周紹偉， 劉洪霞

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

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概率論方法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

周紹偉， 劉洪霞

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

摘要：概率論作為一個數(shù)學(xué)分支，有其獨(dú)特的思維模式和方法，有時可以巧妙地用于解決其他學(xué)科中的某些問題.通過幾個例子說明了概率論方法在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：概率論方法；高等數(shù)學(xué)；隨機(jī)變量；概率模型

0引言

概率論是從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門學(xué)科.它的許多思想和方法可以用于求解高等數(shù)學(xué)問題，在提供新解法的同時也將大大簡化解題過程.本文通過幾個例子說明概率論方法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.這種學(xué)科間的相互滲透，不但使學(xué)生加深了對知識的掌握，而且能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)習(xí)效率.

1利用概率模型求解高等數(shù)學(xué)問題

證明構(gòu)造一個廣義幾何分布模型.

獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)第n次試驗(yàn)成功的概率為pn(0

P(X=n)=(1-p1)(1-p2)…(1-pn-1)pn，

且

由泊松分布的可加性知，n個獨(dú)立且服從泊松分布的隨機(jī)變量之和仍服從泊松分布，故

X=ξ1+ξ2+…+ξn，

其中，ξ1,ξ2,…,ξn獨(dú)立同分布，ξi～π(λ),i=1,2,…,n，當(dāng)n→∞時，可由中心極限定理來進(jìn)一步考慮.

解設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且ξi～π(λ),i=1,2,…,n，即

由中心極限定理，對任意的x，有

而

故

中心極限定理揭示了產(chǎn)生正態(tài)分布的源泉，是應(yīng)用正態(tài)分布解決各種實(shí)際問題的理論基礎(chǔ)，因此中心極限定理的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了概率論的范圍.

2利用隨機(jī)變量的數(shù)字特征求解積分

正態(tài)分布和指數(shù)分布是兩類重要的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們不但在概率論中有著廣泛的應(yīng)用，而且利用其性質(zhì)可以求解某些特殊的積分.下面通過兩個例子來說明.

分析利用分部積分法可以直接計算，但是比較麻煩，由于積分中含有e-(2x+1)，通過轉(zhuǎn)化可以整理成含有e-λx的形式，再利用指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式以及密度函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計算.

解利用服從參數(shù)λ=2的指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的性質(zhì)求此積分.

另外，利用二維正態(tài)分布可以計算某些特殊的二重積分.

由ρ=0知X,Y相互獨(dú)立，所以Z=X-Y～N(0,1).

3利用概率論方法證明不等式

分析該題是高等數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題[2].考慮到積分區(qū)間為[a,b]，這道題可以用服從均勻分布的隨機(jī)變量的性質(zhì)證明.

分析構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕史植迹眯再|(zhì)[E(X)]2≤E(X2)證明.

4結(jié)論

本文通過幾個例子說明了概率分布、中心極限定理、隨機(jī)變量的矩等概率方法在解決級數(shù)、極限、積分、不等式等問題時的應(yīng)用.筆者發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用概率論方法求解高等數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，在于根據(jù)題目的特點(diǎn)構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ停M(jìn)而利用模型的性質(zhì)進(jìn)行求解，這些方法時常會達(dá)到事半功倍的效果，既深化了對概率論知識的理解，又拓寬了高等數(shù)學(xué)的解題思路.

參考文獻(xiàn)

[1]張德然.概率論思維論[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2004:53-54.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)：上冊[M]. 6版.北京:高等教育出版社,2002:270.

[3]熊桂武.概率方法在不等式證明中的應(yīng)用[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2003,20(4):88-90.

Application of Probability Method in

Higher Mathematics Problem Solving

ZHOU Shao-wei, LIU Hong-xia

(CollegeofMathematicsandSystemsScience,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China)

Abstract:As a branch of mathematics, probability has its unique thought pattern and method, and sometimes it may ingeniously be used to solve certain problems in other discipline. The application of probability method in higher mathematics problem solving is shown by several examples.

Key words:probability method; higher mathematics; random variable; probabilistic model

中圖分類號：O211.9;G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1007-0834(2015)02-0060-03

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2015.02.016

作者簡介：周紹偉(1979—)，女，山東泰安人，山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院副教授，博士，主要研究方向：隨機(jī)系統(tǒng)最優(yōu)控制.

基金項(xiàng)目：山東科技大學(xué)教育教學(xué)研究“群星計劃”項(xiàng)目(QX2013265)

收稿日期：2014-10-08