劉鎖銘 王秀紅

(魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院,山東煙臺(tái) 264001)

非線性系統(tǒng)的奇異最優(yōu)控制問(wèn)題

劉鎖銘 王秀紅

(魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院,山東煙臺(tái) 264001)

討論非線性系統(tǒng)關(guān)于奇異二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制問(wèn)題的近似方法?；诶畲鷶?shù)生成向量矩陣的方法,將非線性系統(tǒng)變換為線性非奇異系統(tǒng),進(jìn)而利用參數(shù)攝動(dòng)方法通過(guò)求解非奇異二次指標(biāo)最優(yōu)控制問(wèn)題的解得到原系統(tǒng)的最優(yōu)控制律。

李代數(shù)法攝動(dòng)法最優(yōu)控制奇異二次指標(biāo)最優(yōu)控制

最優(yōu)控制理論對(duì)于與控制系統(tǒng)提供了解決的多類(lèi)現(xiàn)代方法，因此它在線性控制理論中扮演著重要的角色例如，線性二次調(diào)節(jié)器和現(xiàn)行二次型高斯控制理論。利用最優(yōu)控制的一類(lèi)線性系統(tǒng)可以大幅度減少最優(yōu)控制率的計(jì)算幅度。此外，它構(gòu)成了一個(gè)解決非線性最優(yōu)控制問(wèn)題的有效方法，其中，李代數(shù)法已經(jīng)被應(yīng)用于獲取非線性偏微分方程的最優(yōu)反饋率。此外，它構(gòu)成了一個(gè)有效解決非線性最優(yōu)控制問(wèn)題的方法。應(yīng)用這種方法可以計(jì)算最優(yōu)飛船了角動(dòng)量，以及可以計(jì)算太空交通工具最小的燃料消耗。李代數(shù)法已成為最優(yōu)控制理論的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具[1]。

1 問(wèn)題描述

考慮一類(lèi)非線性系統(tǒng):

這里x∈Rn，ui為標(biāo)量，其中i=1,…,m

性能指標(biāo)為:

t0和tf給定，Q為n×n維正定對(duì)稱(chēng)矩，系統(tǒng)的矢量場(chǎng)f，gi，Φ(x(tf))平滑。

我們的問(wèn)題是找到滿(mǎn)足條件(1)和(2)的u*使得性能指標(biāo)J(u)最小。

眾所周知，我們?nèi)狈M(jìn)一步的假設(shè)，這類(lèi)問(wèn)題通常通過(guò)最優(yōu)控制中的邦-邦控制來(lái)解決。

通過(guò)非線性系統(tǒng)(1)我們可以定義李代數(shù)，從而生成向量場(chǎng)。

即L是f的集合，這里我們可以定義:

這里我們定義Y][X,為

系統(tǒng)(1)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)通過(guò)構(gòu)建L代數(shù)的方法可以解決此類(lèi)最優(yōu)控制問(wèn)題。解決此類(lèi)困難的第一步是尋找一類(lèi)簡(jiǎn)單系統(tǒng)來(lái)近似替代系統(tǒng)(1)。Bressn和Hermes指出，在某些非限定條件下，一種系統(tǒng)仿射的形成，都可以通過(guò)構(gòu)造一個(gè)零階的局部近似的狀態(tài)方程與之相同。

2 最優(yōu)控制問(wèn)題

為了解決第二節(jié)中的奇異控制問(wèn)題，我們給(3)式中添加了一項(xiàng)kε

極小化了這個(gè)非奇異的泛函部分，對(duì)于εk當(dāng)k→∞時(shí)limk→∞εk=0可以求出(3)式的最優(yōu)值。此時(shí)我們定義

εk≥0此時(shí)很明顯我們將最優(yōu)控制問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化成為非奇異控制問(wèn)題，通過(guò)極小值原理我們可以找到它的Hamiltonian函數(shù):

上式中p∈Rn是n×1維的伴隨矩陣。

對(duì)于(9)式的Hamiltonian 函數(shù)，我們可以得到

將1×m維輸出矩陣加入(10)式中我們可以得到

對(duì)于最優(yōu)控制問(wèn)題(1)，(8)式是非退化的

根據(jù)最優(yōu)控制的必要條件我們可以得到

通過(guò)(13)式我們可以很明確的得到

我們也可以求得iy的一階導(dǎo)數(shù)為

并且

這里

由于

那么(16)式可以變?yōu)?/p>

以下是引理及其證明

引理1.令Y為一組向量并令p為它的伴隨向量。則

這里F在(17)式中被定義，并且我們可以沿著系統(tǒng)的軌跡來(lái)計(jì)算時(shí)間導(dǎo)數(shù)。

證明.:函數(shù)YpT沿著系統(tǒng)軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是

通過(guò)引理，我們可以得到(19)式中iu可以進(jìn)行二階求導(dǎo)

總之對(duì)于任意i=1,2,…,m 均有

令

表示最優(yōu)哈密頓函數(shù)，則我們將(11)式中),(pxH*替換

后成為最優(yōu)哈密頓函數(shù)。

3 解題方法及步驟

為了解決第三節(jié)問(wèn)題(6)的最優(yōu)控制問(wèn)題我們采取的步驟:

步驟1:選取一個(gè)初始值ε1≥0和一個(gè)控制函數(shù)。

步驟2:解決εk-問(wèn)題(k初始值為1)，并產(chǎn)生一個(gè)極小的控制函數(shù)。

步驟3:令εk+1≤εk(例如εk+1=εk/10).設(shè)

回到步驟2。

當(dāng)通過(guò)步驟2得到δε?k(δ為無(wú)窮小量)時(shí)停止運(yùn)算，否則重復(fù)上述步驟。我們可以通過(guò)證明以下兩種假設(shè)來(lái)證明我們的方法正確。

假設(shè)1:定義(2)式中的Ω為一集合，iu為一標(biāo)量控制(i=1,2,…,m )且。則，那么通過(guò)極小控制uk的到的性能指標(biāo)J(u,εk)同樣屬于Ω。

引理2:對(duì)于k≥?(εk≤ε?)我們得到

這里u∈Ω且J0∈R1

也就是說(shuō)),(kkuJε對(duì)于kε是逐漸遞減的。我們也可得出

證明:我們知道

另外，

證明:通過(guò)引理2，),(kkuJε是逐漸遞減的且有下確界(0J)，那么它一定會(huì)聚集于一點(diǎn)。

假設(shè)

這里u0被定義為

與(31)沖突，則意味著

但是，這意味著既然它單調(diào)遞減，則

因此，我們得到矛盾并且(30)式一定正確。

然而，我們必須承認(rèn)這是一個(gè)通過(guò)使kε無(wú)窮小從而逼近近似解得好方法，但是我們?nèi)耘f無(wú)法從確定它的精確數(shù)值。

4 結(jié)語(yǔ)

我們考慮了一類(lèi)非線性奇異最優(yōu)控制系統(tǒng)。我們通過(guò)加入無(wú)窮小量εk來(lái)使奇異最優(yōu)控制轉(zhuǎn)化成為非奇異最優(yōu)控制。其中(25)式中構(gòu)建最優(yōu)控制方程u*成為最重要的步驟。它在解決開(kāi)環(huán)最優(yōu)控制u*(t )的問(wèn)題上起到了至關(guān)重要的作用。

[1]胡壽松,胡維禮.最優(yōu)控制理論與系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

[2]馮德興.奇異最優(yōu)控制的漸進(jìn)分析.自動(dòng)化學(xué)報(bào)第20卷第5期,1994年9月.

[3]杜振華,石明江,田芳.線性系統(tǒng)的奇異最優(yōu)控制方法研究.制造業(yè)自動(dòng)化(610500).

[4]Daim-Yuang Sun,The solution of singular optimal control problems using the modified line-up competition algorithm with region-relaxing strategy,ISA Transactions 49(2010)106-1113.

[5]MARK ARDEMA Nolinear Singularly Perturbed Optimal Control Problem with Singular Arcs,Automatic.Vol.16,pp.99-104.

[6]Ton Geerts,All Optimal Controls for the Singular Linear-Quadratic Problem Without Stability,Elsebier Science Publishing Co,Inc,1989.

[7]R.E.奧馬利《.奇異攝動(dòng)引論》.科學(xué)出版社,1993.