王媛媛，張立新，王一陽，嚴智煜，何曉東

(1.海南醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)信息學(xué)院，?？?71199;2.吉林省輻射環(huán)境監(jiān)督站管理科，長春130012; 3.吉林大學(xué)通信工程學(xué)院，長春130012)

基于介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)的復(fù)式二維光子晶體禁帶研究

王媛媛1，張立新2，王一陽3，嚴智煜3，何曉東3

(1.海南醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)信息學(xué)院，?？?71199;2.吉林省輻射環(huán)境監(jiān)督站管理科，長春130012; 3.吉林大學(xué)通信工程學(xué)院，長春130012)

為提高二維光子晶體禁帶帶寬或產(chǎn)生完全禁帶，利用平面波展開法對二維正方排列介質(zhì)圓柱和三角排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)以及改變其晶胞形成的復(fù)式結(jié)構(gòu)進行了禁帶研究。研究結(jié)果表明，對于介質(zhì)柱結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)禁帶中心頻率低頻化的方式有兩種，即增大介質(zhì)柱半徑和增加介質(zhì)柱折射率。當(dāng)采用復(fù)式結(jié)構(gòu)時，一般可形成較大的TM(Transverse Magnetic)禁帶，同時為TE(Transverse Electric)禁帶和完全禁帶的形成提供了可能。通過改變晶胞結(jié)構(gòu)，破壞結(jié)構(gòu)對稱性是實現(xiàn)完全禁帶的一種可行方法。

光子晶體;二維光子晶體;平面波展開法;禁帶結(jié)構(gòu);完全禁帶

0 引 言

近十幾年來，研究人員開辟了一個嶄新的研究領(lǐng)域-光子晶體及其應(yīng)用領(lǐng)域，用于控制光及電磁波的傳播。光子晶體［1，2］是一種周期性調(diào)整介電常數(shù)的結(jié)構(gòu)，它可以產(chǎn)生光子禁帶(PBGs:Photonic Band Gaps)光譜區(qū)，頻率落在光子禁帶中的光不能傳播，在某種意義上，這類似于半導(dǎo)體中的電帶隙。由于其獨特的特性，光子晶體在光通信上有重要用途，如，可用它制作光子晶體微諧振腔［3］，光子晶體光開關(guān)［4］，光子晶體濾波器［5］等，這些器件對光集成起到舉足輕重的作用。

相對于三維光子晶體，二維光子晶體以其制作簡單而受到人們廣泛的關(guān)注，并在禁帶［6-16］研究方面有很多新的進展。電磁波可分解為電場矢量垂直于入射面的橫電波即TE(Transverse Magnetic)波和磁場矢量垂直于入射面的橫磁波即TM(Transverse Magnetic)波。在禁帶研究中，人們總是希望提高TE禁帶或TM禁帶的帶寬，或使TE禁帶與TM禁帶產(chǎn)生重疊即產(chǎn)生完全禁帶。研究表明，二維光子晶體正方排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)只存在TM禁帶，降低對稱性能增大帶隙寬度。降低對稱性的一般方法有:采用各向異性材料，改變晶胞，組員形狀或晶格形狀。筆者將利用改變晶胞的方法降低結(jié)構(gòu)對稱性，通過改變二維正方排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)和二維三角排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)的晶胞，研究改變后形成的二維復(fù)式結(jié)構(gòu)的禁帶特性。

1 理論分析

光子晶體禁帶常用的計算方法有很多，如時域有限差分法、平面波展開法等。與經(jīng)典的電磁理論分析方法類似，在不同外界條件下，采用不同方法往往可取得事半功倍的效果。平面波展開法概念清晰已經(jīng)取得廣泛的應(yīng)用。將電磁場在倒格矢空間展開為平面波，以本征方程代替麥克斯韋方程組，經(jīng)過求解本征方程得到其本征值，最終反映出光子晶體中電磁波的本征頻率與色散之間的關(guān)系，從而得到能帶結(jié)構(gòu)和透射反射系數(shù)。筆者將利用該方法進行帶隙計算［17］。光子晶體基本方程如下

其中ε(r)為介質(zhì)的介電常數(shù)，ω為電磁波角頻率，c為真空中的光速。式(2)是傅里葉空間中的光子晶體基本方程的形式，是矢量式，必須將其轉(zhuǎn)化成標量形式才可以進行計算。其中ηGG'=η(G-G')，而以倒格矢為自變量的η是η(r)的傅里葉變換

而介電常數(shù)倒數(shù)η(r)從原空間變換到倒格矢空間有下列式子

這里f是光子晶體的填充比。對任意矢量S∈xy平面，選定3個方向矢量e1(S)、e2(S)、e3(S)，關(guān)系為e1(S)、e2(S)與S垂直，e3(S)與S平行，e1(S)平行與z軸，e2(S)、e3(S)在xy平面內(nèi)。這樣，磁場強度H(r)可表達為

其中e1(k+G)、e2(k+G)、k+G為一組互相垂直的矢量系。式(5)代入式(2)，有下列關(guān)系

對于TM模

對于TE模

根據(jù)具體的折射率分布求解本征方程便可得到本征值以及本征矢值，從而確定光子晶體的禁帶結(jié)構(gòu)。

2 基于介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)的復(fù)式二維光子晶體的禁帶分析

以正方排列和三角排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)為例，經(jīng)過改變的復(fù)式二維光子晶體結(jié)構(gòu)如圖1所示。為了比較，筆者同時對沒經(jīng)過改變的二維正方排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)和二維三角排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)進行禁帶分析。

圖1 二維光子晶體結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structures of two-dimensional photonic crystal

2．1 二維正方排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)的禁帶分析

2．1．1 介質(zhì)圓柱半徑對禁帶的影響

借助軟件仿真研究介質(zhì)圓柱半徑對禁帶的影響。設(shè)晶格周期為a，介質(zhì)圓柱折射率為3．24，在仿真過程中要保證這兩個參數(shù)不變。取半徑步長為0．01a，圖2a為TM模禁帶隨著圓柱半徑的變化規(guī)律?？芍庇^看到TM模式主要存在4條禁帶，每條禁帶都呈棗核形分布，隨著圓柱半徑的增加，歸一化中心頻率低頻化。在此以帶隙率反映完全禁帶的大小，帶隙率的物理意義為帶隙的頻寬與帶隙中心頻率的比值。第1條禁帶對應(yīng)的半徑范圍最大，為0．1a～0．4a，在R=0．18a處有最大帶寬，帶寬約為0．132 (ωa·(2πc)-1)，中心頻率為0．384(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為34．375%。第2條禁帶對應(yīng)半徑范圍為0．22a～0．43a，該禁帶在R=0．31a時有最大帶寬，帶寬為0．099(ωa·(2πc)-1)，中心頻率為0．474 5 (ωa·(2πc)-1)，帶隙率為20．86%。當(dāng)圓柱的半徑繼續(xù)增加時，后兩條禁帶相繼出現(xiàn)，當(dāng)半徑范圍在0．34a～0．4a時，4條禁帶同時存在。通過上面分析，可以看到，這種結(jié)構(gòu)的光子晶體不存在TE禁帶，這是因為圓柱間沒有可以容納D場線的連續(xù)通路，為使D場線滿足連續(xù)條件，他們被迫穿過空氣區(qū)，從而導(dǎo)致無法形成TE禁帶。

2.1.2 介質(zhì)圓柱折射率對禁帶的影響

設(shè)定圓柱半徑的初始值為0.35a，晶格周期為a，折射率步長取0．05，圖2b為介質(zhì)圓柱折射率對禁帶的影響?？梢钥闯觯鄬τ赥M模，TE模式的禁帶頻率較高，帶寬較窄，筆者主要研究TM模的特性。TM模式主要存在4條禁帶，每條禁帶均呈柳葉形分布，當(dāng)圓柱折射率增大時，中心頻率低頻化，禁帶帶寬與帶隙率均呈增大趨勢。當(dāng)圓柱折射率為2.05時出現(xiàn)第1條禁帶，這條禁帶帶寬較窄，對應(yīng)最大帶寬為0.04(ωa·(2πc)-1)，中心頻率為0．227 5(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為17．58%。圓柱折射率取值2．15時，出現(xiàn)第2條禁帶，對應(yīng)最大帶寬為0．07(ωa·(2πc)-1)，中心頻率為0．387 7 (ωa·(2πc)-1)，帶隙率為18．06%。圓柱折射率取值2．55時，出現(xiàn)第3條禁帶，對應(yīng)最大帶寬為0．067 6(ωa·(2πc)-1)，中心頻率為0．571 71(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為11．82%。通過分析數(shù)據(jù)可以得到以下結(jié)論:增加圓柱折射率是擴大禁帶帶寬、提高帶隙率的有效手段之一，在設(shè)計時應(yīng)該盡可能選用折射率較大的材料。

圖2 禁帶隨正方排列介質(zhì)圓柱半徑和折射率的變化Fig.2 Effect of the radius and refractive index of square lattice dielectric cylinders on band gap

2．2 二維正方排列介質(zhì)圓柱復(fù)式結(jié)構(gòu)的禁帶分析

2．2．1 介質(zhì)圓柱半徑對禁帶的影響

利用軟件進行仿真，對相關(guān)參數(shù)進行初始化設(shè)置，其中晶格周期為a，介質(zhì)圓柱的介電常數(shù)為11．4，使其置于空氣環(huán)境中，取半徑步長為0．01a，圖3a為該結(jié)構(gòu)下禁帶隨半徑變化的規(guī)律圖。

從圖3a可以看到，代表TM禁帶的淺色部分面積很大，處于主導(dǎo)地位。該結(jié)構(gòu)下TM禁帶存在的半徑范圍非常大，在仿真中所設(shè)的半徑起止范圍內(nèi)這條禁帶始終存在。當(dāng)半徑逐漸增大時，該禁帶的中心頻率逐漸低頻化，帶寬先增大后減小，呈棗核形分布。當(dāng)半徑為0.27a時，帶寬取得最大值為0．1 (ωa·(2πc)-1)，對應(yīng)中心頻率為0．28(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為38．4%。半徑處于0．33a～0．5a范圍內(nèi)存在一條帶寬較窄的TE禁帶，當(dāng)半徑為0．45a時，其帶寬最大值約為0．018 5(ωa·(2πc)-1)，中心頻率為0．25(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為7．4%。不同于正方排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)的TM禁帶帶寬和且半徑范圍較大，同時出現(xiàn)了TE禁帶，雖然帶寬較窄，但為產(chǎn)生完全禁帶提供了可能。

2.2.2 介質(zhì)柱折射率對禁帶的影響

保持晶格周期不變，設(shè)置圓柱半徑值為0.5a，折射率步長為0．1，此時介質(zhì)柱折射率對禁帶的影響如圖3b所示。當(dāng)介質(zhì)柱折射率逐漸增大時，TM和TE禁帶的中心頻率均出現(xiàn)低頻化趨勢。

圖3 復(fù)式結(jié)構(gòu)圓柱半徑和折射率對禁帶的影響Fig.3 Effect of the radius and refractive index of cylinders of themultiple structure on band gap

對于TM禁帶，帶寬在折射率小于2.5的范圍內(nèi)逐漸增大，折射率增大到2.5后禁帶帶寬趨于平穩(wěn)，為0.013(ωa·(2πc)-1)，帶隙率隨介質(zhì)柱折射率的增大始終增大。在此結(jié)構(gòu)下共出現(xiàn)兩條TE禁帶，第1條帶寬在折射率小于3.5的范圍內(nèi)逐漸增大，大于3.5逐漸減小。對于第2條TE禁帶，帶寬在折射率小于4的范圍內(nèi)逐漸增大，當(dāng)折射率達到4時，帶寬趨于平穩(wěn)，帶隙率不斷增大。從圖3b可以看到，該結(jié)構(gòu)在折射率為3.67～4.6范圍內(nèi)出現(xiàn)了完全禁帶，隨著折射率增大，中心頻率向低頻移動，帶寬先增大后減小，當(dāng)折射率為4.1時，有最大值0.01(ωa·(2πc)-1)，中心頻率為0．150 5(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為6．64%。

該復(fù)式結(jié)構(gòu)不但出現(xiàn)了TE禁帶，并且產(chǎn)生了完全禁帶(盡管帶寬較窄)。通過以上分析可知:使用折射率大的材料易于獲得完全禁帶。

2.3 二維三角排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)的禁帶分析2.3.1 介質(zhì)圓柱半徑對禁帶的影響

圖1c為二維三角排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)，設(shè)定晶格周期為a，介質(zhì)圓柱的折射率為3．24，取半徑步長為0．01a，光子晶體置于空氣中，圖4a為該結(jié)構(gòu)下禁帶隨半徑變化的規(guī)律圖。可以看到，代表TM禁帶的淺色部分處主導(dǎo)地位，其中心頻率均隨介質(zhì)圓柱半徑的增加而降低，禁帶帶寬先增大后減小，呈棗核形分布。在低頻區(qū)主要存在兩條禁帶。第1條處于半徑在0．06a～0．43a的范圍內(nèi)，當(dāng)半徑為0．149a時，具有帶寬最大值為0．188(ωa·(2πc)-1)，對應(yīng)中心頻率為0．439(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為42．82%。第2條處于半徑在0．21a～0．44a的范圍內(nèi)，當(dāng)半徑為0．29a時，具有帶寬最大值為0．123(ωa·(2πc)-1)，對應(yīng)中心頻率為0．51(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為24．12%?？梢钥闯觯啾扔谡脚帕薪橘|(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)，三角排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)每條TM模的最大禁帶帶寬都有所增加，帶隙率也相應(yīng)增大。

2.3.2 介質(zhì)柱折射率對禁帶的影響

設(shè)定晶格周期為a，取折射率步長為0．05，當(dāng)取定圓柱半徑為0．29a時，禁帶隨介質(zhì)圓柱折射率變化趨勢如圖4b所示。該結(jié)構(gòu)主要有3條TM禁帶。禁帶中心頻率隨著折射率的增加而降低，帶寬與帶隙率均增大。第1條禁帶在折射率為3.24時，帶寬達到0.096 8(ωa·(2πc)-1)，對應(yīng)中心頻率為0．291 3 (ωa·(2πc)-1)，帶隙率為33．23%。第2條禁帶在折射率為3．24時，帶寬為0．123 7，對應(yīng)中心頻率為0．5(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為24．74%。第3條禁帶在折射率為3．24時，帶寬為0．1(ωa·(2πc)-1)，對應(yīng)中心頻率為0．739(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為13．53%。該結(jié)構(gòu)下光子晶體不存在TE禁帶。通過以上分析可知:為提高禁帶帶寬和帶隙率，應(yīng)該選用高折射率材料。

圖4 三角排列介質(zhì)圓柱半徑和折射率對禁帶的影響Fig.4 Effect of the radius and refractive index of triangular lattice dielectric cylinders on band gap

2.4 二維蜂窩圓柱結(jié)構(gòu)的禁帶分析

對三角排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)加以改變，所得即為圖1d所示的新結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)由多個六邊形緊密排列形成，形狀似蜜蜂窩，故稱之為蜂窩結(jié)構(gòu)。

2.4.1 介質(zhì)圓柱半徑對禁帶的影響

設(shè)定晶格周期為a，介質(zhì)圓柱介電常數(shù)為11．4，取半徑步長為0．01a，光子晶體置于空氣中，圖5a為該結(jié)構(gòu)下介質(zhì)圓柱半徑的變化對禁帶的影響?？梢钥吹?，該結(jié)構(gòu)下主要存在兩條完全禁帶。其中在半徑為0．19a～0．35a的范圍內(nèi)存在較大的完全禁帶，禁帶中心頻率隨著半徑的增大而降低，帶寬先增大后減小，呈棗核形分布，其最大帶寬為0．052 2(ωa·(2πc)-1)，當(dāng)半徑為0．25a時，對應(yīng)中心頻率為0．554 8(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為9．4%。第2條完全禁帶在半徑為0．274a～0．425a范圍內(nèi)存在。分布特點與第一條相似，當(dāng)半徑達到0．35a時，具有最大帶寬為0．023 6(ωa·(2πc)-1)，對應(yīng)中心頻率為0．383 4(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為6．155%。

2．4．2 介質(zhì)柱折射率對禁帶的影響

通過分析可看出:禁帶中心頻率隨著圓柱折射率的增大而降低，帶寬和帶隙率隨之增大。介質(zhì)柱折射率對蜂窩結(jié)構(gòu)光子晶體影響如圖5b所示，設(shè)定晶格周期為a，圓柱半徑為0．25a，光子晶體置于空氣環(huán)境中。通過圖5b可知，該結(jié)構(gòu)下折射率對禁帶的影響與之前的結(jié)論存在差異。該結(jié)構(gòu)下主要存在兩條完全禁帶。其中第1條存在于折射率為4.05～5的范圍內(nèi)，該完全禁帶中心頻率隨著折射率的增大而降低，帶寬與帶隙率逐漸增加。第2條較大的完全禁帶存在于折射率為2.9～5的范圍內(nèi)，其禁帶中心頻率隨折射率的變化趨勢與第1條完全禁帶類似，但帶寬先增大后減小，呈棗核形分布，當(dāng)折射率為3.4時，最大帶寬為0.055(ωa·(2πc)-1)，對應(yīng)中心頻率為0．554 2(ωa·(2πc)-1)，帶隙率為9．92%。

圖5 蜂窩結(jié)構(gòu)介質(zhì)圓柱半徑和折射率對禁帶的影響Fig.5 Effect of the radius and refractive index of honeycomb dielectric cylinders on band gap

3 幾種結(jié)構(gòu)禁帶的比較

對于介質(zhì)柱結(jié)構(gòu)，降低禁帶中心頻率的方法有兩種:增大介質(zhì)圓柱半徑和增加介質(zhì)柱折射率。正方排列介質(zhì)圓柱只存在TM禁帶，而其復(fù)式結(jié)構(gòu)可同時產(chǎn)生TM禁帶和TE禁帶，但TE禁帶帶寬較窄。當(dāng)介質(zhì)圓柱半徑為0.5a、折射率大于3.67時，存在一條完全禁帶，對應(yīng)帶隙率為6.64%。與正方排列結(jié)構(gòu)相比，三角排列介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)的TM禁帶帶寬與帶隙率均有所增大。蜂窩結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了多條TE禁帶，其形成的兩條完全禁帶具有較大帶寬，當(dāng)介質(zhì)圓柱半徑為0.25a、介質(zhì)圓柱折射率為3.4時，其中完全禁帶有最大帶隙率9.92%。

4 結(jié) 語

對于介質(zhì)柱結(jié)構(gòu)，降低禁帶中心頻率的方法有兩種:增大介質(zhì)圓柱半徑和增加介質(zhì)柱折射率。采用復(fù)式介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu)可以有效增加TM禁帶的帶寬，并有利于形成TE禁帶和完全禁帶。對于正方排列介質(zhì)圓柱復(fù)式結(jié)構(gòu)，當(dāng)介質(zhì)圓柱半徑為0.5a、介質(zhì)圓柱折射率大于3．67時，存在一條帶隙率為6．64%左右的完全禁帶;對于蜂窩結(jié)構(gòu)，當(dāng)介質(zhì)圓柱半徑為0．25a、介質(zhì)圓柱折射率為3.4時，其完全禁帶有最大帶隙率9.92%。由此可見，改變晶胞結(jié)構(gòu)，降低結(jié)構(gòu)對稱性是尋求完全禁帶的一種可行方法。

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(責(zé)任編輯:張潔)

Research of Band Gap in Compound Two-Dimensional Photonic Crystal Based on Dielectric Cylinder Structure

WANG Yuanyuan1，ZHANG Lixin2，WANG Yiyang3，YAN Zhiyu3，HE Xiaodong3

(1.College of Medical Informatics，Hainan Medical University，Haikou 571199，China; 2.Department of Management，Jilin Provincial Radiation Environmental Supervision Station，Changchun 130012，China; 3.College of Communication Engineering，Jilin University，Changchun130012，China)

In order to quest for large band gap or complete band gap of two-dimensional photonic crystal，the band gap of the structure in two-dimensional square lattice and triangular latticewith dielectric cylinder using the plane wavemethod，and the band gap of the compound structure by changing the unite cell are studied.Results show that to the dielectric rod，themiddle frequencies of the band gap will reducewith the increase of the radius and refractive index of the dielectric rod.The compound dielectric cylinder structure has big TM(Transverse Magnetic)band gap，and itmakes TE(Transverse Electric)band gap and the formation of thismake complete band gap be possible.Changing the unite cell to reduce the symmetry of the structure is a feasible method to quest for complete band gap.

photonic crystal;two-dimensional photonic crystal;plane wave method;band gap;complete band gap

TN248

A

1671-5896(2015)06-0668-07

2015-04-16

長春市國際合作科技計劃基金資助項目(2009GH12)

王媛媛(1984— )，女，?？谌耍Ｄ厢t(yī)學(xué)院講師，主要從事材料的設(shè)計及性能研究，(Tel)86-13136011039(E-mail) 232919859@qq.com;通訊作者:何曉東(1963— )，女，長春人，吉林大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事全光通信網(wǎng)的關(guān)鍵技術(shù)和器件、光子晶體及器件研究，(Tel)86-13069003226(E-mail)hexiaodong220@163.com。