嚴(yán)今石

摘要：本文對(duì)人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)中“分?jǐn)?shù)與小數(shù)”部分在概念的教學(xué)以及教材結(jié)構(gòu)方面存在的問(wèn)題進(jìn)行了分析，并在此基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)和教材編寫(xiě)的角度，對(duì)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的教學(xué)提出一些有針對(duì)性的建議，進(jìn)而對(duì)教材中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)提出一些想法，力求使“分?jǐn)?shù)與小數(shù)”內(nèi)容教學(xué)更加科學(xué)，并對(duì)進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)教科書(shū)的功能提供參考。

關(guān)鍵詞：小學(xué)；數(shù)學(xué)教科書(shū)；分?jǐn)?shù)；小數(shù)

中圖分類號(hào)：G622.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）31-0281-02

一、引言

分?jǐn)?shù)歷來(lái)是在小學(xué)數(shù)學(xué)中既不易“教”也不易“學(xué)”的內(nèi)容。盡管教科書(shū)中對(duì)分?jǐn)?shù)的三種含義都提到了，但教育反饋的結(jié)果表明，大部分學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)完分?jǐn)?shù)之后，對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)還停留在其“份數(shù)”定義，而且并不了解小數(shù)、分?jǐn)?shù)、比的含義。這直接導(dǎo)致應(yīng)用這些概念去解決問(wèn)題帶來(lái)困難。因而，對(duì)目前教材中“分?jǐn)?shù)與小數(shù)”內(nèi)容的編寫(xiě)以及教材中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)進(jìn)行反思，針對(duì)不足提出編寫(xiě)建議，就顯得尤為迫切和必要。本文試從“分?jǐn)?shù)與小數(shù)的意義”的教學(xué)和“教材編寫(xiě)”兩個(gè)方面對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中概念教學(xué)進(jìn)行探討。

二、問(wèn)題的提出

1.在引入小數(shù)概念中存在的問(wèn)題。人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)中，對(duì)“小數(shù)”概念是通過(guò)十進(jìn)制分?jǐn)?shù)來(lái)建立的，通過(guò)舉例的方式，隨即進(jìn)行歸納，直接提出概念。如通過(guò)例子[1]，“把1米平均分成10份，每份是1分米。1分米是■米，還可以寫(xiě)成0.1米。把1米平均分成100份，每份是1厘米。1厘米是■米，還可以寫(xiě)成0.01米”，來(lái)說(shuō)明小數(shù)的意義，使學(xué)生知道“分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示”的事實(shí)。這里又是借助長(zhǎng)度單位，又是利用分?jǐn)?shù)的意義，說(shuō)的過(guò)于復(fù)雜。

實(shí)際意圖是想闡述“■還可以寫(xiě)成0.1，■還可以寫(xiě)成0.01”的規(guī)定，但最終還是沒(méi)有講清楚“十進(jìn)分?jǐn)?shù)為什么可以用小數(shù)來(lái)表示”的道理。這樣做，也許是因?yàn)榭紤]到這個(gè)年齡段孩子們的認(rèn)知能力，但這樣的定義方法就導(dǎo)致學(xué)生可能僅僅知道小數(shù)概念的外延，而無(wú)法理解引入小數(shù)概念的必要性，不能深刻地認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)。教材除了在教學(xué)小數(shù)意義時(shí)，借助計(jì)量單位的十進(jìn)關(guān)系（如長(zhǎng)度單位）來(lái)幫助學(xué)生理解外，講小數(shù)的性質(zhì)以及在練習(xí)中也安排了很多根據(jù)十進(jìn)制計(jì)量單位理解小數(shù)的實(shí)際意義的練習(xí)。其實(shí)，小數(shù)意義的理解要涉及到十進(jìn)分?jǐn)?shù)，雖然教科書(shū)中在前面安排了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”[2]，但是由于在初步認(rèn)識(shí)階段，對(duì)這些知識(shí)的介紹如“蜻蜓點(diǎn)水”、“一帶而過(guò)”，學(xué)生實(shí)際上對(duì)“分?jǐn)?shù)”的認(rèn)識(shí)很模糊，對(duì)小數(shù)教學(xué)來(lái)說(shuō)，對(duì)“什么叫分?jǐn)?shù)”還沒(méi)弄清楚，所以對(duì)用它來(lái)定義的小數(shù)就不易理解了。

2.分?jǐn)?shù)內(nèi)容教學(xué)中存在的問(wèn)題。分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，而分?jǐn)?shù)內(nèi)容的教學(xué)效果一直不太理想。原因何在？我想主要是因?yàn)闆](méi)有幫助學(xué)生弄清基本概念，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中的核心問(wèn)題，對(duì)它的理解和掌握，關(guān)系到學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)。事實(shí)上，概念本身有自己嚴(yán)密的邏輯體系。在一定條件下，一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。另一方面，概念作為人們反映客觀事物本質(zhì)屬性的術(shù)語(yǔ)，也是由于人們認(rèn)識(shí)的不斷深化而不斷發(fā)展變化的。例如，分?jǐn)?shù)定義，按人們認(rèn)識(shí)發(fā)展的順序，一般有四種情況。分別是份數(shù)定義、商定義、比定義和公理化定義[3]。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)“分?jǐn)?shù)”內(nèi)容，教科書(shū)上沒(méi)有處理好分?jǐn)?shù)概念教學(xué)的發(fā)展性和階段性之間的矛盾。

考慮到小學(xué)生的接受能力，結(jié)合兒童認(rèn)識(shí)事物的特點(diǎn)，小學(xué)教科書(shū)中側(cè)重從分?jǐn)?shù)的“份數(shù)定義”[4]、“商定義”[4]、“比定義”[5]這三個(gè)層次，分階段引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，運(yùn)用分?jǐn)?shù)。但是，教科書(shū)中存在從“份數(shù)定義”向“商定義”和“比定義”過(guò)渡過(guò)程中處理不夠到位、歸納不完整等一些問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)。

如教科書(shū)中，通過(guò)樣例1和樣例2來(lái)總結(jié)出“分?jǐn)?shù)與除法的互逆關(guān)系”，可是例1和例2都是關(guān)于等分物體的題，只能代表得出的結(jié)論對(duì)“等分除法”成立，而對(duì)除法的另一種實(shí)際應(yīng)用“包含除法”能否成立還得經(jīng)過(guò)驗(yàn)證。然而，教材中不僅避開(kāi)了這種情況的討論，在接下來(lái)講的例3（正好是“包含除法”題）里反而用上了此結(jié)論，而得出了另一個(gè)結(jié)論：“求一個(gè)量是另一個(gè)量的幾分之幾，可以用除法計(jì)算。[4]”對(duì)這樣的解釋，學(xué)生只能認(rèn)可而無(wú)法理解。這直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系”的了解只是停留在表面，沒(méi)有從根本上知道其內(nèi)涵，更不能作為分?jǐn)?shù)意義的進(jìn)一步擴(kuò)展來(lái)理解。這不但局限了分?jǐn)?shù)的價(jià)值，還給學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題造成阻礙。

三、對(duì)“小數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析

1.“小數(shù)”的本質(zhì)。目前，教材一般都從小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系著手，利用分?jǐn)?shù)來(lái)定義小數(shù)。從小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系來(lái)看，小數(shù)確實(shí)是分?jǐn)?shù)的一種，十進(jìn)分?jǐn)?shù)可以寫(xiě)成小數(shù)形式，但它并不是小數(shù)的本質(zhì)。從“數(shù)系的擴(kuò)展”角度來(lái)看，小數(shù)和分?jǐn)?shù)的引入都是計(jì)數(shù)單位的擴(kuò)展，即測(cè)量和計(jì)算以及分物時(shí)不能得到整數(shù)的結(jié)果，就得用更小的計(jì)數(shù)單位來(lái)表示和測(cè)量。其中，從整數(shù)擴(kuò)展成小數(shù)的具體依據(jù)是“十進(jìn)位值制記數(shù)原則”。在整數(shù)學(xué)習(xí)中，計(jì)數(shù)單位的擴(kuò)展，尤其是“位值”概念的建立，而且“十進(jìn)制計(jì)數(shù)”，為在建立小數(shù)概念、小數(shù)大小比較以及小數(shù)的運(yùn)算等方面進(jìn)行知識(shí)遷移提供了基礎(chǔ)。因此，小數(shù)的本質(zhì)在于“十進(jìn)位值制記數(shù)法”。

2.“分?jǐn)?shù)”的本質(zhì)。事實(shí)上，分?jǐn)?shù)是從兩種實(shí)際意義中產(chǎn)生的，因而具有兩種具體意義。一種是由測(cè)量而產(chǎn)生（對(duì)應(yīng)的除法為“包含除法”），另一種是由分物體而產(chǎn)生（對(duì)應(yīng)的除法為“等分除法”），還有在理論層面上是由數(shù)學(xué)發(fā)展的需要而產(chǎn)生的（即除法運(yùn)算得不到整數(shù)的結(jié)果時(shí)需要用新的數(shù)來(lái)表示）。分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于“能夠表示不能整除情形下平均分以后得到的那個(gè)結(jié)果的大小”，即a能整除b（a，b都是自然數(shù)，a≠0）時(shí)，其商是整數(shù)；不能整除時(shí)，其商就是新的數(shù)，我們稱它為分?jǐn)?shù)。因此，分?jǐn)?shù)的明確定義，就是兩個(gè)自然數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商。因而，分?jǐn)?shù)教學(xué)就需要盡快從“份數(shù)定義”過(guò)渡到“商定義”。所謂“份數(shù)”定義只是初步認(rèn)識(shí)時(shí)的過(guò)渡說(shuō)法，至于“比”定義則是商定義的引申，其價(jià)值在于可用它來(lái)定量研究?jī)蓚€(gè)以上事物在量方面的結(jié)構(gòu)關(guān)系。

四、對(duì)“小數(shù)”定義的對(duì)策和對(duì)“分?jǐn)?shù)”定義及其教學(xué)的建議

1.對(duì)“小數(shù)”定義的對(duì)策?；谇懊嫠岬降膯?wèn)題和以上的探討，筆者認(rèn)為可以將整數(shù)中十進(jìn)制計(jì)數(shù)、位值概念的建立等基本構(gòu)造思想和擴(kuò)展長(zhǎng)度單位時(shí)所用過(guò)的定義方法遷移過(guò)來(lái)定義小數(shù)。即當(dāng)要表示不是整數(shù)的數(shù)值時(shí)，也可以用“把原來(lái)計(jì)數(shù)單位1平均分成10份后得到的每份”來(lái)計(jì)數(shù)。這個(gè)新的計(jì)數(shù)單位用“0.1”來(lái)表示，并讀作“零點(diǎn)一”，依此類推就可以得到0.01，0.001，……等其他小數(shù)單位。

這樣，避開(kāi)分?jǐn)?shù)來(lái)定義小數(shù)對(duì)“分?jǐn)?shù)”教學(xué)也有好處。因?yàn)榻炭茣?shū)中將“分?jǐn)?shù)”的初步認(rèn)識(shí)安排在三年級(jí)上冊(cè)，其目的就是為了建立小數(shù)概念，然后分?jǐn)?shù)的系統(tǒng)教學(xué)是安排在五年級(jí)下冊(cè)里。這樣由于兩個(gè)階段相距時(shí)間較長(zhǎng)（正好兩年半），給學(xué)生的理解和記憶造成了一定困難。此外，由于分?jǐn)?shù)的“產(chǎn)生和含義”都放在了第二階段上，所以系統(tǒng)學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)了不必要的重復(fù)。對(duì)概念下定義的過(guò)程，是對(duì)概念本質(zhì)特征的一種歸納鞏固過(guò)程。對(duì)于抽象的概念，過(guò)早的下定義，等于是索然無(wú)味的簡(jiǎn)單灌輸，但定義下得太遲，又使學(xué)生的已有知識(shí)呈現(xiàn)零亂狀態(tài)，不能及時(shí)地整理和總結(jié)，更不利于概念的定型化。

2.對(duì)“分?jǐn)?shù)”定義及其教學(xué)的建議。筆者認(rèn)為，關(guān)于“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)，既要重視概念的階段性，又要注意到概念發(fā)展的連續(xù)性，要有計(jì)劃地發(fā)展概念的含義，按階段發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力。因此，建議強(qiáng)調(diào)“分?jǐn)?shù)與除法的等價(jià)性”，講解更透徹一點(diǎn)，使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到“分?jǐn)?shù)與除法可以互逆，可以看作同一種運(yùn)算”。對(duì)上面提出的問(wèn)題，把例3改成“10只是7只的幾倍？”和“7只是10只的幾分之幾？”的兩個(gè)小題來(lái)，說(shuō)明“分?jǐn)?shù)與除法的等價(jià)性”對(duì)包含除法也成立，至于“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，可以用除法計(jì)算”的道理，可以利用它們之間的對(duì)稱關(guān)系來(lái)解釋如下：“求10只是7只的幾倍，就是求10里包含多少個(gè)7，所以要算10÷7得多少”。同樣，“求7只是10只的幾分之幾，就是求7里包含多少個(gè)10，這里因?yàn)?比10小，不能把整個(gè)10都包含，但可以包含10的一部分，所以要算7÷10得多少”，在這基礎(chǔ)上對(duì)除法的兩種情況進(jìn)行全面地歸納，得出結(jié)論才符合邏輯，學(xué)生也可以接受。而對(duì)數(shù)學(xué)概念不注重引入，只是簡(jiǎn)單舉個(gè)例子，找出規(guī)律，將概念直接提出來(lái)的做法是不科學(xué)的，不利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

五、結(jié)束語(yǔ)

在小學(xué)階段，分?jǐn)?shù)與小數(shù)概念是非常重要的數(shù)概念，由于分?jǐn)?shù)與自然數(shù)有著較大的差異，學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)概念比較困難，如果教科書(shū)中只是給出了抽象的定義，學(xué)生即便是了解了分?jǐn)?shù)和小數(shù)的外延，也不一定懂它們的本質(zhì)，對(duì)分?jǐn)?shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、延伸、變化，更沒(méi)有清楚的認(rèn)識(shí)。因而，在編寫(xiě)教材時(shí)，不妨去對(duì)潛藏在分?jǐn)?shù)與小數(shù)概念中的思想作充分的分析，使得學(xué)生掌握概念最核心、最本質(zhì)的特征。這樣，能通過(guò)概念教學(xué)，讓學(xué)生把握分?jǐn)?shù)與小數(shù)的本質(zhì)，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想，從而使得分?jǐn)?shù)與小數(shù)的教學(xué)取得更好的效果。

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