俞求是

1 “基本不等式”的名稱問題

一個(gè)概念或方法的命名是一件重要的事.萬物始于無名.命名就是指運(yùn)用各種方法把人或物指定一個(gè)便于識(shí)別區(qū)分的名稱.所以，命名是一件重要的事.勾股定理的命名就曾經(jīng)在我國(guó)數(shù)學(xué)教育界認(rèn)真地討論過，最后確定為現(xiàn)在的名稱，這個(gè)名稱比較好地反映了中外數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的實(shí)際情況.

關(guān)于“基本不等式”的名稱，目前《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》規(guī)定把不等式：a+b2≥ab稱為“基本不等式”.當(dāng)然，作為國(guó)家文件進(jìn)行規(guī)定，對(duì)一個(gè)不等式進(jìn)行命名當(dāng)然是可以的.不過，從教學(xué)研究的角度來看，從名稱的使用角度看，雖然這個(gè)不等式確實(shí)已經(jīng)很基本了，但如果作比較，卻還有更基本的不等式，如|x|≥0，x2≥0，a2+b2≥2ab等.由于這些原因，這個(gè)不等式的名稱問題應(yīng)該還可以商榷、討論.如果給以上不等式進(jìn)行命名，能夠使聽眾立刻明白所指的不等式是哪個(gè)，考慮到與此基本結(jié)論相關(guān)的一般形式不等式普遍稱為算術(shù)平均-幾何平均不等式（一般簡(jiǎn)稱均值不等式），以上不等式稱為“基本（或二元）算術(shù)平均-幾何平均不等式”，簡(jiǎn)稱“基本（或二元）均值不等式”是比較準(zhǔn)確的名稱.實(shí)際上，由于一般形式的均值不等式包括了各個(gè)具體均值不等式，大多數(shù)情況下，在應(yīng)用中直接稱均值不等式也并不會(huì)引起混淆，從邏輯上說這樣稱呼也是嚴(yán)格的.例如，東北師范大學(xué)朱顯海教授在《中學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)論·代數(shù)2》（人民教育出版社1992年7月第1版，第34頁(yè)）就直接稱以上不等式為幾何平均-算術(shù)平均不等式，并指出可以推廣到一般形式.其他一些《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)辭典》也一般稱以上不等式為平均不等式，有的指出是基本不等式之一.由高等教育出版社出版《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組編的《數(shù)學(xué)手冊(cè)》也沒有用基本不等式的名稱.

基本不等式的名稱并不通用.有一本講不等式的課外讀物《不等式啟蒙》（遼寧教育出版社1985年8月第1版）的內(nèi)容提要中提到有“基本不等式”這一詞，是這樣說的：“本書是為高中學(xué)生和中學(xué)數(shù)學(xué)教師寫的課外讀物.書中提出了八個(gè)基本不等式，即算術(shù)-幾何平均不等式、荷爾德不等式、閔可夫斯基不等式、楊格不等式、貝努里不等式、哥西不等式、幾何-調(diào)和不等式和冪平均不等式.并詳細(xì)討論了它們之間的關(guān)系.”這里說的基本不等式有8個(gè).另外見到一些早年的數(shù)學(xué)手冊(cè)則把不等式的基本性質(zhì)稱做基本不等式.所以基本不等式的名稱要統(tǒng)一并不容易.實(shí)際上，一個(gè)事物算不算基本，在不同的場(chǎng)合，不同的人員眼里，其標(biāo)準(zhǔn)是不同的.既然意見這樣不好統(tǒng)一，是否就不要用這個(gè)名稱.一個(gè)名稱，

如果很多年后，人們?nèi)匀徊粫?huì)混淆，那么這個(gè)名稱就是合適的.可以作一個(gè)調(diào)查，問畢業(yè)已經(jīng)若干年的高中畢業(yè)生，讓他們回答“請(qǐng)你寫出在高中數(shù)學(xué)課中所學(xué)的有一個(gè)叫做‘基本不等式的結(jié)論”，相信能夠得到對(duì)于這個(gè)問題有價(jià)值的一些參考信息.

實(shí)際上，在我國(guó)以前的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書，對(duì)于以上算術(shù)平均和幾何平均之間關(guān)系的不等式，一直只給出結(jié)論，沒有稱其為基本不等式，這應(yīng)該不是偶然現(xiàn)象.隨機(jī)查閱一些關(guān)于不等式的著作，如嚴(yán)鎮(zhèn)軍的《不等式》（人民教育出版社出版1990年3月）、張弛的《不等式》（上海教育出版社1963年12月第1版，1979年5月第7次印刷）等書，都沒有用“基本不等式”這個(gè)名稱.

作教材比較，以上不等式的命名，目前幾個(gè)版本的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書并不一致，也說明以上的命名確實(shí)值得討論，《人教B版》稱這個(gè)不等式為“基本不等式或平均值不等式”.《北師大版》在這一節(jié)的標(biāo)題是“平均值不等式”，但在此不等式給出之后，并沒有給以命名.《湖南教育版》則把這個(gè)不等式和另外一個(gè)不等式合稱“基本不等式”.

徐利治教授和王興華教授的《數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講（修訂版）》（高等教育出版社）稱其為“平均值定理”：若干個(gè)正數(shù)的幾何平均值必不大于它們的算術(shù)平均值.一個(gè)不等式形式的數(shù)學(xué)結(jié)論用文字語(yǔ)言表述得非常簡(jiǎn)明.

綜合以上情況，對(duì)于這個(gè)不等式的命名，建議在《教學(xué)參考書》中指出這個(gè)不等式一些常用的命名方式，采用比較靈活的方式，以不引起混淆為宜.

2 是“三角不等式”還是“三角形不等式”

目前，在各個(gè)不同版的《不等式選講》中對(duì)形如：

的一種類型的不等式的名稱還不統(tǒng)一.

稱其為三角不等式的有：人教A版，人教B版；稱其為三角形不等式的有：蘇教版，另外，北師大版在習(xí)題中涉及這個(gè)不等式，但不涉及名稱；湘教版在“閱讀與思考”中涉及此不等式，其中出現(xiàn)兩種不同的名稱.

參考另外一些數(shù)學(xué)教學(xué)著作：

王岳庭、周煥山、李長(zhǎng)明著《初等數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》、嚴(yán)鎮(zhèn)軍著《不等式》稱三角形不等式；

由高等教育出版社出版，《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組編的《數(shù)學(xué)手冊(cè)》第22頁(yè)指出：閔可夫斯基不等式的特例之一就是三角形不等式.

由文麗譯，E.貝肯巴赫和R.貝爾曼著，北京大學(xué)出版社出版的美國(guó)新數(shù)學(xué)叢書之一《不等式入門》（第73頁(yè)）有專門的一節(jié)“三角形不等式”.

張福生、趙國(guó)禮著《解不等式》指出：未知數(shù)含于三角函數(shù)中的不等式稱為三角不等式；

鄭啟明、謝庭藩、張奠宙、趙振威等主編《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)辭典》（P242）指出，含有三角函數(shù)的不等式稱為三角不等式.

根據(jù)上面的分析知，數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界一般根據(jù)其本身的特點(diǎn)，稱上述不等式為三角形不等式，而稱其為三角不等式就與《三角學(xué)》中的一些不等式混淆起來了.

所以，筆者認(rèn)為，在課程標(biāo)準(zhǔn)和教材修訂中應(yīng)該對(duì)這個(gè)不等式的名稱作修訂，修訂為三角形不等式.

另外，在不引起混淆的前提下（如在日常課堂教學(xué)口語(yǔ)中），簡(jiǎn)稱其為三角不等式也不失為一種省力、省時(shí)的選擇.而在書面表達(dá)中還是以嚴(yán)守規(guī)范為妥.