柳杰，張中慶

（浙江大學海洋科學系，浙江 杭州310058）

0 引 言

直流電測井的正演方法研究由最初的解析方法逐步發(fā)展為以數(shù)值計算為主體的仿真模擬。有限元法［1－2］、數(shù)值模式匹配法［3］、有限差分法［4］等非均勻介質(zhì)數(shù)值計算方法引入到電法測井的數(shù)值模擬中。仵杰等［5］提出一種基于有限元數(shù)值計算離散電位數(shù)據(jù)的電流線繪制方法得到了側(cè)向測井儀器在地層中的電流線近似分布情況，這種處理本質(zhì)上屬于數(shù)據(jù)后處理技術，得到的并不是真實的電流線分布，其效果依賴于步長選擇、方向判斷、突變點的處理和終止點的控制。張庚驥等［6］最早將電流勢方法應用在自然電位測井中，取得了良好的效果，繪制出了自然電位在井中的電流線分布情況。

絕大多數(shù)數(shù)值算法都是基于電位勢方程求解空間中離散點的電位值，對電位值求微分得到電流值?；谏鲜霾蛔悖疚睦秒娏鲃莸钠⒎址匠糖蠼怆娏鲌?，采用有限元方法進行模擬。以雙側(cè)向測井儀器為例，研究表明，電流勢方法不僅能夠準確繪制出儀器激勵在地層中真實電流線分布，還能夠?qū)x器的探測深度、分辨率以及不同地層模型下的探測特性進行考察，為儀器的設計制造和結構的優(yōu)化分析提供有效的依據(jù)。

1 電流勢算法

1．1 穩(wěn)流場的電流勢描述

理論上，場量描述標量勢和向量勢是等價的，電流勢屬于向量勢描述。定義J表示電流勢，其在極坐標中任意一點（r，z）的大小可以表示為［7］

式中，I為電源電流。

由式（1），考慮對井軸具有旋轉(zhuǎn)對稱性的情況，電流密度的r分量和z分量可以表述為

式（2）和式（3）是均勻介質(zhì)中點電極所形成電流密度，并且可以得到從點電源出發(fā)的任一直線上J為常數(shù)，即電流線和等J線一致。

二維直流電場中，求解區(qū)Ω內(nèi)滿足場強旋度為0，即

微分形式歐姆定律可以表示為

式中，ρ為介質(zhì)電阻率。

由式（2）至式（5）可得

式（6）就是電流勢方式描述下的直流電場控制微分方程。求解式（6）得到空間求解域各點的離散電流勢值，繪制電流勢的等值線圖即可得到測井儀器激勵在地層中真實的電流線分布圖，這也是電流勢法處理的優(yōu)勢所在。

1．2 電流勢方程的有限元法求解

在具有旋轉(zhuǎn)對稱的地層介質(zhì)中，求解域退化為子午面上的矩形區(qū)域。雙側(cè)向測井的求解域Ω中，電流勢在電極表面和絕緣環(huán)表面分別滿足的邊界條件

式中，n為邊界的法向單位向量；C為常數(shù)。

由式（6）以及電流勢所滿足的邊值條件可以將問題轉(zhuǎn)化為求泛函極值問題。泛函式

式中，Ω為求解域；Φ1（J）為求解區(qū)域的功率損耗之半；Φ2（J）為電極系提供的功率源［8］；UE為電極電壓；IE為電極電流。

由泛函表達式的積分特點，在程序中優(yōu)先選用矩形元素對求解域空間進行離散剖分。離散式（9）從而轉(zhuǎn)化為關于各個結點電流勢的二次函數(shù)。對該多元二次函數(shù)取極值可得到關于各結點Ji（i＝1，2，…，N）的代數(shù)方程組

式中，系數(shù)矩陣［P］具有電阻的量綱，Ji為各結點的電流勢；右端項Ui為各結點的電壓值。

求解式（10）就可以得到所需參數(shù)［9－10］。

2 數(shù)值模擬分析

2．1 儀器探測深度考察

由徑向積分幾何因子理論可知，側(cè)向測井的探測深度可以定義為徑向積分幾何因子為0．5時的圓柱體半徑，此時該無限厚圓柱體介質(zhì)對側(cè)向測井視電阻率的貢獻率為50%，視電阻率可以表示為

由式（11）可計算偽幾何因子

式中，Jx0（γ）為侵入半徑為γ時的偽幾何因子；Ra為視電阻率；Rxo為侵入半徑無窮大時的視電阻率；Rt為無侵入時原狀地層視電阻率。

地層模型參數(shù)為井眼直徑0．2032m；泥漿電阻率0．1Ω·m；侵入帶電阻率1Ω·m；原狀地層電阻率10Ω·m。在實際測井中通常要考慮儀器的組合使用，為了不使儀器的總體長度變長，可采取不對稱的電極系結構，此時必然會對儀器的探測特性造成影響。通過改變雙側(cè)向測井儀器最外側(cè)A2屏蔽電極和主電極A0的尺寸參數(shù)（見表1）考察儀器探測深度的變化規(guī)律。從圖1的偽幾何因子曲線可知，當A2屏蔽電極長度一定時，隨著主電極A0長度變短，深側(cè)向和淺側(cè)向的探測深度都變淺，且對深側(cè)向的影響更大；當A0電極長度保持不變時，隨著外側(cè)屏蔽電極A2長度的變小，深側(cè)向和淺側(cè)向的探測深度均減小，且對深側(cè)向探測深度影響更大。

表1 儀器外側(cè)屏蔽電極A2和主電極A0結構參數(shù)

圖1 偽幾何因子曲線

2．2 儀器分辨率考察

儀器分辨率主要通過2個方面進行考察，一是不同長度的A2外側(cè)屏蔽電極情形下儀器的分辨率；二是不同長度主電極A0情形下儀器的分辨率（尺寸參數(shù)見表1）。

地層模型參數(shù)為井眼半徑為0．1016m；泥漿電阻率0．1Ω·m；目的層電阻率10Ω·m；圍巖電阻率1Ω·m；目的層厚度由薄到厚依次為0．1524、0．3048、0．6096、0．762、1．524m。

圖2 Case1和Case2不同目的層厚的響應曲線圖

從圖2和圖3可以看出，改變電極A2和A0的長度對雙側(cè)向儀器的分辨率基本沒有影響。同樣，可以通過電流線的分布情況考察儀器的薄層識別特性。以Case1的深側(cè)向模式和淺側(cè)向模式為例，地層模型參數(shù)為井眼半徑0．1016m；泥漿電阻率1Ω·m；目的層電阻率10Ω·m；圍巖電阻率1Ω·m；目的層厚度0．6m。圖4和圖5中2條平行紅色虛線間的地層表示0．6m厚的薄層，從這2幅圖中可以看出，當?shù)貙雍穸刃∮?．6m時，不論是深側(cè)向還是淺側(cè)向，主電極均只有1條電流線進入目的層，過少的電流進入目的層導致無法獲取真實的地層信息，雙側(cè)向儀器對于薄層的識別失效。

圖3 Case1和Case3不同目的層厚的響應曲線圖

圖4 深側(cè)向薄層電流線分布圖

圖5 淺側(cè)向薄層電流線分布圖

2．3 不同地層模型下的電流線分布圖

非均質(zhì)無泥漿侵入地層模型，高背景圍巖，地層模型參數(shù)為井眼半徑0．1016m；泥漿電阻率1Ω·m；上下背景層電阻率100Ω·m；目的層電阻率1Ω·m；層厚取為0．6m。儀器結構參數(shù)使用表1中Case1的對稱電極系結構。從圖6中可以看出，① 目的層為薄層以及高圍巖背景層的情況下，深淺側(cè)向發(fā)射電極的電流線能夠流進目的層，可更加有效地測得薄層的電阻率，對低電阻率薄層進行識別；② 深側(cè)向的電流聚焦能力明顯好于淺側(cè)向。

圖6 高背景層電流線分布圖

非均質(zhì)有侵入地層模型，地層模型參數(shù)為井眼半徑0．1m；泥漿電阻率1Ω·m；上下背景層電阻率5Ω·m；侵入帶半徑0．5m。低侵時，侵入帶電阻率10Ω·m；目的層電阻率200Ω·m。高侵時，侵入帶電阻率50Ω·m；目的層電阻率2Ω·m；層厚取為3m。儀器結構參數(shù)使用表1中Case2的對稱電極系結構。

淺側(cè)向低侵和高侵情況下電流線分布如圖7所示。圖7中，① 在不同性質(zhì)地層的交界面處電流線會發(fā)生明顯的偏折，而且地層對比度越大，偏折程度越大，低侵時的偏折程度高于高侵，并且可以從電流線分布圖上直接識別出侵入帶半徑和地層層界面；② 電流線低侵時比高侵時發(fā)散的更快，聚焦能力更差，在徑向大于0．5m時電流線便開始回流，還有一部分電流直接流入低電阻的侵入帶而未進入原狀地層；③ 高侵時有較多的電流線流向目的層，在這種情況下可更加有效地測得目的層的電阻率。

圖7 淺側(cè)向電流線分布圖

2．4 三層地層模型的連續(xù)測井

三層地層模型參數(shù)為井眼半徑0．1016m；泥漿電阻率0．1Ω·m；上下圍巖電阻率1Ω·m；目的層電阻率20Ω·m；層界面位置為－2m和2m，無侵入模型。

針對上述模型，分別采用電流勢方式和電位勢方式計算連續(xù)測井響應曲線，計算結果如圖8所示。從圖8中可以看出，2種方式無論是深探測模式還是淺探測模式，測井響應曲線具有很好的一致性。

圖8 三層地層模型連續(xù)測井響應

雙側(cè)向電極系測井響應在層界面處通常會出現(xiàn)犄角現(xiàn)象。通過分別繪制儀器處于地層中心位置和層界面－1．5m位置時的淺探測模式電流線分布圖可以說明這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因（電流線分布情況見圖9和圖10）。儀器處于層界面－1．5m時電流線多數(shù)集中在該層界面以上，層界面以下電流線很少，整個電場分布呈不對稱形態(tài)，異常的電場分布形態(tài)可以很好地用來解釋犄角現(xiàn)象出現(xiàn)的原因。

圖9 儀器處于地層中心位置電流線分布圖

圖10 儀器處于－1．5m位置電流線分布圖

在數(shù)值模擬程序中，通常將參考電極N放在無限遠處。三層地層模型的模擬結果也將參考電極N放在了無限遠邊界上?，F(xiàn)考慮將參考電極N放置在有限遠處對電場形態(tài)進行考察，設置N電極在－33m處，地層模型同上述三層模型（電場分布情況見圖11）。從圖11中可以看出，主電極和屏蔽電極發(fā)射的電流都返回到參考電極N，電場分布的直觀描述可以解釋雙側(cè)向電極系測量時出現(xiàn)的格羅寧根和德雷伏影響等現(xiàn)象，這也是電流勢法相對于其他數(shù)值模擬算法的優(yōu)勢所在。

圖11 N電極處于有限遠時電流線分布圖

3 結 論

（1）應用電流勢法對常規(guī)雙側(cè)向電極系的探測特性進行分析。電流勢法不僅能夠給出儀器對地層的響應信息，同時能夠給出真實的電流線分布情況。

（2）相比較其他數(shù)值算法，電流勢法最大特點是能夠直觀描述電極系的電場特性，在分析模擬曲線特征和問題等方面具有一定的優(yōu)勢；可直觀地從電流線圖中獲取地層層界面，侵入半徑等信息，了解電流在不同地層模型中的流向；可通過計算并結合電流線分布圖的方式分析儀器的分辨率等信息，有效考察電極尺寸參數(shù)對雙側(cè)向儀器探測特性的影響，便于對儀器的結構進行合理的設計，從而改善儀器的探測特性。

（3）電流勢方法同樣也可以應用在其他側(cè)向類測井儀器中。

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