王海英 楊筱珊 何挺

摘要：類比策略是一種間接推理的方法，也是一種常見而重要的數(shù)學(xué)思想方法，本文研究了類比策略在多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：類比策略;多元隱函數(shù);偏導(dǎo)數(shù)

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2015）46-0193-02

類比是一種間接推理的方法，是一種常見而重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種科學(xué)研究方法.數(shù)學(xué)中的類比策略是指，為了解決數(shù)學(xué)問題B，運(yùn)用與B有某些類似特征的數(shù)學(xué)問題A，推測(cè)出問題A、B可能有某些類似的結(jié)論，可以用解決問題A辦法去解決問題B.

關(guān)于一元隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的研究成果有很多[1-6]，比如，文[1]給出了一元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的一種方法：方程兩邊直接關(guān)于自變量求導(dǎo).文[2]又給出了求一元隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的另外兩種方法：顯化法、微分法.多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，下面就具體說明類比策略在多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用.

一、通過例題復(fù)習(xí)回顧一元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法

例1 求由方程x2+y=1所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解 （一）顯化法

由x2+y=1，得y=1-x2，則y'=-2x.

（二）方程兩邊直接關(guān)于自變量求導(dǎo)法

將方程x2+y=1兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并把y看作復(fù)合函數(shù)，得2x+y'=0，則y'=-2x.

（三）微分法

對(duì)方程x2+y=1兩邊同時(shí)求微分，得2xdx+dy=0，

則

二、類比策略講解多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)

一般地，如果x，y，z滿足一個(gè)方程f（x，y，z）=0，并且在一定條件下，當(dāng)x，y取某區(qū)域內(nèi)的任一組值時(shí)，總存在唯一的z值滿足方程f（x，y，z）=0，則稱方程f（x，y，z）=0在該區(qū)域內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù).從而我們就可以類比一元隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法：顯化法、微分法、方程兩邊直接關(guān)于自變量求導(dǎo)法，去求由方程f（x，y，z）=0所確定的二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

例2 求由方程ex=xyz所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

分析

解 （一）顯化法

由ex=xyz，得

（二）方程兩邊直接關(guān)于自變量求導(dǎo)法

將方程ex=xyz兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并把z看作復(fù)合函數(shù)，得e=y（z+xz'x），

將方程ex=xyz兩邊對(duì)y求導(dǎo)，并把z看作復(fù)合函數(shù)，得0=x（z+yz'y），

（三）微分法

對(duì)方程ex=xyz兩邊同時(shí)求微分，得

exdx=yzdx+xzdy+xydz

對(duì)于多元隱函數(shù)情形，也可以應(yīng)用類比方法求解其偏導(dǎo)數(shù).

例3 求由方程組x=rcosθy=rsinθ所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)r'x，r'y，θ'x，θ'y.

解 （一）顯化法

由x=rcosθy=rsinθ，得x=，則

（二）方程兩邊直接關(guān)于自變量求導(dǎo)法

將方程組x=rcosθy=rsinθ兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并把r，θ看作復(fù)合函數(shù)，得

1=r'xcosθ-rsinθθx'0=r'xsinθ+rcosθθx'，

將方程組x=rcosθy=rsinθ兩邊對(duì)y求導(dǎo)，并把r，θ看作復(fù)合函數(shù)，得

（三）微分法

對(duì)方程組x=rcosθy=rsinθ兩邊同時(shí)求微分，

得 ?dx=cosθdr-rsinθdθdy=sinθdr+rcosθdθ

解得

所以

三、總結(jié)

知識(shí)的類比，實(shí)際上也就是新舊知識(shí)的遷移;方法的類比，也就是對(duì)知識(shí)的歸納與總結(jié)[7].數(shù)學(xué)教學(xué)中若能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用類比策略，不僅能突出問題的本質(zhì)，而且往往能使學(xué)生達(dá)到啟發(fā)思路、觸類旁通、舉一反三的效果，從而提高教學(xué)質(zhì)量，同時(shí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力等思維品質(zhì)，提高認(rèn)識(shí)問題和解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

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