Compressor Characteristics Based on Spline

DANG Xiang-yi,YANG Wen-guang,JIANG Dong-xiang
（1.Department of Thermal Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China,2.AVIC Aeroengine Control Institute,Wuxi Jiangsu 214063,China）

Consideringtheunknownrotatingspeed dataof compressor characteristicswerenoteasy tocalculateaccurately,ainterpolation algorithmbased on splinewas presented.The splinecurveswereused to fit the auxiliary lines of compression ratio/efficiency to massflow and massflow to rotating speed based on analysis of the compressor characteristics.Thecharacteristicsdata were calculated at test speed based on the spline-fitting results.The interpolation algorithm of pressure ratio/efficiency characteristics of a compressor were completed.The results showthatthealgorithmismoreaccurate,and hasbetter engineeringapplication valuethan an algorithmbased on RBFnetwork.

compressor;performance;spline;interpolation algorithm;simulation calculation;RBF network;gas turbine;thermodynamic model

V235.11+3

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2015.01.004

2014-03-13 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（60979014）資助

黨相懿（1990），男，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)槿細(xì)廨啓C(jī)/航空發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷；E-mail：dangxiangyi110@sina.com。

黨相懿，楊文廣，蔣東翔.基于樣條曲線的壓氣機(jī)特性內(nèi)插算法研究[J].航空發(fā)動(dòng)機(jī)，2015，41（1）：22-26.DANGXiangyi,YANGWenguang,JIANGDongxiang.Interpolation algorithmof compressor characteristicsbased on spline[J].Aeroengine，2015，41(1)：22-26.

（編輯：沈廣祥）