尹樂平， 張 躍， 朱春鋼

(大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024)

二次NURBS曲線的退化曲線

尹樂平， 張 躍， 朱春鋼

(大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024)

NURBS曲線是幾何造型中廣泛使用的曲線擬合工具。當(dāng)某一權(quán)因子趨向于無窮時(shí)，NURBS曲線趨于相應(yīng)的控制頂點(diǎn)，當(dāng)所有權(quán)因子趨向于無窮時(shí)，其極限曲線的幾何性質(zhì)目前還沒有結(jié)論。利用NURBS曲線的節(jié)點(diǎn)插入算法，將NURBS曲線轉(zhuǎn)化為分段有理Bézier曲線，結(jié)合有理 Bézier曲線的退化理論，得到當(dāng)所有權(quán)因子趨向于無窮時(shí)其退化曲線的幾何結(jié)構(gòu)。

NURBS曲線；有理Bézier曲線；toric退化

非均勻有理 B 樣條(non-uniform rational B-spline，NURBS)方法是Bézier方法、B樣條方法和有理Bézier方法的推廣，它將這些造型技術(shù)表示的曲線曲面轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的表示形式。同時(shí)，NURBS曲線擁有局部調(diào)整性、強(qiáng)凸包性、權(quán)因子交比性、節(jié)點(diǎn)插入算法、de Boor算法等具有深刻幾何意義的性質(zhì)及算法[1-2]。NURBS曲線還可以精確地表示初等解析曲面，便于將參數(shù)曲面與解析曲面轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的模型進(jìn)行處理。因此，NURBS方法廣泛應(yīng)用于工業(yè)幾何設(shè)計(jì)，從而成為曲線曲面造型中最為流行的技術(shù)。

在曲線曲面造型設(shè)計(jì)中，NURBS曲線曲面的形狀由其控制頂點(diǎn)與權(quán)因子所決定。文獻(xiàn)[2]中給出了NURBS曲線權(quán)因子的幾何意義和交比性質(zhì)，以及某權(quán)因子發(fā)生改變時(shí) NURBS曲線的幾何性質(zhì)。因此可以研究當(dāng)所有權(quán)趨向于無窮時(shí)，NURBS曲線曲面的極限曲線曲面與控制頂點(diǎn)之間的關(guān)系。

2002年，Krasauskas[3]提出了參數(shù)域?yàn)橥苟噙呅蔚囊环N多邊形曲面——toric曲面，而有理Bézier曲線曲面是其特殊形式，其理論來源于toric簇與toric理想。Sturmfels[4]詳細(xì)介紹了toric簇、toric理想與正則三角剖分的理論。Zhu[5]也給出了 toric簇、toric理想在正則分解上的退化形式。Garcia-Puente等[6]利用toric簇、toric理想以及 toric退化理論給出當(dāng)所有權(quán)趨向于無窮時(shí)，toric曲面的退化曲面的幾何意義。

對(duì)二次準(zhǔn)均勻NURBS曲線，通過節(jié)點(diǎn)插入算法，當(dāng)所有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)重?cái)?shù)與 NURBS曲線次數(shù)相同時(shí)，曲線等價(jià)于分段有理Bézier曲線。在各段上應(yīng)用有理Bézier曲線的退化理論[6]，得到當(dāng)權(quán)趨于無窮時(shí)，NURBS曲線的退化曲線為每段有理 Bézier曲線退化的曲線之并，最后給出具體實(shí)例。

1 有理Bézier曲線及其退化曲線

首先給出傳統(tǒng)意義下由 Bernstein基函數(shù)定義的有理Bézier曲線。

定義 1[1]. 給定 n+1個(gè)空間向量i=0,… ,n，稱參數(shù)曲線段。

為一條n次有理Bézier曲線。其中：

是n次Bernstein基函數(shù)， bi為控制頂點(diǎn)，ωi為權(quán)因子或權(quán)。用直線段依次連接相鄰兩個(gè) bi所得的n邊折線多邊形稱為控制多邊形。

Krasauskas[3]定義的 toric曲面是有理 Bézier曲線在高維空間中的一種自然推廣，在此對(duì)其定義進(jìn)行簡單介紹。

稱為toricBézier曲面，其中toric基函數(shù)βa,A(x)為為常數(shù)。

當(dāng) toric曲面參數(shù)域取一維空間整數(shù)格點(diǎn)集時(shí)，控制頂點(diǎn)集 B ? R3時(shí)，得到的參數(shù)曲線為參數(shù)變換下的有理Bézier曲線[3,6]。

l2(x)=n - x。對(duì)i∈ A，其toric基函數(shù)定義為：

令控制頂點(diǎn)集B?R3，將 toric基函數(shù)式(3)代入表示toric Bézier曲面的式(2)中，得到：在式(3)中取x=ny， ci取為，toric基函數(shù)即為n次Bernstein基函數(shù)。

由此有理 Bézier曲線是式(4)中 toric Bézier曲線在簡單參數(shù)變換下的特殊情況。因?yàn)閰?shù)變換并不影響曲線形狀，為了方便討論，本文后述所提到的有理Bézier曲線都是此表示形式。

為了給出有理Bézier曲線的退化形式，利用提升函數(shù)λ和給定的權(quán)定義帶參數(shù)t的有理Bézier曲線：

由如上定義，正則分解Sλ中的每一子集Sj中的格點(diǎn)集與相應(yīng)的控制頂點(diǎn)與權(quán)，可定義一段有理Bézier曲線，記為Sλ中所有子集對(duì)應(yīng)的有理 Bézier曲線之并稱為由正則分解Sλ所誘導(dǎo)的正則控制曲線[6]，記為

定理1[6].

定理 1說明當(dāng)所有權(quán)趨向于無窮時(shí)，有理Bézier曲線的退化曲線恰是其正則控制曲線。

圖1 四次有理Bézier曲線及控制多邊形

圖2 提升函數(shù)λ對(duì)應(yīng)的正則分解

圖3 提升函數(shù)λ誘導(dǎo)的正則控制曲線

2 NURBS曲線及其二次曲線的退化

2.1 NURBS曲線的定義及其節(jié)點(diǎn)插入算法

定義 2[2]. 參數(shù)曲線：

為了研究NURBS曲線的退化曲線，首先要建立NURBS曲線與有理Bézier曲線的聯(lián)系，需應(yīng)用NURBS曲線的節(jié)點(diǎn)插入算法，這一算法在NURBS曲線研究中具有重要意義。NURBS曲線節(jié)點(diǎn)插入算法所新生成的控制頂點(diǎn)和權(quán)不改變曲線形狀，其算法思想如下[1-2]。Ni,p為定義在節(jié)點(diǎn)向量

其中：

u0=u1=…=up，un+1=un+2=…=un+p+1，其節(jié)點(diǎn)滿足ui=u0+(i- p)h(i= p+1,… ,n +1)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的p次NURBS曲線稱為準(zhǔn)均勻NURBS曲線。對(duì)p次準(zhǔn)均勻NURBS曲線使用節(jié)點(diǎn)插入算法，使其內(nèi)部節(jié)點(diǎn) ui(i=p+1,…,n)的重?cái)?shù)達(dá)到p重，則NURBS曲線在區(qū)間上為有理多項(xiàng)式曲線，經(jīng)參數(shù)變換：

后為p次有理Bézier曲線。這樣將NURBS曲線分割為 n - p+1段有理Bézier曲線。

2.2 二次NURBS曲線的退化

設(shè)二次準(zhǔn)均勻 NURBS曲線的節(jié)點(diǎn)向量為U={0,0,0,1,2,… ,n -1,n,n,n}。由節(jié)點(diǎn)數(shù)與曲線次數(shù)的關(guān)系，曲線控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為 n+ 2。設(shè)控制頂點(diǎn)集給定權(quán)為

對(duì)二次準(zhǔn)均勻NURBS曲線，定義其控制頂點(diǎn)集P的提升函數(shù)μ：

圖4 提升函數(shù)μ

因?yàn)镹URBS曲線插入節(jié)點(diǎn)的先后順序與結(jié)果無關(guān)，不妨設(shè)每次插入的節(jié)點(diǎn)為 ui= i(i=1,2,… ,n -1)。每次插入節(jié)點(diǎn)后增加一個(gè)控制頂點(diǎn)與帶參權(quán)，這樣 n-1次插入節(jié)點(diǎn)后控制頂點(diǎn)集為原來的NURBS曲線可以表示為n段有理Bézier曲線之并，每段曲線的控制頂點(diǎn)集記為

入算法式(6)，則各組帶參權(quán)之間滿足關(guān)系：

由上式可得節(jié)點(diǎn)插入后新生成的帶參權(quán)為原來相鄰兩權(quán)的線性組合，且與原來帶參權(quán)的關(guān)系為：

其中i=1,2,…,n-1。各組控制頂點(diǎn)滿足關(guān)系：

可得與原來控制頂點(diǎn)滿足關(guān)系：

其中，i=1,2,… ,n -1。

這樣將原來的 NURBS曲線分成n段二次有理Bézier曲線，第i段(i=2,… ,n -1)對(duì)應(yīng)的帶參權(quán)及控制頂點(diǎn)為：

第i段(i=2,… ,n -1)二次有理Bézier曲線形 式為：

當(dāng)t→∞時(shí)，二次有理 Bézier曲線Ri(v;t)的退化曲線為由正則分解 Svi所定義的正則控制曲線，設(shè)為

定理2. 當(dāng)t→∞時(shí)，準(zhǔn)均勻二次NURBS曲線 R(u;t)的退化曲線為其正則控制曲線：

證明.利用 NURBS曲線節(jié)點(diǎn)插入算法式(6)將NURBS曲線式(7)分成n段二次有理Bézier曲線當(dāng)t→∞時(shí)，給定提升函數(shù)μ，對(duì)節(jié)點(diǎn)插入算法中新生成的控制頂點(diǎn)的幾何位置與帶參權(quán)進(jìn)行如下討論：

(1)λi+1＞λi時(shí)，由則新生成控制頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)帶參權(quán)為

(2)λi+1＜λi時(shí)，此時(shí)新生成控制頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)帶參權(quán)為

(3)λi+1=λi時(shí)，新生成控制頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)帶參權(quán)為

采用同樣的方法，通過討論λi-1，λi的大小關(guān)系，可以得到Ri(v;t)的另一端控制頂點(diǎn)當(dāng) t→∞時(shí)的位置與所對(duì)應(yīng)的權(quán)。由此，當(dāng)t→∞時(shí)，定義在[i - 1,i]上的二次有理Bézier曲線Ri(v;t)的控制頂點(diǎn)位置及權(quán)因子可以確定，其對(duì)應(yīng)的提升為，設(shè)其誘導(dǎo)的正則分解為Svi，Svi的子集為。由定理1[6]，得到當(dāng)t→∞時(shí)，ri(v;t)的退化曲線為其正則控制曲線而NURBS曲線 R(u;t)的退化曲線為每一段退化曲線的并集，定理得證。

3 實(shí) 例

圖5 NURBS曲線節(jié)點(diǎn)插入

對(duì)控制頂點(diǎn)定義提升函數(shù) μ1，滿足。則退化后的曲線為兩段二次有理Bézier曲線退化曲線的并。由于λ1＞λ2，則前一段有理Bézier曲線退化為直線段，后一段有理Bézier曲線在提升下退化為控制頂點(diǎn)權(quán)為(0.75,2,5)的二次有理 Bézier曲線。因此當(dāng)t→∞時(shí)，該NURBS曲線的退化曲線為如圖 6(a)所示的正則控制曲線，曲線退化過程如圖 6(b)～(d)所示，分別對(duì)應(yīng)參數(shù)t取2，5，10。

圖6 二次NURBS曲線的退化過程

圖7 二次NURBS曲線與其退化曲線

圖8 NURBS曲線節(jié)點(diǎn)插入

圖9 二次NURBS曲線的退化過程

4 總結(jié)與展望

本文中給出了二次準(zhǔn)均勻NURBS曲線當(dāng)權(quán)趨于無窮時(shí)的退化曲線。用同樣的方法容易推出二次非均勻NURBS曲線與三次NURBS曲線的退化曲線。在以后的工作中，將研究高次NURBS曲線及NURBS曲面的退化形式。

[1] 王仁宏, 李崇君, 朱春鋼. 計(jì)算幾何教程[M]. 北京： 科學(xué)出版社, 2008： 242-249.

[2] Piegl L, Tiller W. The NURBS book [M]. 2nd ed. New York：Springer, 1997： 81-116.

[3] Krasauskas R. ToricSurface patches [J]. Advances in ComputationalMathematics, 2002, 17(1-2)： 89-113.

[4]Sturmfels B. Gr?bner bases and convex polytopes [M]. Providence： AmericanMathematicalSociety, 1996： 63-73. [5] Zhu Chungang. Degenerations of toric ideals andtoric varieties [J]. Journal ofMathematical Analysis and Applications, 2012, 386(2)： 613-618.

[6] Garcia-Puente L D,Sottile F, Zhu Chungang. Toric degenerations of Bezier patches [J]. ACM Transactions on Graphics, 2011, 30(5)： 110.

Degenerations of Quadratic NURBS Curves

Yin Leping, Zhang Yue, Zhu Chungang
(School ofMathematicalSciences, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China)

NURBS curve, as a curve fitting tool, is widely used in geometricModeling. When a weight approaches to infinity, the limit of NURBS curve tends to corresponding control point. However, while all the weights tend to infinity, the degeneration of NURBS curve isStill unknown. In this paper, we converts the NURBS curve to piecewise rational Bézier curves by knot insertion algorithm and obtain the degeneration of NURBS curve while all the weights approach to infinity by using the degenerations of rational Bézier curves.

NURBS curve; rational Bézier curve; toric degeneration

TP 391

A

2095-302X(2015)02-0186-07

2014-10-08；定稿日期：2014-10-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11290143，11271060)；民用飛機(jī)專項(xiàng)資助項(xiàng)目(MJ-F-2012-04)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(DUT14YQ111)；遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃資助項(xiàng)目(LJQ2014010)

尹樂平(1990–)，女，河北承德人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)橛?jì)算幾何。E-mail：m13644089164@163.com

朱春鋼(1977–)，男，北京人，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)橛?jì)算幾何。E-mail：cgzhu@dlut.edu.cn