張紹勇，許 波

(1.浙江省地球物理地球化學勘查院，浙江杭州 310005;2.香港華藝設計顧問(深圳)有限公司南京分公司，江蘇南京 210037)

傳統(tǒng)的砂井地基軸對稱固結解析解答最早起源于Barron 固結［1］，且發(fā)展至豎井熱固結理論［2］，至今解答已甚成熟?，F(xiàn)有復合地基固結理論繼承和發(fā)展了砂井固結理論成果［3～11］。與傳統(tǒng)砂井固結理論不同的是，復合地基固結存在“應力集中”，即應力會傳向壓縮性較小的樁體，使得復合地基應力重分布。Yoshikuni［3］最早提出了該現(xiàn)象，并把成果運用到工程實踐中。謝康和［4］根據(jù)復合地基受力特點，考慮樁體、涂抹區(qū)和地基土在剛度和透水性存在差異，提出了考慮了樁體和地基土徑豎向組合滲流下的復合地基固結解;王瑞春［5］考慮復合地基“應力集中”效應及施工擾動，給出了雙層材料散體樁復合地基固結解;Han［6］認為初始時刻樁內孔壓可能小于土體內孔壓，傳統(tǒng)砂井地基固結的初始條件不滿足復合地基固結問題，因此給出了可考慮應力集中效應下復合地基徑向固結解;Xie［7］和盧萌盟［8～9］根據(jù)樁土共同作用的特點，認為現(xiàn)有的解答采用傳統(tǒng)砂井地基井土交界面流量連續(xù)假定與復合地基等應變假定相矛盾，因此他們拋棄該假定，并引入新的初始條件，給出了可考慮滲透系數(shù)變化以及附加應力梯形分布下復合地基固結解;張玉國［10］提出了變荷載作用下復合地基固結一般解，豐富和完善了現(xiàn)有復合地基固結理論，趙明華［11］拋棄了砂井地基井土界面流量連續(xù)假定，根據(jù)復合地基受力特點引入“平均超孔隙水壓力”概念，提出了考慮樁體固結變形下復合地基固結解，但該解答未考慮涂抹效應。

表1 現(xiàn)有復合地基固結解析解答中考慮的因素Table 1 Factors considered in the existing analytical solutions for the composite foundation consolidation

表1給出了現(xiàn)有復合地基固結解答中所考慮的因素，現(xiàn)有復合地基固結解的偏微分方程采用與Carrillo［12］類似但相逆的方法得到的一種近似徑豎向固結微分方程［13］。文獻［13］指出Carrillo方法對于瞬時加載工況下地基附加應力沿深度均勻分布情況是適用的，而對于地基附加應力隨時間變化以及沿深度變化時，固結微分方程是非齊次的，Carrillo方法得到的計算結果雖然誤差不算太大，但在理論上卻并不適用?；谖墨I［4～11］提出的近似徑豎向固結微分方程的解答，在理論上是不完備的，本文在前人的研究基礎上，針對復合地基“應力集中”現(xiàn)象，根據(jù)樁土共同作用原理，在計算地基固結度時同時考慮樁體固結和地基固結，以與等應變假定相符;另外，拋棄傳統(tǒng)砂井軸對稱固結中井土界面流量連續(xù)假定，并引入新的初始條件，考慮涂抹、樁體和土體徑豎向同時固結，以及附加應力沿深度任意分布，建立一種推求徑豎向同時固結解答的求解方法。通過本文解答擬解決三個問題:第一，當散體樁樁徑比在多少范圍內，樁體徑向固結可不考慮;第二，當樁長與堆載區(qū)寬度比值相對較高，不同的平均附加應力分布形式對復合地基影響程度;第三，評價置換率和涂抹參數(shù)kh/ksh對復合地基影響程度。

1 計算模型及推導假定

計算模型如圖1所示。圖1中，r和z分別表示極坐標系中徑向和豎向坐標;rc、rs和re分別表示樁的半徑、涂抹區(qū)半徑以及單樁影響區(qū)域有效半徑，kh和kv分別表示未擾動區(qū)土體徑向和豎向滲透系數(shù);ksh表示涂抹區(qū)土體的徑向滲透系數(shù);kch和kcv分別表示樁體內徑向和豎向滲透系數(shù)，H表示樁長。

圖1 軸對稱固結示意圖Fig．1 Diagram of the axisymmetric consolidation

解析推導假定如下:

(1)等豎向應變條件成立:即同一深度處土體和樁體的豎向應變相等，不考慮地基土側向變形;

(2)土體飽和，土中水的滲流服從達西定律;

(3)涂抹區(qū)僅起徑向排水作用，不考慮其固結;

(4)外部荷載一次性瞬時施加并保持不變，由樁土共同承擔。

2 解答的推導過程

2.1 一般性控制方程及求解邊界條件［13］

一般性控制方程為:

式中:t、γw——固結時間及水的重度;

u、us、uc——未擾動區(qū)、涂抹區(qū)土體和樁體內部超靜孔隙水壓力;

εz——樁體和土體的豎向應變;

ksv——涂抹區(qū)土體的豎向滲透系數(shù);

其余未說明的符號意義同圖1說明。

徑向求解條件:

頂面透水、底面不透水(PTPB)或頂面和底面均透水(PTIB)的邊界條件分別為［8～9］:

2.2 未擾動區(qū)固結微分方程

根據(jù)樁土共同作用原理及等豎向應變假設［8］:

εz——土體和樁體的豎向應變;

Es、Ec——土體和樁體的壓縮模量;

由式(13)和式(14)得:

其中:

根據(jù)假定(4)，考慮荷載瞬時加載，并對式(15)求時間的偏導:

根據(jù)假定(1)，等豎向應變條件成立，未擾動區(qū)土體固結微分方程采用式(1):

式中符號意義同前。

參照文獻［13］的研究，為得到式(20)的解答，采用Fourier正弦級數(shù)表示:

式中:un(r，t)、εzn(t)——u、εz對應的 Fourier系數(shù)。

ωn=［(2n-1)π］/(Dh)，對于 PTPB 透水邊界，D=2，對于PTIB透水邊界，D=1。

參照文獻［13］的推導方法，可得式(20)的解:

式中:I0、K0——零階第一類和第二類虛宗量 Bessel函數(shù);

c1n、c2n——待定常數(shù)。

2.3 擾動區(qū)(涂抹區(qū))固結微分方程

采用假定(1)和(3)，不考慮涂抹區(qū)固結及豎向滲流，擾動區(qū)(涂抹區(qū))土體徑向固結微分方程可采用式(2)的蛻化表達式:

式中符號意義同前。

為得到式(24)的解答，仍采用Fourier正弦級數(shù)表示:

式中:usn(r，t)——us對應的 Fourier系數(shù)。

將式(26)依次代入式(25)、(24)得:

式中:c3n、c4n——待定常數(shù)。

2.4 樁體內固結微分方程

參照文獻［13］的推導方法，可得式(28)的解:

式中:ucn——uc對應的 Fourier系數(shù);

c5n、c6n——待定常數(shù)。

2.5 時間函數(shù)Bn(t)推導

由式(18)、(23)、(29)運用面積加權方法可求得地基任一深度任意時刻時的總的平均孔壓表達式:

對式(30)采用Fourier正弦級數(shù)表示:

將式(31)代入式(30)得:

式中:

將式(33)、(34)依次代入式(30)、(19)得:

式(35)為關于變量t的一階線性偏微分方程，其解為:

根據(jù)文獻［8］的研究成果，針對復合地基樁土共同承擔荷載的特點，復合地基的平均初始孔壓等于地基內平均附加應力，即:

式中:σn——(z)對應的 Fourier系數(shù)。

將式(23)、(29)、(36)代入式(18)，再代入式(32)，聯(lián)立式(37)得:

2.6 解答中待定系數(shù)的求解

2.6.1 散體樁與涂抹區(qū)交界面孔壓連續(xù)性及流速相等邊界條件

將式(27)、(29)代入式(7)、(8)得:

2.6.2 未擾動區(qū)與涂抹區(qū)交界面孔壓連續(xù)性及流速相等邊界條件

根據(jù)式(5)和式(6)，并分別代入式(23)和式(27)得:

聯(lián)立式(40)～(44)得:

式中:

2.6.3 單樁影響區(qū)域外側不排水邊界條件

將式(23)依次代入式(21)、(4)，得:

聯(lián)立式(45)、(46)得:

式中:Δn=-αnK1(μnre)-βnI1(μnre)

將式(44)、(47)代入式(41)～(43)，并化簡:

至此，根據(jù)式(47)求得的c1n和c2n，依次代入式(48)～ (50)可分別求得 c5n、c3n和 c4n。

2.7 地基整體平均固結度解答

將式(39)、(36)、(23)代入式(21)可得任意時刻任意位置處未擾動區(qū)土體超靜孔壓表達式:

將式(39)、(36)、(27)代入式(25)可得任意時刻任意位置處涂抹區(qū)土體超靜孔壓表達式:

將式(39)、(36)代入式(29)可得任意時刻任意位置處未擾動區(qū)土體超靜孔壓表達式:

將式(51)、(53)分別代入式(16)、(17)，再代入式(18)，可得到地基任意深度處總的平均孔壓:

根據(jù)文獻［8］的研究，當考慮樁土共同作用及樁體變形，在計算復合地基固結度時，把樁體壓縮也引入其中，那么地基的整體平均固結度可定義為:

假定地基平均附加應力沿深度梯形分布，則:

將式(54)、(56)、(57)代入式(55)可得瞬時加載工況下復合地基整體平均固結度:

3 解答的驗證

為驗證本文所提出解答的準確性，本文選取文獻［4］進行對比，文獻［4］所考慮因素與本文完全一致，所不同的是其解答不考慮附加應力沿深度的衰減。為精確地對比，本文選取計算參數(shù)和力學參數(shù)取值與文獻［4］完全一致，并令本文的σt=σb以使本文解蛻化成不考慮附加應力的衰減。

由圖2可以看出，本文解答與文獻［4］解答相差很小，說明本文解答推導的準確性。另外，從圖中可以看出本文解答比Xie解答稍微偏大，這是因為本文在推導過程中未考慮涂抹區(qū)固結。

圖2 本文解答與Xie解答［4］對比圖Fig．2 Comparison of the proposed solution with the Xie solution［4］

4 復合地基固結性狀分析

根據(jù)上文得到的解答，本文對散體樁軟黏土復合地基固結的一些影響因素進行了計算分析，基本計算參數(shù)取值見圖3。

圖3 不同平均附加應力分布形式對復合地基固結的影響Fig．3 Effect of the difference in additional mean stress distribution forms on the composite foundation consolidation

圖3表示不同平均附加應力形式對復合地基固結的影響，需要指出的是，這里平均附加應力是根據(jù)樁土共同作用原理，樁土共同承擔附加應力的按面積加權的平均值。從圖中可看出地基平均附加應力沿深度倒三角部分(σt=100，σb=0)地基固結速率最快，沿深度呈梯形分布(σt/σb=2)次之，散體樁復合地基固結理論假定地基附加應力沿深度不變化，即矩形分布(σt/σb=1)低估了地基固結速率。

圖4表示不同井徑比(m=re/rc)與文獻［14］的對比圖。文獻［14］為含豎向排水體地基徑豎向固結解，其解與本文解答相比，除未考慮樁(井)內徑向滲流，其余考慮完全相同。從圖中可看出，隨著樁徑比增大，本文解答與文獻［14］計算結果差距逐漸減小，這是因為井徑比增大，意味著樁(井)直徑變小，那么樁(井)的徑向滲流可忽略不計。

圖4 不同井徑比下本文解答與文獻［14］比較Fig．4 Comparison of the proposed solution with the solution［14］ presented in this paper under different diameter ratios

圖5表示不同的置換率和涂抹參數(shù)kh/ksh對復合地基固結的影響。從圖5中可看出，地基固結速率隨置換率(mp=1/m2，m為井徑比)的增大而加快;另外，針對相同置換率下的復合地基，kh/ksh比值越大(kh值一定)，說明涂抹區(qū)水平滲透系數(shù)越小，地基固結影響越慢，涂抹參數(shù)kh/ksh對復合地基固結影響較為顯著。

圖5 不同置換率和kh/ksh對復合地基固結的影響Fig．5 Effect of different area replacement ratio and kh/ksh on the composite foundation consolidation

5 結論

(1)地基平均附加應力沿深度倒三角衰減分布時復合地基固結最快，梯形衰減分布次之，矩形分布最慢。

(2)當工程中樁徑比較小時，不考慮樁體徑向滲流會低估復合地基的固結速率。

(3)地基固結速率隨置換率增大而加快，隨涂抹參數(shù)kh/ksh比值增大而減慢，且兩者對固結速率的影響均顯著。

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