徐琳，牛紅玲

（河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，河北承德067000）

IM分擔(dān)兩個(gè)值的亞純函數(shù)

徐琳，牛紅玲

（河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，河北承德067000）

主要研究亞純函數(shù)及其n階導(dǎo)數(shù)的分擔(dān)值問題，改進(jìn)了儀洪勛、楊重駿等人的定理，得到了以下結(jié)論：設(shè)f，g為開平面上兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)且IM分擔(dān)∞，f(n)與g(n)IM分擔(dān)1，n為正整數(shù)，如果(4n+7)Θ(∞,f)+4δ(0,f)+2δ (0,g)＞4n+12，則f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

亞純函數(shù)；唯一性；IM分擔(dān)值

1　引言及主要結(jié)論

本文所使用值分布理論[1，2]的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)，如T(r, f)，m(r,f)，N(r,f)，(r,f)，和，以及表示虧量的δ(0,f)，Θ(∞,f)等等，（參考[1]，[2]），這里不再贅述．對于復(fù)數(shù)α，如果f和g具有相同的α-值點(diǎn)，并且重?cái)?shù)也相同，就稱f和g CM分擔(dān)a；如果f和g具有相同的α-值點(diǎn)，不計(jì)重?cái)?shù)，就稱f和g IM分擔(dān)α．

1976年，楊重駿[7]提出如下問題：設(shè)f與g為開平面上兩個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，以0為CM公共值（分擔(dān)值），f′與g′以1為CM公共值．問f與g之間有何種關(guān)系？

1989年，儀洪勛[8]回答了楊重駿提出的上述問題，證明了下面定理：

定理A[8]設(shè)f與g為兩個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，以0為CM公共值，f′與g′以1為CM公共值，如果δ(0,f)，則f≡g或者f′·g′≡1．

更一般的，儀洪勛證明了：

定理B[8]設(shè)f與g為兩個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，以0為CM公共值，f(n)與g(n)以1為CM公共值，n為正整數(shù)，如果，則f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

一直以來，許多唯一性的研究者對這一問題做了進(jìn)一步的探討，研究了條件減弱的情況下，對于整函數(shù)以及亞純函數(shù)，是否保持結(jié)論成立，其中以儀洪勛和楊重駿所得定理較為簡潔．

定理C[9]設(shè)f與g為兩個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，滿足f′與g′以1為CM公共值，如果δ(0,f)+δ(0,g)＞1，則f≡g或者f′·g′≡1．

定理D[10]設(shè)f與g為開平面上兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，以∞為CM公共值，f(n)與g(n)以1為CM公共值，n為非負(fù)整數(shù)，如果δ(0,f)+δ(0,g)+(n+2)Θ(∞,f)＞n+3，則f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

我們自然想到：保持定理D的結(jié)論，分擔(dān)1 CM和∞CM的條件是否可以減弱？2001年，Lahiri在他的論文[6]中引入了權(quán)分擔(dān)的思想，2009年，徐洪焱，易才鳳得到了一般性的結(jié)論（參見文[11]：

定理E[11]設(shè)f與g為非常數(shù)亞純函數(shù)，f(n)與g(n)分擔(dān)（1,0）（注：即以1為IM公共值），n為非負(fù)整數(shù)，那么

（1）如果f與g分擔(dān)(∞,∞)（注：即以∞為CM公共值），且滿足

（2）如果f與g分擔(dān)(∞,0)（注：即以∞為IM公共值），且滿足

利用這一思想我們得到下面定理：

定理1.1設(shè)f，g為開平面上兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)且分擔(dān)∞IM，f(n)與g(n)分擔(dān)1 IM，n為正整數(shù)，如果

則f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

從上述定理，我們可以推出：

推論1.2設(shè)f，g為兩個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，f(n)與g(n)分擔(dān)1 IM，n為正整數(shù)，如果

則f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

事實(shí)上，從證明過程可以得出更精細(xì)的結(jié)論：

推論1.3設(shè)f，g為開平面上兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)且分擔(dān)∞IM，f(n)與g(n)分擔(dān)1 IM，n為正整數(shù)，如果

則f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

推論1.4設(shè)f，g為兩個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，f(n)與g(n)分擔(dān)1 IM，n為正整數(shù)，如果

則f≡g或者f(n)·g(n)≡1．

2　符號(hào)及引理

為了方便證明，我們將本文所用符號(hào)加以說明．我們分別用E和I表示線性測度有限和線性測度無窮的集合．記S(r,f)=o(T(r,f))(r→∞,r?E)．記k)(a,f)為f(z)-a的重級≤k的零點(diǎn)集合，重級零點(diǎn)只記一次．用表示在｜z｜≤r上f(z)-a的重級≤k的零點(diǎn)精簡計(jì)數(shù)函數(shù)，重級零點(diǎn)只記一次表示在｜z｜≤r上f(z)-a的重級≥k的零點(diǎn)精簡計(jì)數(shù)函數(shù)，重級零點(diǎn)只記一次．而．

為了證明定理，我們將需要一些引理．

引理2.1[1]（Milloux定理）設(shè)f為開平面上非常數(shù)亞純函數(shù)，k為正整數(shù)，

這里ai(z)(i=0,1,…,k)均為f(z)的小函數(shù)，則

及

引理2.2[4]設(shè)f為開平面上非常數(shù)亞純函數(shù)，n為正整數(shù)，c為有限非零常數(shù)，則

引理2.3[5]設(shè)f為開平面上非常數(shù)亞純函數(shù)，k為正整數(shù)，則

引理2.4[5]設(shè)f，g為開平面上兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)分擔(dān)1 IM，則

引理2.5[6]設(shè)f，g為開平面上兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)且分擔(dān)1 IM，若H?0，則

引理2.6[5]設(shè)f，g為開平面上兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)且分擔(dān)1 IM，如引理2.5所設(shè)H，若H?0，則

引理2.8設(shè)f，g為開平面上兩個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)且分擔(dān)∞IM，f(n)與g(n)分擔(dān)1 IM，n為正整數(shù)，如果δ(0,f)＞0，δ(0,g)＞0，則T(r,f)=O(T(r,g))，T(r,g)=O(T(r,f))。證明依據(jù)引理2.2

引理2.7[11]設(shè)f為開平面上非常數(shù)亞純函數(shù)，k為正整數(shù)，則

即T(r,f)=O(T(r,g))。

同理可得T(r,g)=O(T(r,f))。

3　定理證明

若H?0，則應(yīng)用引理2.4，引理2.5，引理2.6有

應(yīng)用引理2.3即

而由（2）式以及引理2.2，有

因?yàn)橐阎猣，g分擔(dān)∞IM，f(n)與g(n)分擔(dān)1 IM，應(yīng)用引理2.8，不妨設(shè)T(r,f)≥T(r,g)，（3）式可以化為

于是

(4n+7)Θ(∞,f)+Θ(0,f)+3δ(0,f)+2δ(0,g)≤4n+12，

進(jìn)而

(4n+7)Θ(∞,f)+4δ(0,f)+2δ(0,g)≤4n+12，

與已知(4n+7)Θ(∞,f)+4δ(0,f)+2δ(0,g)＞4n+12矛盾，故H≡0，即

解此微分方程，得

其中a≠0，b是常數(shù)．下面分三種情況討論H≡0．

情況1．b≠0，-1。

若a-b-1≠0，依據(jù)（4），有

應(yīng)用引理2.2，引理2.7以及f，g分擔(dān)∞IM，可知

有(n+1)Θ(∞,f)+δ(0,f)+2δ(0,g)≤n+3，與已知（1）式矛盾．

類似的可知

有2Θ(∞,f)+δ(0,f)≤2，與已知（1）式矛盾．

有(n+1)Θ(∞,f)+δ(0,f)+2δ(0,g)≤n+3，與已知（1）式矛盾．

若a=1，則f(n)≡g(n)．設(shè)f(z)=g(z)+P(z)，其中P(z)為次數(shù)小于n的多項(xiàng)式．由（1）可知，∞和0是f的虧值，進(jìn)而f的下級μ＞0，所以f必為超越函數(shù)[3]，使得g也必為超越函數(shù)，顯然T(r,f)=T(r,g)+S(r,f)．

若P(z)?0，則

有Θ(∞,f)+δ(0,f)+δ(0,g)≤2，與已知（1）式矛盾．

所以必有P(z)≡0，故f≡g．

有2Θ(∞,f)+δ(0,f)≤2，與已知（1）式矛盾．若a+1=0，即a=-1，則f(n)·g(n)≡1．

定理1.1得證．

[1]Y i H.X.and Y ang C.C.：U niqueness Theory of M eromorphic Functions[M].(in Chinese)Science Press，Beijing，1995．

[2]楊樂.值分布論及其新研究[M].北京：科學(xué)出版社，1982．

[3]張廣厚.整函數(shù)和亞純函數(shù)理論——虧值、漸近值和奇異方向[M].北京：科學(xué)出版社，1986．

[4]H aymanW.K.：M eromorphicFunctions[M].O xford：Clarendon Press,1964.

[5]Banerjee A.：M eromorphic functions sharing one value [J].Int.J.M ath.M ath.Sci.,2005,22：3587-3598.

[6]LahiriI.：W eighted value sharing and uniqueness of meromorphic functions[J].Complex V ariables Theory A ppl.,2001,46(3)：241-253.

[7]Y ang C.C.：O n tw o entirefunctions w hich together w ith their first derivatives have the same zeros[J].J. M ath.A nal.A ppl.,1976,56：1-6.

[8]Y i H.X.：A question of C.C.Y ang on the uniqueness of entire functions[J],K odai,M ath.J.,13(1990),39-46.

[9]儀洪勛，楊重駿.導(dǎo)數(shù)具有相同1-值點(diǎn)的亞純函數(shù)的唯一性定理[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1991，（34）：675-680.

[10]楊重駿，儀洪勛.具有虧值的亞純函數(shù)的唯一性定理[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1994，（37）：62-72.

[11]徐洪焱，易才鳳.亞純函數(shù)及其階導(dǎo)數(shù)權(quán)分擔(dān)兩個(gè)值[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009，25，（4）：777-785.

Meromorphic Functions with IM Sharing Two Values

XU Lin,NIU Hong-ling
(Department of Mathematics and Computer Science,Hebei Normal University for Nationalities, Chengde,Hebei 067000,China)

Researching into the meromorphic functions and the shared value of its n-th derivatives,this paper amends the theorems of H.X.Yi and C.C.Yang etc and obtains the following result:given:f and g are two non-constant meromorphic functions in the complex plane,plus f(n)and g(n)IM share 1(n is a positive integer).If（4n+7）Θ（∞,f）+4δ（0,f）+2δ（0,g）＞4n+12,then either f(n)·g(n)≡1 or f≡g.

meromorphic functions;uniqueness;IM shared value

O13

A

2095-3763（2015）02-0074-04

2014-12-25

徐琳（1966-），女，江蘇徐州人，河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系副教授，研究方向?yàn)楹瘮?shù)論。