梅曉玲，謝承榮 （鄖陽師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，湖北 十堰442000）

保加利亞學(xué)者K.T.Atanassov在1999年將僅考慮隸屬度的Zadeh模糊集［1］推廣到同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度3個(gè)方面，提出了直覺模糊集［2］的概念。相比模糊集，直覺模糊集更能形象描述與刻畫現(xiàn)實(shí)生活中的許多不確定性問題，受到學(xué)者們的關(guān)注和重視，并取得了不少研究成果。但如何深刻地認(rèn)識模糊不確定性的本質(zhì)，并且客觀地用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來研究模糊問題中的不確定性是要深入研究的課題。聯(lián)系數(shù)［3］可用于處理模糊、隨機(jī)、中介和信息不完全所致不確定性問題，聯(lián)系數(shù)理論為研究模糊問題中的不確定性提供新的思路。以聯(lián)系數(shù)為工具研究直覺模糊集的關(guān)鍵是聯(lián)系數(shù)中i的取值問題，筆者在已有的i的取值方法基礎(chǔ)上，利用IF點(diǎn)算子提出新的i的取值方法。

1 聯(lián)系數(shù)的概念

聯(lián)系數(shù)是把給定范圍內(nèi)確定性和不確定性聯(lián)系起來的一種數(shù)，其把不確定性與確定性作為一個(gè)整體，系統(tǒng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)處理和辨證分析。聯(lián)系數(shù)的定義式為：

在聯(lián)系數(shù)μ的定義式中，i和j有雙重意義［4，5］。

第1個(gè)含義是稱j為對立系數(shù)。j在計(jì)算時(shí)、取j＝－1；i稱為差異系數(shù)，i∈［－1，1］且是不確定取值。a稱為同一數(shù)（同一度），b稱為差異數(shù)（差異度），c稱為對立數(shù)（對立度），分別是關(guān)于所研究的對象系統(tǒng)的同一性測度、差異性測度和對立性測度。聯(lián)系數(shù)的意義在于把研究對象的同一性測度（同一數(shù)）、差異性測度（差異數(shù)）和對立性測度（對立數(shù)）聯(lián)系在一起，組成一個(gè)同異反系統(tǒng)。在聯(lián)系數(shù)意義下，不僅在宏觀上有a＋b＋c＝1這一約束，而且由于j＝－1，i∈［－1，1］同時(shí)又刻劃出a，b，c在微觀層次上的互相聯(lián)系，互相滲透，因而具有豐富的系統(tǒng)信息。第2個(gè)含義是不計(jì)較i和j的取值情況，此時(shí)僅起標(biāo)記的作用。關(guān)于聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算法則，這里只列舉筆者研究所需要的加法、數(shù)乘運(yùn)算及大小比較［4］。

1）加法運(yùn)算：

2）常數(shù)與聯(lián)系數(shù)的乘積：

3）大小比較方法。設(shè)u1＝a1＋b1i＋c1j，u2＝a2＋b2i＋c2j，則：

若i∈I?［－1，1］時(shí)，u1－u2＞0，則在i∈I這個(gè)范圍內(nèi)有u1＞u2。同理，u1－u2＜0時(shí)，u1＜u2。

2 聯(lián)系數(shù)與直覺模糊數(shù)的關(guān)系

聯(lián)系數(shù)與直覺模糊數(shù)關(guān)系密切，在概念、組織形式、應(yīng)用上有所不同，但在研究刻畫不確定系統(tǒng)時(shí)有著異曲同工之妙［6］。

聯(lián)系數(shù)μ＝a＋bi＋cj（a＋b＋c＝1），只考慮了離散型且為有限的情況，現(xiàn)在將其推廣到一般的離散與連續(xù)情形。

對于i∈［－1，1］，i＝－1，i、j僅起標(biāo)記作用時(shí)可以用類似于“內(nèi)積”的運(yùn)算求得μ，即：

用閉區(qū)間［0，1］上的2個(gè)函數(shù)μA（x），νA（x）分別表示論域X上的任意元素x對問題A的支持和反對的證據(jù)，即為聯(lián)系數(shù)表達(dá)式中的同一度與對立度，且滿足μA（x）＋νA（x）≤1；函數(shù) πA（x）＝1－μA（x）－μA（x）為元素x支持A與否的不確定程度，現(xiàn)為聯(lián)系數(shù)表達(dá)式中的差異度，由此聯(lián)系數(shù)與直覺模糊數(shù)結(jié)合起來，表達(dá)式可改寫為：

其中，μA（x）＋πA（x）＋νA（x）＝1，πA（x）可以由μA（x），νA（x）確定，即由同一度和對立度來確定差異度（不確定度）。

用表達(dá)式μ（A）＝μA（x）＋πA（x）i＋νA（x）j來表達(dá)元素x符合A的隸屬程度，將聯(lián)系數(shù)和直覺模糊數(shù)進(jìn)一步結(jié)合，結(jié)合的過程可以說明聯(lián)系數(shù)是直覺模糊（IFS）理論的擴(kuò)展，而直覺模糊（IFS）是聯(lián)系數(shù)的又一種形式。

3 聯(lián)系數(shù)新的取值方法

聯(lián)系數(shù)表達(dá)式μ（A）＝a＋bi＋cj辨證且系統(tǒng)地描述了不確定性，表達(dá)式中不確定項(xiàng)bi的給出是關(guān)鍵之處，在一定的條件下用其來對“棄權(quán)”這種不確定性進(jìn)行分解，這里i的取值將棄權(quán)中的同一與對立分離出來，定量分析其中的贊同、反對的程度。

直覺模糊集中的猶豫指數(shù)πA（x）＝1－μA（x）－νA（x）為x支持A與否的不確定程度，也為聯(lián)系數(shù)表達(dá)式中的差異度。直覺模糊集的3個(gè)構(gòu)成指標(biāo)用投票模型來解釋即為贊成、反對和棄權(quán)，這里棄權(quán)所造成的不確定性對決策的結(jié)果會產(chǎn)生直接影響，所以考慮將棄權(quán)部分的信息盡可能準(zhǔn)確化，由此思考利用IF點(diǎn)算子［7］對“棄權(quán)”問題進(jìn)行深度挖掘與剖析，提高決策的準(zhǔn)確性，降低模糊指標(biāo)的不確定性對決策帶來的影響。

將一直覺模糊集A轉(zhuǎn)化為帶有如下直覺指數(shù)：

從而得到新的贊成、反對和棄權(quán)票的比例分別為μA（x）＋αuπA（x），νA（x）＋βuπA（x）和（1－αu－βu）πA（x）。這里，對任意A∈IFS（U），αu，βu∈ ［0，1］，且αu＋βu＜1。

顯然對任意x∈U，有≤πA（x），對A∈IFS（U），若記：

則：

進(jìn)一步有：

推廣到一般情形，對任意正整數(shù)n有：

由上面的分析可以得到聯(lián)系數(shù)表達(dá)式中i的取值方法：

則得到新的聯(lián)系數(shù)取值方法，即：

這里得到的新的i的取值方法中，若取n＝1，αu＝μA（u），βu＝νA（u）時(shí)，取值結(jié)果與順勢取值法［7］相同。

一般地?。?/p>

也即x符合A的隸屬程度：

4 實(shí)例分析

例1（空調(diào)系統(tǒng)選擇問題［8］） 假設(shè)有3種空調(diào)系統(tǒng)（方案）a1、a2、a3，在選擇過程中需要考慮3種屬性：u1代表經(jīng)濟(jì)屬性，u2代表功能，u3代表有效性。已知決策矩陣如表1所示，屬性權(quán)重為w1＝0.4751，w2＝0.2786，w3＝0.2463。

表1 決策矩陣～X

由聯(lián)系數(shù)的概念，利用筆者提出的i的取值方法?。?/p>

將各方案的直覺模糊屬性值由式（1）轉(zhuǎn)化為聯(lián)系數(shù)值，然后將得到的各屬性聯(lián)系數(shù)值加權(quán)求和：

由聯(lián)系數(shù)的大小方法可知方案的排序?yàn)椋?/p>

該結(jié)果與文獻(xiàn)［6］的結(jié)果相同，但比較這2種方法的計(jì)算過程，筆者提出的方法大大簡化了計(jì)算過程，減小了計(jì)算量，快速準(zhǔn)確。

5 結(jié)語

以聯(lián)系數(shù)為工具研究不確定性問題的關(guān)鍵是聯(lián)系數(shù)中i的取值問題，筆者提出的聯(lián)系數(shù)的取值方法對直覺模糊集的猶豫度（不確定性）進(jìn)行了更準(zhǔn)確、更細(xì)致的挖掘，不確定性問題的準(zhǔn)確性得到進(jìn)一步提高。但如何深刻地認(rèn)識模糊不確定性的本質(zhì)，對不同類型的不確定性問題選擇合適的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行精確與量化需要更進(jìn)一步的深入研究。

［1］Zadeh L A.Fuzzy sets［J］.Inform and Control，1965，8（3）：338～353.

［2］Atanassov K T.Intuitionistic fuzzy sets ［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20：87～96.

［3］趙克勤 .集對分析及其應(yīng)用 ［M］.杭州：浙江科學(xué)技術(shù)出版社，1992：68～80.

［4］趙克勤 .聯(lián)系數(shù)及其應(yīng)用 ［J］.吉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1996，17（8）：50～53.

［5］王堅(jiān)強(qiáng) .幾類信息不完全確定的多準(zhǔn)則決策方法研究 ［J］.長沙：中南大學(xué)，2005.

［6］Deschrijver G，Kerre E.on the relationship between some extensions of fuzzy set theory ［J］.Fuzzy Sets and Systems，2003，133：227～235.

［7］Li Dengfeng.Multiattribute decision making models and methods using intuitionistic fuzzy sets ［J］.Journal of Computer and System Sciences，2004，70（1）：73～85.

［8］徐澤水 .不確定多屬性決策方法及應(yīng)用 ［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004：58～63.