喬曉玲,邵燕靈

(中北大學(xué) 理學(xué)院,山西 太原,030051)

1 相關(guān)知識(shí)與理論

符號(hào)模式矩陣是元素取自集合{0,+,-}的矩陣,簡(jiǎn)稱(chēng)符號(hào)模式,其中“+”代表正元素,“-”代表負(fù)元素。對(duì)于給定的實(shí)矩陣 B=(bij),由B中的每個(gè)元素 bij的符號(hào)所確定的矩陣A稱(chēng)為B的符號(hào)模式,記為sgn(B)。 Q(A)={ B=(bij)|sgn(B)=A}稱(chēng)為由A決定的定性矩陣類(lèi),表示所有與A有相同符號(hào)模式的實(shí)矩陣的集合。

定義1[1]令 S=(sij)和A=(aij)是2個(gè)n階符號(hào)模式矩陣,如果當(dāng) aij≠0 時(shí),sij=aij,則稱(chēng) S=(sij)是 A=(aij)的母模式,A=(aij)是S=(sij)的子模式。如果A≠S,則稱(chēng)A是S的真子模式。

定義2[1]設(shè)A為1個(gè)n階符號(hào)模式矩陣,如果存在B∈Q(A)和正整數(shù)k,滿(mǎn)足Bk=0,而B(niǎo)k-1≠0。則稱(chēng)A蘊(yùn)含冪零,其中B為冪零矩陣。

定義3[2]對(duì)于n階符號(hào)模式矩陣A,若每一個(gè)矩陣B∈Q(A)是奇異的,則稱(chēng)A是符號(hào)奇異的; 若任一矩陣B∈Q(A)是非奇異的,則稱(chēng)A是符號(hào)非奇異的。

定義4[2]如果 f(x)為任意給定的一個(gè)n次首一實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,A為n階符號(hào)模式矩陣,若滿(mǎn)足特征多項(xiàng)式等于f(x)的實(shí)矩陣P存在,且P∈Q(A),則稱(chēng)符號(hào)模式矩陣A為譜任意的。若A的任意一個(gè)真子模式都不是譜任意的,那么A是極小譜任意的。

引理1(冪零–雅可比方法)[3]A為n階符號(hào)模式矩陣,如果符號(hào)模式A蘊(yùn)含冪零矩陣B∈Q(A),

文獻(xiàn)[1]中介紹了目前關(guān)于符號(hào)模式矩陣研究的基本定義及定理。最早由文獻(xiàn)[2]給出了符號(hào)模式矩陣的概念,冪零–雅可比方法也是在該文獻(xiàn)中提出的,并給出了如何用冪零–雅可比方法來(lái)證明一個(gè)符號(hào)模式矩陣及其母模式都是譜任意的。文獻(xiàn)[3–9]對(duì)符號(hào)模式矩陣的譜任意進(jìn)行了深入的研究。

2 主要結(jié)果

定理1 當(dāng) 6n≥時(shí),符號(hào)模式A是蘊(yùn)含冪零的。

證明 任取實(shí)矩陣()Q∈B A,設(shè)B的形式如下:將上述行列式中第i行的x倍加到第 i+1 行,i=1,2,…,n-4,再按第2,3,…,k-1,k+ 1,…,n-3列展開(kāi),可得

定理2 當(dāng) 6n≥時(shí),符號(hào)模式A及其所有母模式都是譜任意的。

證明 由定理1知

由引理1知,符號(hào)模式A及其所有母模式都是譜任意的。

定理3 當(dāng) n≥6 時(shí),符號(hào)模式A是極小譜任意的。

證明 設(shè) T=(tij)n×n是A的一個(gè)真子模式,且T是譜任意的。

(1)tn-2,n-2≠0,否則T的跡為負(fù),與T是譜任意相矛盾;

(2)ti,i+1≠0(i=1,2,…,k-2,k,…,n-1),否則T是符號(hào)奇異的,與T是譜任意相矛盾;

(3)tk-1,k≠0,否則T是符號(hào)非奇異的,與T是譜任意相矛盾;

(4)ti,1≠0(i=1,2,…,n-3,n-1,n),tn,k≠0,否則不存在B∈Q(A)是冪零矩陣,與T是譜任意矛盾。綜合以上可知A是極小譜任意的。

[1]Leslie H.Handbook of linear algebra [M].Bocaraton:CRC Press,2007.

[2]Drew J H,Johnson C R,Olesky D D,et al.Spectrally arbitrary patterns [J].Linear Algebra and Its Applications,2000,308:121–137.

[3]Britz T,Mcdonald J J,Olesky D D,et al.Minimally spectrally arbitrary sign patterns[J].SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications,2004,26(1):257–271.

[4]Mcdonald J J,Olesky D D,Tsatsomeros M J,et al.On the spectra of striped sign patterns [J].Linear and Multilinear Algebra,2003,51(1):39–48.

[5]Cavers M S,Vander Meulen K N.Spectrally and inertially arbitrary sign patterns [J].Linear Algebra and Its Applications,2005,394:53–72.

[6]Gao Yu-bin,Shao Yan-ling.A spectrally arbitrary pattern [J].Advances in Mathematics,2006,35(5):551–555.

[7]Gao Yu-bin,Shao Yan-ling,Li Zhong-shan.A note on spectrally arbitrary sign patterns [J].JP Journal of Algebra,Number Theory and Applications,2008,11:15–35.

[8]Gao Yu-bin,Shao Yan-ling.New classes of spectrally arbitrary ray patterns [J].Linear Algebra and Its Applications,2011,434:2 140–2 148.

[9]Bergsma H,Kevin N,Vanderm,et al.Potentially nilpotent patterns and the Nilpotent-Jacobian method [J].Linear Algebra and Its Applications,2012,436:4 433–4 445.