張國艷，梁小兵，高杰，徐辰浩，李政陽

（1．長城鉆探工程公司測井技術(shù)研究院，北京100200；2．中國石油大學（北京），北京102249）

0 引 言

多分量感應測井可以探測地層電性各向異性系數(shù)λ、相對傾斜角α以及傾斜方位角β。地層電性各向異性信息對于低電阻率油藏的識別、評價意義重大，而相對井斜角及傾斜方位角在地質(zhì)應用上能夠起到重要作用［1－3］。目前，可運用交錯網(wǎng)格有限差分法（FDM）、有限元素法（FEM）、模式匹配法（NMM）或積分方程法（IEM）等數(shù)值模擬技術(shù)求解地層的電磁場響應。沈金松［4］、孫向陽［5］等用有限元法（FEM）計算了三維各向異性介質(zhì)的電磁響應；陳桂波等［6］利用積分方程法（IEM）計算了各向異性介質(zhì)的電磁響應；交錯網(wǎng)格有限差分法（FDM）在三維各向異性介質(zhì)電磁響應的數(shù)值模擬計算中應用廣泛，Newman［7］、Wang and Fang［8］、汪功禮等［9］、沈金松［10］、王昌學等［11］以及 Mallan等［12］先后實現(xiàn)了有限差分代碼的編制并得到較好的效果。

本文中的有限差分方法由頻域Maxwell方程為基礎引入標量電位V和矢量磁位A，進而將求解Maxwell方程的問題轉(zhuǎn)化為求解耦合的標量－矢量位方程組問題。針對不同的地層模型和影響因素的正演計算結(jié)果穩(wěn)定可靠，且計算速度較快。數(shù)值模擬結(jié)果顯示，本文方法可以勝任相鄰區(qū)域電參數(shù)大對比度的情況，比如模擬電阻率較低的鹽水泥漿或電阻率很高的油基泥漿的情況。由于多分量感應測井儀特殊的線圈設計結(jié)構(gòu)，該儀器響應受井眼及侵入的影響更加復雜，尤其是共面信號的影響比較嚴重，甚至于在高電阻率泥漿時仍然會有比較明顯的井眼效應。本文重點考察了井眼及侵入對不同的響應分量造成的影響。

1 方法原理

1．1 電磁場問題的有限差分求解

對于任意三維的非均勻電性各向異性介質(zhì)，存在外加電流源時，其時諧電磁場的頻域Maxwell方程組為

式中，ω為角頻率；μ為介質(zhì)磁導率；ε為介電常數(shù)；Js為源電流密度＝σˉ＋iωεI為復電導率張量為介質(zhì)電導率張量，I為單位矩陣；H和E分別是磁場強度和電場強度；B＝μH為磁感應強度。

由式（3）可以將磁感應強度表示為

式（4）中的矢量位A滿足庫倫規(guī)范

矢量A就是引入的矢量磁位。將式（4）代入Maxwell方程（1）、（2）中，借助矢量恒等式

可以得到

式中，V為標量電位。

式（7）至式（10）中的偏微分方程定義了一組耦合的標量－矢量位，為了在有限的區(qū)域內(nèi)求解方程組構(gòu)成的邊值問題，將求解區(qū)域在直角坐標系下劃分為Nx×Ny×Nz個矩形元胞，并且在Yee的交錯網(wǎng)格［8］上利用中心差分近似偏微分項。在笛卡爾坐標系中，矢量磁位A的3個分量Ax、Ay、Az的采樣點分別位于x、y、z方向網(wǎng)格棱邊的中點處，而標量電位V的采樣點位于網(wǎng)格棱角處。

通過對標量－矢量位方程的離散得到4個耦合的方程，表示為矩陣形式

其中，S為大型線性方程組的非對稱復系數(shù)矩陣，由于其只包含有限的非零項，導致其成為大型稀疏條帶狀矩陣。這種矩陣的條件數(shù)完全依賴于求解空間的網(wǎng)格分布以及介質(zhì)的平均電導率。由于線性方程組（11）的以上特性，應用雙共軛梯度法（BICGSTAB（l））［11］通過迭代方法求解得到標量 －矢量位。進而通過式（7）、式（8）即可實現(xiàn)電磁場的求解。

1．2 多分量感應測井原理

多分量感應測井儀器的線圈系結(jié)構(gòu)［9］由3個共中心點的、彼此垂直的發(fā)射線圈Tx、Ty、Tz和與其平行的3個接收線圈Rx、Ry、Rz以及3個屏蔽線圈Bx、By、Bz組成。當發(fā)射線圈系向周圍發(fā)射正弦交流電時，可同時測量接收線圈系上磁場（或感應電動勢）張量的9個分量。磁場強度張量H及對應的視電導率張量表示成

式中，Hxx表示由x方向發(fā)射、x方向接收產(chǎn)生的磁場強度，其他分量定義依此類推。為抵消發(fā)射線圈在接收線圈中產(chǎn)生的直接耦合分量引入屏蔽線圈。屏蔽線圈與接收線圈的繞線方向相反，匝數(shù)不等，在空氣中屏蔽線圈和接收線圈中產(chǎn)生的直耦電動勢相互抵消。

對于三線圈系，計算過程中線圈等效為點磁偶極子?？紤]直耦電動勢的消除，補償后線圈系磁場強度HAij［10］可表示為

式中，L1為發(fā)射線圈與接收線圈間距離；L2為發(fā)射線圈與屏蔽線圈間距離；Hij，1、Hij，2分別為發(fā)射線圈為單位磁矩時接收線圈和屏蔽線圈磁場強度。

模擬計算得到的磁場虛部通過式（14）轉(zhuǎn)換成視電導率張量［6，11－12］

式中，Im（）為線圈系磁場強度的虛部；Kij為線圈系儀器系數(shù)。

式中，ω為角頻率；μ0為空氣中磁導率。

2 算法驗證

本文提供的模擬結(jié)果均為三線圈系下視電導率，主接收線圈源距L1＝1．0m，屏蔽線圈源距L2＝0．65m。通過與均勻介質(zhì)解析解（Analytic Method）、一維地層模型下的快速漢克爾變換法（FHT）的響應與有限差分方法在地層電性各向異性系數(shù)λ為不同值下的正演結(jié)果進行了對比（見圖1、圖2）。其中，λ2為地層水平電導率σh與垂直電導率σv的比值；σa，zz、σa，xx分別表示z方向發(fā)射z方向接收時、x方向發(fā)射x方向接收時的視電導率值；深度MD為實際測量深度。結(jié)果顯示有限差分方法模擬結(jié)果吻合很好。本文的模擬計算除均勻介質(zhì)外，均采用5層分層模型，模型參數(shù)見表1。無特殊說明時地層模型井斜角為30°。當測井儀器軸線位于x軸z軸限定的子午面中，并且固定y軸的方向不變（即儀器方位角β為0），則多分量感應測井儀的9個分量中只有5個不為0。

表1 地層模型參數(shù)（無井眼、侵入）

圖1 不同地層電性條件下有限差分法（FDM）與解析解法的響應比較

圖2 FDM程序與一維正演程序模擬結(jié)果對比

3 模擬結(jié)果

3．1 井斜角的影響

圖3是在發(fā)射頻率為25kHz、井斜角從0°～80°時模型1的測井響應模擬結(jié)果。該算例單獨考查井斜角對測井響應結(jié)果的影響，不考慮井眼和泥漿的影響。隨著井斜角的增加，x－x分量在界面處的犄角會變得不明顯，z－z分量在界面處從平滑逐漸出現(xiàn)犄角，并越來越明顯，而y－y分量在界面處的犄角基本無變化。其實犄角的出現(xiàn)是由于邊界處的電荷累積造成的。當電荷沿著界面法線方向流動時會出現(xiàn)這種電荷的累積。隨著井斜角的增大，x－x方向磁場的感生電流會愈發(fā)接近平行于界面，z－z方向磁場的感生電流則愈發(fā)接近界面法線方向，而yy方向的感生電流與界面的方位關系不隨井斜改變。由此，相應的會出現(xiàn)不同的界面犄角變化。

圖3 井斜角變化時的測井響應

圖4 引入不同井眼影響時的模擬結(jié)果

在各向異性層段，可以發(fā)現(xiàn)隨著井斜角度的增加，x－x和y－y分量隨井斜角的增大而增大；z－z分量和z－x分量（x－z規(guī)律相同）隨井斜角的增大而減小。在各向同性層段，z－x分量為零（x－z分量規(guī)律相同），所有分量都不再受井斜角的影響。

3．2 井眼泥漿的影響

在模擬有井眼及泥漿侵入的模型中，井眼半徑均取4．25in，侵入剖面半徑為16．25in，泥漿包括電導性和電阻性2種，具體參數(shù)見表2。圖4為考察井眼影響的模擬結(jié)果，xx＿layer表示無井眼條件下的x－x分量，xx＿cond為井眼內(nèi)填充電導性泥漿（σm1＝6．0S／m）時的x－x 分量，而xx＿resis為井眼內(nèi)填充電阻性泥漿（σm2＝0．01S／m）時的x－x 分量。模擬結(jié)果顯示，共面分量（x－x、y－y）受井眼影響最為嚴重，其中又以x－x分量最為甚：圖4顯示除去地層電導率與井眼泥漿電導率相近的第4層，其他各層中的x－x分量受電導性及電阻性泥漿的影響都很明顯，并且2種不同泥漿引起視電導率的相對變化率也很接近；相對于x－x分量，y－y分量在高電阻率層受泥漿影響更小，在高導層受電導性泥漿影響更大，在各向異性層受電導性泥漿影響也更小。共軸分量（z－z）受井眼影響較小，尤其電阻性泥漿基本不會對其造成影響。對于交叉分量（x－z、z－x），井眼影響只是體現(xiàn)在局部邊界處犄角的峰值處。

3．3 井徑變化的影響

圖5 引入不同井徑影響時的模擬結(jié)果

考查井眼存在、井眼內(nèi)填充泥漿，并且存在井斜的情況下儀器的響應。地層模型依然為表1所示的5層層狀模型，無泥漿侵入的影響。圖5為考查井斜角為30°、井內(nèi)填充電導性（σm1＝5．0S／m）和電阻性（σm2＝1．0S／m）2種泥漿時，井徑變化對測井響應各分量的影響。圖5中xx＿cal＝4．0、8．5、16．0 in分別表示井徑為4．0．、8．5．、16．0in情況時的xx分量。模擬結(jié)果顯示，在填充電導性、電阻性2種泥漿的情況下，共面分量x－x、y－y受井徑變化影響均比較明顯，尤其以電導性泥漿填充的情況為甚，且在地層電導率高的地層（4、5層）影響格外明顯。

共軸分量z－z在電阻性泥漿填充時受井徑變化的影響很??；當電導性泥漿填充時，在電阻率較高的各向異性地層（1層）和各向同性地層（3層）能看到地層響應隨井徑增大而增大，但是相對變化率很小。

圖6 引入不同侵入影響時的模擬結(jié)果

表2 井眼及侵入?yún)?shù)

交叉分量x－z（z－x變化趨勢和程度與之相同）在2種泥漿填充下受井徑變化的影響只在高對比度地層（3、4層）界面處的峰值有所體現(xiàn)，交叉分量的信號強度隨井徑增大會相應地減小，且井眼填充電導性泥漿時帶來的變化更為明顯。

3．4 泥漿侵入的影響

圖6為考查泥漿侵入影響的算例，同時提供了電導性泥漿和電阻性泥漿的結(jié)果。圖6中xx＿well＿cond表示有井無侵時的x－x分量，xx＿inva＿cond為有井有侵時的x－x分量，此處cond表示電導性泥漿，而xx＿well＿resis中的resis表示電阻性泥漿，侵入帶電導率參數(shù)見表2。模擬結(jié)果顯示，電導性泥漿侵入造成的影響較明顯，共軸和共面分量均會明顯受到電導性侵入的影響，并且這種影響在電導性地層（如第4層）仍然顯著。電阻性泥漿侵入在高導層段會對共面分量造成明顯影響，在相對低導層段無明顯影響。

在高電阻率砂巖層段（地層3），電導性泥漿侵入影響使z－z方向地層響應增大，使x－x或y－y方向地層響應減小，在低電阻率層段（地層4）也能看到這種變化趨勢。對于電阻性泥漿，情況恰好相反，而這種規(guī)律體現(xiàn)了地層與泥漿電阻率對比度的影響。交叉分量幾乎不受泥漿侵入影響。

4 結(jié) 論

（1）共面信號在界面處出現(xiàn)明顯的犄角而共軸信號在界面處平滑的規(guī)律只適用于直井或者井眼斜角較小時；隨著井斜角逐漸增大，共面信號會在界面處會變得平滑，而共軸信號則出現(xiàn)明顯的犄角。

（2）共面分量x－x受井眼影響最為嚴重，并且電導性或者電阻性泥漿同樣會帶來明顯的影響，與x－x分量相比，y－y分量受井眼影響程度較低，并且影響規(guī)律也不同；共軸分量受井眼影響很小，只有高導泥漿會在部分層段對其產(chǎn)生明顯影響；交叉分量基本不受井眼影響。

（3）共面信號受井徑變化的影響較為嚴重；共軸信號只有當高電導率泥漿填充時才受到井眼變化帶來的影響；交叉分量受到井徑變化的影響只在高對比度的地層邊界處有所體現(xiàn)。由井徑變化引起的地層響應影響中，均以電導性泥漿的填充最為顯著。

（4）在存在泥漿侵入時，電導性泥漿對共軸和共面分量都會造成較明顯的影響，電阻性泥漿侵入在高導層段會對共面分量造成明顯影響，在相對低導層段無明顯影響。

［1］Zhdanov M S，Kennedy W D，Peksen E．Foundations of Tensor Induction Well－logging［J］．Petrophysics，2001，42（6）：588－610．

［2］Zhang Z Y，Akinsanmi O，et al．Triaxial Induction Logging－an Operator’s Perspective［C］∥The 48th Annual Logging Symposium，paper Y，2007．

［3］Moran J H，Gianzero S．Effects of Formation Anisotropy on Resistivity－logging Measurements［J］．Geophysics，1979，44（7）：1266－1286．

［4］沈金松．用邊有限元法計算三維各向異性介質(zhì)的電磁響應［J］．測井技術(shù)，2004，28（1）：11－15．

［5］孫向陽，聶在平，趙延文，等．用矢量有限元方法模擬隨鉆測井儀在傾斜各向異性地層中的電磁響應［J］．地球物理學報，2008，51（5）：1600－1607．

［6］陳桂波，汪宏年，姚敬金，等．用積分方程法模擬各向異性地層中三維電性各向異常體的電磁響應［J］．地球物理學報，2009，52（8）：2174－2181．

［7］Newman，Alumbaugh．Frequency－domain Modeling of Airborne Electromagnetic Responses Using Staggered Finite Differences［J］．Geophys Prosp，1995，43（8）：1021－1042．

［8］Wang，F(xiàn)ang．3－D Electromagnetic Anisotropy Modeling Using Finite Differences［J］．Geophysics，2001，66（5）：1386－1398．

［9］汪功禮，張庚驥，崔鋒修，等．三維感應測井響應計算的交錯網(wǎng)格有限差分法［J］．地球物理學報，2003，46（4）：561－567．

［10］沈金松．用交錯網(wǎng)格有限差分法計算三維頻率域電磁響應［J］．地球物理學報，2003，46（2）：281－289．

［11］王昌學，周燦燦，儲昭坦，等．電性各向異性地層頻率域電磁響應模擬［J］．地球物理學報，2006，49（6）：1873－1883．

［12］Mallan R K，Torres－Verdin C．Finite－difference Simulation of Borehole EM Measurements in 3DAnisotropic Media Using Coupled Scalar－vector Potentials［J］．Geophysics，2006，71（5）：G225－G233．