孫鳳琪

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平136000)

時變時滯不確定奇異攝動系統(tǒng)的保性能控制

孫鳳琪

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平136000)

為了保持魯棒穩(wěn)定且滿足一定的性能指標要求，對具有范數(shù)有界不確定性參數(shù)的不確定時滯奇異攝動控制系統(tǒng)，進行保性能控制分析。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論及矩陣分析方法，設(shè)計系統(tǒng)二次性能指標，構(gòu)造了Lyapunov-Krasovskii泛函，給出了系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件求解定理以及狀態(tài)反饋保性能控制律，得到了性能指標最小上界，均用線性矩陣不等式形式給出。數(shù)值樣例表明，該方法對所研究系統(tǒng)保性能控制有效，可推廣到多狀態(tài)滯后以及時變滯后的不確定系統(tǒng)的保性能控制問題。

時滯系統(tǒng);線性矩陣不等式;Lyapunov-Krasovskii泛函;時滯依賴;保性能控制率;最優(yōu)控制;Schur補引理

0 引 言

隨著工業(yè)制造業(yè)的大規(guī)模發(fā)展，自動控制理論的應(yīng)用越來越廣泛［1］，近年來，己經(jīng)形成以計算機為管理控制中心、自動控制系統(tǒng)為主導(dǎo)的高復(fù)雜性的工業(yè)控制體系［1-3］，其控制技術(shù)己廣泛融入到人們的日常生活中。

以最優(yōu)控制為核心的現(xiàn)代控制理論形成了眾多的分支［4］，其中包括:最優(yōu)次優(yōu)控制、保性能控制、自適應(yīng)控制、魯棒控制、預(yù)測控制以及智能控制等。其中保性能控制，既實現(xiàn)某些期待的性能控制指標，又保證了性能要求而受到普遍重視。

在設(shè)計控制系統(tǒng)時，由于種種原因，想要得到系統(tǒng)在外界干擾下的精確數(shù)學(xué)模型是不可能的。系統(tǒng)的不確定性是普遍存在的，比如控制對象的模型化誤差和未知參數(shù)以及傳感器噪聲和外部擾動等。因此，控制系統(tǒng)的分析與實現(xiàn)，必須考慮存在未知不確定性的情況下，系統(tǒng)是否仍能穩(wěn)定并滿足所希望的性能要求。即實際系統(tǒng)模型中不僅含有時滯，還含有不確定性，這類系統(tǒng)統(tǒng)稱為時變時滯不確定系統(tǒng)［5］。

文獻［6］研究了定常時滯奇異攝動系統(tǒng)的保性能控制問題，而筆者研究了含時變時滯的不確定奇異攝動控制系統(tǒng)的保性能控制(GCC:Guaranteed Cost Control)問題。

1 時變時滯不確定奇異攝動控制系統(tǒng)

考慮下列系統(tǒng)

其中D、E1、Ed是已知的適當維數(shù)的實常矩陣，表示不確定性的結(jié)構(gòu)信息，d(t)是時變時滯可微函數(shù)，滿足條件

這里τ和μ是已知常數(shù)。F(t)∈Ri×j是范數(shù)有界的不確定系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣，具有如下結(jié)構(gòu)

其他條件與文獻［6］中系統(tǒng)(1)相同。性能指標設(shè)為

2 保性能控制

定理1 給定ˉε＞0，對于系統(tǒng)(1)和性能指標(2)，若存在適當維數(shù)的矩陣K，對稱正定矩陣S＞0，M＞0和Zi(i=1，2，…，5)且Zi=ZiT(i=1，2，3，4)，滿足下列LMIs條件

其中“*”代表對角位置處矩陣的轉(zhuǎn)置。

其中

則u(t)=Kx(t)即為系統(tǒng)(1)的一個狀態(tài)反饋保性能控制律，并且閉環(huán)性能指標滿足J≤J*。其中

把V(x(t))沿著閉環(huán)系統(tǒng)(3)的任意軌跡進行微分，得

其中

由已知式(7)、式(8)得

即

故有

證畢。

與文獻［7］中的式(7)作類似推理，可得

式(10)關(guān)于變量是線性的，即得如下定理。

3算 例

例1 考慮系統(tǒng)(1)，其中取

設(shè)μ=0．1，τ=1，ˉε=0．2．應(yīng)用定理2，可以得到

則

就是系統(tǒng)(1)的一個狀態(tài)反饋保性能控制律，并且閉環(huán)性能指標滿足J≤J*，其中

若在系統(tǒng)(1)中把E(ε)去掉，則系統(tǒng)就變?yōu)橐话銧顟B(tài)下、帶有控制輸入的變時滯控制系統(tǒng)

對該系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究已在文獻［7］解決。至于該系統(tǒng)的保性能控制，只需把式(2)中Z(ε)改為

形式，相應(yīng)修改L-Y泛函，再作類似推導(dǎo)即可，在此不再贅述。

4 結(jié) 語

筆者對時變時滯奇異攝動系統(tǒng)的保性能控制進行了研究，設(shè)計一種新的無記憶二次L-Y性能指標，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論以及矩陣分析方法，得到了閉環(huán)系統(tǒng)時滯相關(guān)情況下的狀態(tài)反饋保性能控制律和性能指標上界，最后，用數(shù)值樣例說明該方法的優(yōu)越性和可行性。

此外，該方法可為多狀態(tài)滯后不確定系統(tǒng)［8-15］的保性能控制問題的研究提供理論參考。

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(責(zé)任編輯:張潔)

Guaranteed Cost Control for Singularly Perturbed Uncertainty Control Systemswith Time-Varying Time-Delay

SUN Fengqi

(Department of Mathematics，Jilin Normal University，Siping 136000，China)

In order to maintain robust stability while meeting certain performance index requirements，the problem of guaranteed cost control for time-varyiong time delay singularly perturbed systems with norm bounded uncertainty parameters is discussed.Using Lyapunov stability theory andmatrix analysismethod，based on a new quadratic L-Y performance index，the sufficient quadratic stability conditions，state feedback guaranteed cost control rate and the guaranteed cost index is presented by showed LMIs，and the minimum performance indication upper bound is derived.Themethod of the dissertation can be extended tomulti-state delay uncertain systems guaranteed cost control problems，the numerical examples are employed to elaborate that thismethod is effective.

time-delay system;linear matrix inequality(LMI);Lyapunov-Krasovskii functional;delaydependent;guaranteed cost control law;optimal control;Schur complement Lemma

TP2

A

1671-5896(2015)06-0637-07

2015-03-20

中國高校基本科研基金資助項目(N100406010)

孫鳳琪(1968— )，女，吉林樺甸人，吉林師范大學(xué)教授，博士，主要從事時滯奇異攝動控制系統(tǒng)穩(wěn)定性研究，(Tel)86-13604346519(E-mail)jlsdsfq@163.com。