竇彥智 王滿喜 白 鉑* 陳 巍 曹志剛

1 引言

認知無線電（Cognitive Radio, CR）技術(shù)旨在允許次級用戶（Secondary User, SU）監(jiān)測當前頻譜環(huán)境，在避免對授權(quán)用戶（Primary User, PU）造成有害干擾的情況下利用空閑頻譜來傳輸信息，以達到大幅提高頻譜利用率，增加無線通信系統(tǒng)容量的目的。美國聯(lián)邦通信委員會（Federal Communications Commission, FCC）研究了美國境內(nèi)的頻譜利用情況，發(fā)現(xiàn)已經(jīng)注冊的頻譜并沒有被充分利用，提出將CR定位為未來通信的發(fā)展方向[1]。

基于認知無線電的頻譜共享主要探討SU與PU之間、SU之間協(xié)同接入可用信道的方式。采用的主要理論工具和研究方法包括圖論和競價拍賣理論[2,3]。功率控制則在經(jīng)典注水功率分配算法的基礎(chǔ)上，采用博弈論方法來優(yōu)化 SU的發(fā)射功率，避免對PU通信造成有害干擾[4,5]。然而，目前已有的認知無線網(wǎng)模型大多只包含一個 PU，如文獻[2]。同時，部分研究還規(guī)定每個頻譜子帶至多能被一個SU占用，如文獻[2,3]。文獻[4,5]要求每個SU都知道所有PU所受的干擾情況，來完成自身的功率控制過程。而文獻[6-11]則分別提出了利用其他不同的無線網(wǎng)絡(luò)模型進行動態(tài)頻譜分配的方法。與前述研究成果不同，本文針對多次級用戶和多主用戶并存的典型認知無線網(wǎng)絡(luò)場景，研究動態(tài)頻譜共享和功率控制問題。本文研究的認知無線網(wǎng)絡(luò)模型包含多個PU，且允許每個頻譜子帶被多個基于虛擬多天線技術(shù)的SU占用。這樣通過提供給SU更多的選擇性來進一步增加 SU的收益。針對該網(wǎng)絡(luò)模型，本文采用博弈論方法聯(lián)合優(yōu)化次級用戶的發(fā)射功率和子帶分配，以及主用戶的定價系數(shù)，以同時最大化主用戶和次級用戶的收益。

本文的結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)提出認知無線網(wǎng)絡(luò)模型；第3節(jié)建立資源共享博弈模型，并將博弈均衡問題的求解分解為3個子優(yōu)化問題；第4節(jié)通過博弈分析，求解每一個子問題，并提出博弈均衡的求解算法；第5節(jié)通過仿真驗證所提出的理論；第6節(jié)是本文的結(jié)論。

2 認知無線網(wǎng)絡(luò)模型

考慮圖1所示的認知無線網(wǎng)絡(luò)，其中，J個PU記為 P1,P2,… ,PJ; K個次級用戶對記為 （S1, D1）,（S2,D2）,… ,（SK, DK）。PU的授權(quán)頻帶分為M個子帶。在任何時刻，每個 SU只被允許使用至多一個子帶。假設(shè)子帶分配僅在 SU網(wǎng)絡(luò)里決定，對 PU不可見。

圖1 典型認知無線網(wǎng)絡(luò)模型，其中 L 1 ={S 1 , S 2}

lSk表示分配給 Sk的子帶， 并且 lSk∈{1,2,…,M }。那么，每種子帶分配策略可表示為向量 lS= [lS1lS2…lSK]。如圖1所示，模型允許不同的SU接入同一個子帶，并用 Lm表示共享子帶m的SU集合，即 Lm={Sk:lSk= m , k = 1 ,2,… , K }。 Lm為空集表示沒有 SU選擇子帶m。信道增益矩陣記為H。

ωSk表示 Sk的發(fā)射功率，K個 SU的發(fā)射功率可表示為向量 ωS= [ ωS1ωS2…ωSK]。 QP表示PU的干擾容限矩陣，即 QP=[QP1QP2… QPJ]，則每個PU所受的干擾強度要小于其干擾容限，即

其中，“≤”對向量中的每個元素成立。

3 資源共享博弈模型

3.1 博弈行為的時序

在認知無線電中，PU對頻帶有優(yōu)先使用權(quán)和出租定價權(quán)。SU只能根據(jù)PU提出的定價系數(shù)選擇最優(yōu)頻帶和最佳發(fā)射功率。本文的研究目標是同時最大化PU和SU的收益函數(shù)，故PU可視為博弈的領(lǐng)導(dǎo)者（Leader），而 SU 則為跟隨者（Follower）。下面給出各參與者博弈行為的時序：

（1）PU同時選擇定價系數(shù)βj，得到定價系數(shù)向量 β= [ β1β2… βJ]。

（2）在SU網(wǎng)絡(luò)中確定子帶分配 lSk，得到子帶分配矩陣 lS=[lS1lS2… lSK]。

（3）SU決定其發(fā)射功率ωSk，得到發(fā)射功率矩陣ωS= [ ωS1ωS2… ωSK]。

根據(jù)文獻[12]的結(jié)論，該博弈模型是一種動態(tài)完全信息博弈。

3.2 SU的收益函數(shù)

SU的收益kSπ等于收入kR減去支出kC，即

其中， Rk為SU租用某條子帶時獲得的信道容量，Ck為SU支付給所有PU的租金之和。這里給每個PU的租金等于該PU的定價系數(shù)乘以該PU所受到來自各個SU的干擾，即

其中H·k表示H矩陣的第k列。式（3）中的收入和支出都乘以系數(shù)1轉(zhuǎn)化成價格，以統(tǒng)一量綱。考慮Lm個 SU共享子帶m的情況。假設(shè)在子帶m, SU網(wǎng)絡(luò)中發(fā)射端距離較近，故可視為Lm-輸入Lm-輸出的等效虛擬多輸入多輸出（Multiple-Input and Multiple-Output, MIMO）信道。根據(jù)文獻[13]的結(jié)論，子帶m上等效虛擬MIMO信道的容量為

其中， I （ Sk; Dl） 表示子帶m中 Sk和 Dl的互信息，λk[m]是中第k個非零特征值，而 G { Sk∈Lm} 是SU網(wǎng)絡(luò)中滿足 Sk∈Lm的收發(fā)端信道增益矩陣G的子陣。

基于比例公平原則（Proportional Fairness Criterion, PFC），本文將 Lm集合的總收入分配給每一個SU。根據(jù)文獻[14]的結(jié)論，如果收入分配滿足PFC，則合作博弈的納什議價解可保證整個系統(tǒng)達到帕累托最優(yōu)。

定理1 如果采用 PFC將 Lm集合總收入分配給每個SU，則每個SU的速率為

相應(yīng)收益為

3.3 PU的收益函數(shù)

每個PU的收益等于從所有SU收取的租金和，即

其中，j·H表示H矩陣的第j行。

3.4 均衡的定義

本文已說明前述博弈模型屬于動態(tài)完全信息博弈，下面要求解該博弈模型的子博弈精煉納什均衡。根據(jù)文獻[12]，本文有如下定義：

則 （ β*,）構(gòu)成子博弈精煉納什均衡。其中,分別代表在給定 βj, lSk（β*）,ω （l*, β*）時的納什均衡。SkS

3.5 逆向歸納法分解博弈模型

按照逆向歸納法[12]，本文提出的博弈模型可以分解為3個子優(yōu)化問題。

（1）功率控制問題：PU定價系數(shù) β*、次級網(wǎng)絡(luò)子帶分配已知且固定。對 Sk求滿足納什均衡的發(fā)射功率的問題，可表示成式（11）所示的優(yōu)化問題

（2）子帶分配問題： PU 定價系數(shù) β*已知且固定，通過上一個功率控制問題可求最優(yōu)發(fā)射功率。對 S求滿足納什均衡的子帶選擇的問題，k可表示成式（12）所示的優(yōu)化問題：

（3）價格調(diào)整問題： 通過之前功率控制問題和子帶分配問題可求得最優(yōu)發(fā)射功率和最優(yōu)子帶分配。對 Pj求滿足功率約束式（1）和納什均衡的定價系數(shù)的問題，可表示成式（13）所示的優(yōu)化問題

4 資源共享博弈分析

4.1 最優(yōu)功率控制

對πSk求極大值點，且發(fā)射功率要大于0，得

把式（14）代入到式（6），得最大收益表達式為

4.2 子帶分配算法

在SU從一個子帶跳轉(zhuǎn)到另外一個子帶的過程中，需要考慮的參數(shù)有 λk[m]和hjk[m]。所以很難找到一個非窮舉搜索的算法求解納什均衡。本文則通過記錄已經(jīng)比較過的結(jié)果來減少將來的比較次數(shù)。

下面給出一個搜索子帶分配博弈納什均衡的算法流程。該算法分為兩個步驟，（1）計算所有子帶分配情況下每個SU的收益。對于M個子帶，K個SU，一共有K

M 種子帶分配方式。（2）比較響應(yīng)情況，如果某種子帶分配下所有 SU收益都高于“鄰近”情況，則可以判斷其為納什均衡?！班徑钡亩x是保持其他 1K- 個SU所選子帶不變，僅改變剩下的一個SU的占用子帶，共有 1M- 種情況。

4.3 最優(yōu)定價系數(shù)

定理2 如果PU選擇β=αc，其中c是一個常矩陣，α是一個正實數(shù)，那么 SU最優(yōu)子帶分配是獨立于α的。

該定理表明如果定價系數(shù)jβ以一個固定速率增大或者減小，那么子帶分配博弈的納什均衡是固定的，這樣就可以把子帶分配問題從博弈模型中分離出來。

5 仿真驗證

本節(jié)給出仿真結(jié)果，驗證前述理論推導(dǎo)和所提算法?？紤]2個PU，2個子帶，2個SU的情形?？芍訋Х峙湟还灿?種策略，分別為： S1和 S2共用子帶1，記為 { lS1= 1 , lS2= 1 }; S1占用子帶2,S2占用子帶1，記為 {lS1= 2 , lS2= 1 }; S1占用子帶1, S2占用子帶 2，記為 { lS1= 1 , lS2= 2 }; S1和 S2共用子帶 2，記為 { lS1= 2 , lS2= 2 }。把這4種策略分別標記為策略 1，策略 2，策略3，策略 4。

固定c，改變α，求解納什均衡策略，得到圖2?？梢钥吹?，在 α ∈ [ 1,10]，策略 2一直都是純戰(zhàn)略納什均衡，驗證了定理2。在α=4點之后，策略4也成為納什均衡策略。

圖2 固定c，改變α?xí)r的納什均衡

通過改變定價系數(shù)組合 c =（c1, c2），研究不同定價系數(shù)對于子帶分配的影響。如圖3，c1從0取到4，c2從0取到2, 2維平面被分成了3部分?；疑珔^(qū)域代表策略2是納什均衡的，黑色部分表示策略4是納什均衡的。白色區(qū)域表示因為定價太高，兩個SU都負擔不起租用子帶的費用，所以沒有納什均衡。

現(xiàn)在考慮2個PU, 2個子帶，5個SU的情形。令α從1取到200, c分別等于 c1和 c2，圖4給出了活躍用戶數(shù)量的曲線圖。這里活躍用戶定義為發(fā)射功率大于0的SU?？梢钥闯觯S著α的增加，活躍用戶數(shù)量越來越少。但是對于不同的定價系數(shù)組合c，變化的情況是不同的。

圖5給出 α和c對PU所受干擾的影響。從圖中可以看出，α越高，則 PU所受干擾越小，所以PU可以通過修改定價系數(shù)來實現(xiàn)功率控制。

6 結(jié)束語

本文研究了多PU、多SU、多可用子帶的認知無線網(wǎng)絡(luò)中的頻譜分配和功率控制問題。首先構(gòu)建認知無線網(wǎng)絡(luò)的博弈模型，該模型將 SU網(wǎng)絡(luò)等效為虛擬 MIMO信道，并采用比例公平原則分配收益，從而允許不同的 SU通過共享子帶的方式收發(fā)數(shù)據(jù)。通過給出PU和SU的行為時序，證明了該模型是一種動態(tài)完全信息博弈，同時定義了該博弈的子博弈精煉納什均衡。隨后，基于逆向歸納法將上述博弈模型分解成3個子優(yōu)化問題，并逐一求解。在此基礎(chǔ)上，提出了一種搜索純戰(zhàn)略納什均衡的算法。理論分析證明了PU定價系數(shù)滿足固定的線性關(guān)系時，子帶分配結(jié)果穩(wěn)定不變，即子帶分配問題可獨立求解。因此，本文的理論分析和所提算法為未來認知無線網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計提供了理論基礎(chǔ)。

圖3 不同的定價系數(shù)組合對子帶分配的影響

圖4 α和c對活躍用戶數(shù)量的影響

圖5 α和c對PU所受干擾的影響

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