教學(xué)內(nèi)容：人教版義務(wù)教育教科書五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第七單元“數(shù)學(xué)廣角”。

教材分析：

“數(shù)學(xué)廣角”這一單元主要是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中一些常見的實(shí)際問(wèn)題向?qū)W生滲透有關(guān)植樹問(wèn)題的一些思想方法，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，抽象出數(shù)學(xué)模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解決生活中的一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。

“植樹問(wèn)題”通常是指沿著一定的路線植樹，這條路線的總長(zhǎng)度被樹平均分成若干間隔，由于路線不同、植樹要求不同，路線被分成的間隔數(shù)和植樹棵數(shù)之間的關(guān)系就不同。植樹問(wèn)題可以分為這樣幾種類型：在一條線段植樹，可分為兩端栽、兩端不栽、一端栽三種情況；另一類型是在一條首尾相接的封閉曲線上植樹（如長(zhǎng)方形、正方形或是圓形等等）。教材中例1探討的是先畫出形象的線段圖，然后抽象成線段圖表示兩端都栽樹的情況，例2通過(guò)遷移呈現(xiàn)出兩端都不栽樹的情況，例3是引導(dǎo)學(xué)生理解在一條首尾封閉的曲線上植樹的的問(wèn)題。一端植樹在書中以練習(xí)題形式出現(xiàn)。

學(xué)情分析：

1.學(xué)生已經(jīng)掌握了萬(wàn)以內(nèi)的口算、筆算的計(jì)算方法。

2.學(xué)生能通過(guò)觀察、操作等實(shí)踐活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論。具備了一定的分析綜合、抽象概括、歸類梳理等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，正確判斷類型是解題關(guān)鍵。由于學(xué)生初次接觸在一條線段上植樹（兩端都栽、兩端都不栽、一端栽）情況，在判斷時(shí)會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題，一邊栽樹可能會(huì)當(dāng)成兩旁栽樹。

教學(xué)目標(biāo)：

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中關(guān)于第二學(xué)段目標(biāo)有以下闡述：“應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程?！薄疤角蠼o定事物中隱含的規(guī)律或變化趨勢(shì)?！备鶕?jù)課標(biāo)相關(guān)要求，以及對(duì)教材的理解和分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：

1.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)，理解間隔數(shù)與植樹棵數(shù)之間的關(guān)系，并能應(yīng)用規(guī)律來(lái)解決簡(jiǎn)單的植樹問(wèn)題。

2.借助小組合作學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作的實(shí)踐活動(dòng)中，通過(guò)畫線段圖理解間隔數(shù)與植樹棵數(shù)之間的規(guī)律，滲透化歸的數(shù)學(xué)思想。

3.通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，初步體會(huì)植樹問(wèn)題的模型思想，感受日常生活中處處有數(shù)學(xué)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)成功的喜悅。

教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)畫線段圖發(fā)現(xiàn)植樹的棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系。

教學(xué)難點(diǎn)：利用探求“植樹問(wèn)題”中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)策略：

本節(jié)課是教材第106～107頁(yè)例1、例2的內(nèi)容，主要教學(xué)在一條線段上兩端都栽和兩端不栽情況的植樹問(wèn)題。我根據(jù)對(duì)教材的理解，將例1、例2進(jìn)行整合，以一個(gè)具體情境提出問(wèn)題，在本節(jié)課又嘗試補(bǔ)充了一端栽的類型。在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)，我主要是運(yùn)用這樣的教學(xué)理念：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突。借助小組合作，通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證等學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生探究解決植樹問(wèn)題的規(guī)律，滲透化歸思想。

教學(xué)過(guò)程：

一、觀察熟知事物，引導(dǎo)學(xué)生理解“間隔”

師：同學(xué)們，你們仔細(xì)觀察過(guò)自己的手嗎？我們的手上隱藏了哪些數(shù)學(xué)奧秘呢？快來(lái)找一找。

師：看看你的手，你從中得到了什么數(shù)字？

生：5。

生：5個(gè)手指。

師：老師從中也得到了一個(gè)數(shù)字——4，你們知道它指的是什么嗎？

生：縫隙。

生：空格。

師：對(duì)了，4指的是手指間的空格，在數(shù)學(xué)上我們把這樣的空格叫作間隔。我們手上每?jī)蓚€(gè)手指之間有一個(gè)間隔，大家仔細(xì)觀察，5個(gè)手指有幾個(gè)間隔，4個(gè)手指的時(shí)候有幾個(gè)間隔呢？3個(gè)手指，兩個(gè)手指呢？

師：你們發(fā)現(xiàn)手指數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系了嗎？誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)？

（利用課件進(jìn)行展示：夾心餅干、植樹中每相鄰兩棵樹之間的距離、路燈、柵欄、團(tuán)體操表演、防洪紀(jì)念塔相鄰的柱子。理解間隔的含義，這些問(wèn)題在數(shù)學(xué)上統(tǒng)稱為植樹問(wèn)題，進(jìn)而揭示課題。）

師：在我們身邊有這么多數(shù)學(xué)奧秘，看來(lái)數(shù)學(xué)真是無(wú)處不在。

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生生活的周圍有很多事物具有植樹問(wèn)題的本質(zhì)特征。想要了解植樹問(wèn)題必須要知道間隔的問(wèn)題。引出手，就使學(xué)生對(duì)手指頭之間的間隔產(chǎn)生一個(gè)初步的感知。再利用課件展示生活中隨處可見的間隔，即滲透“生活中處處有數(shù)學(xué)”的思想，又為接下來(lái)的學(xué)習(xí)分散難點(diǎn)?！?/p>

二、創(chuàng)設(shè)探索情境，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律

1.出示例題，引導(dǎo)學(xué)生自主探索。

鐵嶺小學(xué)要在一條100米長(zhǎng)的小路一邊每隔5米種一棵樹，需要多少棵樹苗？你可以設(shè)計(jì)出幾種方案？

【設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)生活情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)問(wèn)題原本就來(lái)源于生活。有效地利用教學(xué)資源，將例1與例2進(jìn)行有機(jī)整合，將一條線段上植樹的3種情況一次呈現(xiàn)，發(fā)散學(xué)生的思維?！?/p>

反思：通過(guò)第一次試講，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍只想到了兩端植樹的情況，而其余情況都沒(méi)有想到。一方面是由于學(xué)生受到手指和“手指間隔”的影響，形成了思維定式；另一方面是由于改編例題要求不清晰，使得學(xué)生思維受到局限。在第二次試講時(shí)，我將例題進(jìn)行補(bǔ)充修改。這次學(xué)生們思維拓展了，考慮問(wèn)題也全面了，能有目的地進(jìn)行操作。這也讓我體會(huì)到教學(xué)資源的整合一定要做到巧妙設(shè)計(jì)、貼近實(shí)際。

2.學(xué)生大膽猜測(cè)后，4人一組，借助學(xué)具，小組合作探究，填寫表格，驗(yàn)證猜想。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生因?yàn)椴聹y(cè)出不同的結(jié)果，造成了認(rèn)知沖突。他們迫切地須要尋求可行性的方法，去驗(yàn)證自己的數(shù)學(xué)猜想。】

反思：由于課前學(xué)生準(zhǔn)備了相應(yīng)的學(xué)具，課上他們展示了不同的驗(yàn)證方法。有的組充分利用跳棋、小棒這些學(xué)具擺一擺。在擺的過(guò)程中他們遇到了難題，準(zhǔn)備的學(xué)具不夠。我巡視發(fā)現(xiàn)此情況，便替他們小組向全班同學(xué)尋求幫助，很快學(xué)生就達(dá)成共識(shí)，只要用一定的學(xué)具探索出規(guī)律即可，這里也滲透了數(shù)學(xué)上化歸思想。還有的組借助線段圖畫一畫，借助手指數(shù)一數(shù)，將抽象的習(xí)題具體為形象的圖形，探索規(guī)律就顯得非常容易。

學(xué)生之間存在著一定的差異，認(rèn)知起點(diǎn)與知識(shí)結(jié)構(gòu)邏輯起點(diǎn)不同，就使得有些學(xué)生理解植樹問(wèn)題時(shí)，較為困難。這時(shí)在小組內(nèi)合作學(xué)習(xí)，就使“差異”變成了“資源”，促使學(xué)生更好地解決問(wèn)題。

3.匯報(bào)驗(yàn)證結(jié)果，總結(jié)規(guī)律。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生利用畫圖、擺學(xué)具來(lái)解決條件開放的植樹問(wèn)題，形象地感知在一條線段上植樹常出現(xiàn)的三種植樹情況。我通過(guò)及時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)探索、驗(yàn)證的學(xué)習(xí)方法，體現(xiàn)了“不同的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的水平可以不同”的教育思想，而且啟發(fā)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生充分感受到成功的喜悅。本課重點(diǎn)再次得到鞏固，難點(diǎn)得到有力突破！】

三、回歸生活情境，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用

在生活中，常常要解決這樣的植樹問(wèn)題，我們必須要先確定它是屬于三種情況中的哪一種。為了鞏固所學(xué)的知識(shí)，我設(shè)計(jì)了兩組練習(xí)：

（一）基礎(chǔ)練習(xí)

1.在一條全長(zhǎng)2千米的街道兩旁安裝路燈，頭尾都要安，每隔50米安一座。共需多少燈？

2. 大象館和猩猩館相距60米，綠化隊(duì)要在兩館間的小路兩旁栽樹。相鄰兩棵樹之間的距離是3米，一共要栽幾棵樹？

3.5路公共汽車從起點(diǎn)開出，行駛路線全長(zhǎng)12千米，相鄰兩站的距離是1千米。一共有幾個(gè)車站？

反思：在最初設(shè)計(jì)中，一條線段上植樹的三種情況我各出了一道題。但是經(jīng)過(guò)反復(fù)研究，發(fā)現(xiàn)課堂容量遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。對(duì)于優(yōu)秀的學(xué)生來(lái)講，課堂習(xí)題沒(méi)有拓展，課堂的實(shí)效性不強(qiáng)。因此，我相應(yīng)地補(bǔ)充上能力提升練習(xí)。

（二）能力提升練習(xí)

1.園林工人沿公路一側(cè)植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵，從第1棵到最后一棵的距離是多少？

2.一根木頭長(zhǎng)10米，要把它平均分成5段，每鋸下一段需要8分鐘，鋸?fù)暌还惨ǘ嗌俜昼姡?/p>

反思：在實(shí)際教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解鋸木頭問(wèn)題時(shí)有困難，這顯然是缺乏生活經(jīng)驗(yàn)。我因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生畫圖理解。學(xué)生發(fā)現(xiàn)鋸木頭其實(shí)就是在一條線段上兩端不植樹的情況，再根據(jù)尋求到的規(guī)律解題，一切難題就迎刃而解了！

【設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)有梯度的練習(xí)，讓學(xué)生將所學(xué)到的知識(shí)運(yùn)用到解決生活實(shí)際問(wèn)題中去，使學(xué)生的應(yīng)用能力得到循序漸進(jìn)的提高。設(shè)計(jì)的練習(xí)題體現(xiàn)了新課標(biāo)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)具有現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性”的理念?！?/p>

四、暢談收獲，引發(fā)學(xué)生深入思考

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲想和大家共同分享？或有哪些疑問(wèn)想尋求幫助？

【設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生圍繞三個(gè)維度對(duì)所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行梳理和回顧，暢談自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中的收獲或是學(xué)習(xí)過(guò)程中的疑惑，真正地體會(huì)到數(shù)學(xué)就來(lái)源于生活?！?/p>

再次出示例題：鐵嶺小學(xué)要在一條100米長(zhǎng)的小路一邊每隔5米種一棵樹，需要多少棵樹苗？你還可以設(shè)計(jì)出幾種方法？

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可能會(huì)想到在一條長(zhǎng)方形或是圓形等封閉曲線上植樹，為學(xué)習(xí)例3奠定基礎(chǔ)，這里也滲透新課程所倡導(dǎo)的理念，學(xué)生帶著問(wèn)題走出課堂?！?/p>

【板書設(shè)計(jì)】：

植 樹 問(wèn) 題

兩端栽 棵數(shù)=間隔數(shù)+1

兩端不栽 棵數(shù)=間隔數(shù)-1

一端栽 棵數(shù)=間隔數(shù)

反思：“植樹問(wèn)題”是小學(xué)人教版第九冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中的教學(xué)內(nèi)容。這一內(nèi)容是讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象出植樹問(wèn)題模型的過(guò)程，從而掌握種樹棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，使學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用植樹問(wèn)題的模型解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)他們的應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。通過(guò)教學(xué)我對(duì)植樹問(wèn)題這節(jié)課的反思如下：

1.體驗(yàn)生活數(shù)學(xué)。

“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活?！币虼耍覐膶W(xué)生熟悉的手指和手指間隔引入，發(fā)現(xiàn)生活中的間隔，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)分散難點(diǎn)。數(shù)學(xué)又應(yīng)該為生活服務(wù)，我開放課堂時(shí)空，通過(guò)課件讓學(xué)生從鋸木頭等問(wèn)題中直觀地認(rèn)識(shí)生活中的許多事例看上去跟植樹問(wèn)題毫不相關(guān)，但是只要善于觀察就明白它與植樹問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系很相似。引導(dǎo)學(xué)生要靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，又回歸于生活。

2.滲透化歸思想。

從簡(jiǎn)單的事例中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這是研究問(wèn)題的一般規(guī)律。將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從一般情況得出規(guī)律，尋找解題思路。如研究在一條線段上植樹，學(xué)生首先想到兩端植樹這種情況，他們?cè)谔接戦g隔數(shù)和棵樹之間關(guān)系時(shí)，或是用學(xué)具擺，或是借助手指。從2棵樹開始，間隔樹為1，3棵樹間隔數(shù)為2，4棵樹間隔數(shù)為3等，填寫表格，最后得出規(guī)律，從一般到特殊。接下來(lái)的兩端不植樹，一端植樹的情況，學(xué)生在已有前面一次探究規(guī)律的基礎(chǔ)上，很快就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后進(jìn)行驗(yàn)證。

3.注重練習(xí)。

我覺得既然研究的是植樹問(wèn)題中的一種情況，而且主要是滲透一種化歸思想，因此在練習(xí)的設(shè)計(jì)上盡量能緊扣中心，努力讓學(xué)生利用本課所學(xué)或利用研究方法去解決類似的問(wèn)題，這樣就能起到很好的鞏固作用。在練習(xí)題的設(shè)計(jì)上，我突出了基礎(chǔ)性和提高性。

（作者單位：哈爾濱市鐵嶺小學(xué)）

于璐，哈爾濱市鐵嶺小學(xué)教師，小學(xué)高級(jí)，哈爾濱市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，哈爾濱市數(shù)學(xué)學(xué)科骨干教師。執(zhí)教的“三角形分類”一課，獲哈爾濱市第七屆“苗苗杯”賽課一等獎(jiǎng)；執(zhí)教的“植樹問(wèn)題”，獲哈爾濱市第八屆“而立杯”賽課一等獎(jiǎng)；執(zhí)教的“四邊形分類”，獲黑龍江省“聚焦新課堂”一等獎(jiǎng)。