隋 振，李 聰，王 靜

(吉林大學(xué)通信工程學(xué)院，長(zhǎng)春130022)

凸輪磨削的仿形跟蹤誤差補(bǔ)償

隋 振，李 聰，王 靜

(吉林大學(xué)通信工程學(xué)院，長(zhǎng)春130022)

為提高凸輪磨削的加工精度，減小凸輪的輪廓誤差，并進(jìn)一步提高磨削系統(tǒng)的魯棒性，采用了新的誤差補(bǔ)償方法-仿形跟蹤誤差補(bǔ)償，將實(shí)際的仿形跟蹤誤差值補(bǔ)償?shù)絏軸的給定數(shù)值序列。運(yùn)用Matlab搭建了兩軸聯(lián)動(dòng)反饋系統(tǒng)，并設(shè)計(jì)模糊PID(Proportional-Integral-Derivative)控制器以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的在線補(bǔ)償。采用一種形狀較難加工的凸輪片作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象驗(yàn)證補(bǔ)償效果和控制器的性能。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法不僅能有效減小凸輪的輪廓誤差，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，并且使系統(tǒng)的響應(yīng)速度加快，與傳統(tǒng)PID控制器相比還具有較好的魯棒性。

仿形跟蹤誤差補(bǔ)償;凸輪磨削;模糊PID;魯棒性

0 引 言

凸輪作為各種自動(dòng)化機(jī)械中廣泛應(yīng)用的零部件，對(duì)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)起到了至關(guān)重要的作用。目前多運(yùn)用加工中心及專用凸輪磨床加工凸輪零部件，其加工過程涉及到工件旋轉(zhuǎn)軸C軸和砂輪進(jìn)給軸X軸的兩軸配合問題，兩個(gè)運(yùn)動(dòng)軸在加工過程中難免會(huì)各自產(chǎn)生誤差，每個(gè)運(yùn)動(dòng)軸上產(chǎn)生的微小誤差累積到凸輪輪廓上就會(huì)產(chǎn)生較大的輪廓誤差。

為此，提高加工精度的一種方法是提高每個(gè)運(yùn)動(dòng)軸的跟蹤精度，力求每個(gè)運(yùn)動(dòng)軸都具有良好的快速動(dòng)態(tài)跟蹤性能。文獻(xiàn)［1］在這一思想基礎(chǔ)上提出了一種跟蹤控制器，它集零相位誤差跟蹤控制及干擾觀測(cè)器于一身，以每個(gè)軸的精度為出發(fā)點(diǎn)，利用逐個(gè)提高各運(yùn)動(dòng)軸的跟蹤精度滿足加工精度。另一種方法是提高兩運(yùn)動(dòng)軸的配合精度，該方法在一定程度上可以忽略單軸的跟蹤誤差，只要兩個(gè)運(yùn)動(dòng)軸實(shí)現(xiàn)同步，即可提供較高的加工精度。傳統(tǒng)方法是由Koren［2］首先發(fā)表的交叉耦合控制算法(CCC:Cross-Coupled Control)，文獻(xiàn)［3-5］依據(jù)這種策略對(duì)交叉耦合進(jìn)行了進(jìn)一步的探討與應(yīng)用，其思想是由各運(yùn)動(dòng)軸的速度誤差推導(dǎo)出輪廓誤差，再將經(jīng)各種補(bǔ)償方案以及補(bǔ)償算法計(jì)算出的補(bǔ)償量分配到各個(gè)運(yùn)動(dòng)軸。文獻(xiàn)［6］將變?cè)鲆娼徊骜詈峡刂扑惴☉?yīng)用于精密機(jī)床，其特點(diǎn)是在保證位置環(huán)結(jié)構(gòu)和參數(shù)不變的前提下，提高機(jī)床的加工精度。文獻(xiàn)［7］提出了一種位置誤差控制器聯(lián)合模糊進(jìn)給調(diào)節(jié)器的整體方案，其位置誤差控制部分是一種改進(jìn)的CCC控制器，該方案雖然有效地提高了加工精度，但大大增加了系統(tǒng)的復(fù)雜程度，實(shí)現(xiàn)成本較高。文獻(xiàn)［8］同時(shí)運(yùn)用CCC與模型參考自適應(yīng)算法，通過實(shí)時(shí)估計(jì)誤差信息，針對(duì)進(jìn)給量進(jìn)行實(shí)時(shí)的修正，從而提高凸輪的加工精度。筆者基于仿形跟蹤誤差補(bǔ)償方法設(shè)計(jì)了模糊控制器，仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方案能有效地提高輪廓加工精度，并能提高系統(tǒng)的魯棒性。

1 仿形跟蹤誤差補(bǔ)償結(jié)構(gòu)及模型

實(shí)際凸輪磨床系統(tǒng)中，C軸作為系統(tǒng)的主導(dǎo)軸，X軸作為從動(dòng)軸，X軸對(duì)C軸的跟蹤一般有兩種方式:一是X軸跟蹤C(jī)軸輸入的理論值;二是X軸跟蹤C(jī)軸的實(shí)際輸出值。這兩種跟蹤方式針對(duì)不同的系統(tǒng)及不同的工件各有優(yōu)點(diǎn)。凸輪的加工精度主要受X軸對(duì)C軸實(shí)際輸出的跟蹤精度影響，其跟蹤誤差越小，凸輪的加工精度越高。因此如何提高X軸對(duì)C軸實(shí)際輸出的跟蹤精度，努力實(shí)現(xiàn)兩運(yùn)動(dòng)軸的良好配合則成為提高其加工精度的關(guān)鍵。筆者定義了仿形跟蹤誤差，即砂輪中心點(diǎn)實(shí)際坐標(biāo)與砂輪中心點(diǎn)應(yīng)處坐標(biāo)值之差，提出仿形跟蹤誤差補(bǔ)償，結(jié)合兩種跟蹤方式，結(jié)構(gòu)上利用X軸跟蹤C(jī)軸輸入的理論值，同時(shí)將X軸的仿形跟蹤誤差反饋到X軸的輸入序列，從而提高從動(dòng)軸X軸對(duì)主導(dǎo)軸C軸實(shí)際值的跟蹤精度。該名稱來源于其工作特點(diǎn)類似于仿形加工中刀具的運(yùn)動(dòng)軌跡是未知的，通過測(cè)量設(shè)備實(shí)時(shí)測(cè)量模具獲得，而該系統(tǒng)中X軸實(shí)際跟蹤的曲線也是由理論值和C軸實(shí)際運(yùn)行情況共同決定的(見圖1)。由于模糊PID控制器可根據(jù)不同工況對(duì)自身的3個(gè)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，從而提高系統(tǒng)的魯棒性，因此，利用其作為仿形跟蹤誤差補(bǔ)償器。此外，工件旋轉(zhuǎn)的速度同樣是影響凸輪加工精度的重要因素，筆者采用的仿形跟蹤誤差補(bǔ)償是從補(bǔ)償?shù)慕嵌瓤紤]問題，為了驗(yàn)證補(bǔ)償?shù)男Ч?，需要在恒轉(zhuǎn)速實(shí)驗(yàn)條件基礎(chǔ)上進(jìn)行。

圖1 仿形跟蹤誤差補(bǔ)償框圖Fig.1 The diagram of profiling tracking error compensation

圖2 仿形跟蹤誤差模型示意圖Fig.2 The diagram of profiling tracking errormodel

由于運(yùn)動(dòng)軸各自會(huì)存在滯后，C軸和X軸的輸出都不能完全跟蹤給定值，然而一旦凸輪輪廓確定，便可根據(jù)其升程表得到砂輪中心點(diǎn)X關(guān)于工件旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度C的函數(shù)X(C)，該函數(shù)僅由凸輪的形狀決定。因此即便兩軸的跟蹤性能不讓人滿意，只要砂輪中心點(diǎn)的實(shí)際位置X能跟蹤C(jī)軸的實(shí)際旋轉(zhuǎn)角度對(duì)應(yīng)的X(C)函數(shù)值，就能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)軸的良好配合。而兩運(yùn)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)狀況可以體現(xiàn)凸輪的輪廓誤差，因此將兩運(yùn)動(dòng)軸的狀態(tài)繪制成類似于升程曲線的圖像(見圖2)。

圖2中實(shí)線是兩運(yùn)動(dòng)軸的理論運(yùn)動(dòng)曲線，虛線是系統(tǒng)實(shí)際工作對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)曲線，e是仿形跟蹤誤差。

由公式

可知，通過減小仿形跟蹤誤差，能減小輪廓誤差。ε為輪廓誤差，k是仿形跟蹤誤差和凸輪輪廓誤差之間的相關(guān)系數(shù)，其絕對(duì)值不大于1。θi是某時(shí)刻C軸實(shí)際的旋轉(zhuǎn)角度，Xi是凸輪在這一角度時(shí)砂輪中心點(diǎn)的理論位置，X'i是該時(shí)刻砂輪中心點(diǎn)的實(shí)際位置。

2 模糊PID控制器設(shè)計(jì)

模糊控制理論作為智能控制領(lǐng)域中的重要成員，其主要思想是將定量問題模糊化后，經(jīng)過相應(yīng)的邏輯推理，再將推理得到的結(jié)論經(jīng)過解模糊器定量輸出，從而實(shí)現(xiàn)令人滿意的控制效果。模糊控制與傳統(tǒng)控制方式相比具有對(duì)被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型的精確性要求不高、控制方法易于掌握、有較好的魯棒性等優(yōu)點(diǎn)［9］。

應(yīng)用于本文的模糊控制原理如圖3所示。

圖3 模糊PID控制器在凸輪磨削系統(tǒng)中的應(yīng)用Fig.3 The fuzzy PID controller using in cam grinding system

由圖3可知，將量化后的仿形跟蹤誤差及仿形跟蹤誤差的變化率作為模糊控制器的輸入，再經(jīng)過模糊器、模糊推理機(jī)、解模糊器、輸出量化因子，最后輸出3個(gè)參數(shù)的增量，從而實(shí)現(xiàn)在線整定，以滿足控制器在不同工況下的要求。PID(Proportional-Integral-Derivative)控制器的初始值可由實(shí)驗(yàn)確定一組效果較理想的組合

2．1 輸入量和輸出量的變化區(qū)間

為體現(xiàn)補(bǔ)償方式結(jié)合模糊控制器的控制效果，筆者采用如圖4所示的凸輪片作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，由于這種凸輪形狀不對(duì)稱，且表面部分凹陷，因此加工難度較高。

找到所確定的輸入量和輸出量變化的區(qū)間，這是系統(tǒng)實(shí)際的范圍，然后為了將這些區(qū)間量化到合適的離散區(qū)間，因此需要設(shè)計(jì)比例因子和量化因子［11］。利用Matlab-Simulink進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)的方法得出仿形跟蹤誤差e及其變化率ec在簡(jiǎn)單閉環(huán)控制下的變化范圍。為驗(yàn)證魯棒性，于C軸轉(zhuǎn)角為200°時(shí)，與C軸加入階躍擾動(dòng)，實(shí)驗(yàn)設(shè)置C軸的轉(zhuǎn)速10°/s。

模糊控制器輸入和輸出的模糊子集論域分別為

圖4 凸輪形狀示意圖Fig.4 The diagram of cam

圖5，圖6分別為簡(jiǎn)單閉環(huán)控制下仿形跟蹤誤差和誤差變化率的變化范圍。從圖5和圖6可看出，仿形跟蹤誤差e的范圍是(-0.01，0.01)，仿形跟蹤誤差變化率ec的取值范圍是(-0.5，0.4)，兩個(gè)輸入的論域都可確定為(-3，-2，-1，0，1，2，3)。由此確定實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中輸入的量化因子。

圖5 簡(jiǎn)單閉環(huán)控制下仿形跟蹤誤差變化范圍Fig.5 The profiling tracking error rangewith the simple closed loop control

圖6 簡(jiǎn)單閉環(huán)控制下仿形跟蹤 誤差變化率的變化范圍Fig.6 The range of profiling tracking loop control error variety-rate with the simple closed

為確定輸出量的變化區(qū)間，分別針對(duì)PID3個(gè)參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)，確定其變化范圍。先確定比例系數(shù)Kp的取值范圍，圖7是取不同比例系數(shù)情況下系統(tǒng)的仿形跟蹤誤差。圖8為不同積分系數(shù)下的仿形跟蹤誤差。

圖7 不同比例系數(shù)下的仿形跟蹤誤差Fig.7 Profiling tracking error under different proportional coefficients

圖8 不同積分系數(shù)下的仿形跟蹤誤差Fig.8 Profiling tracking error under different integral coefficients

從圖7可以看出，隨著Kp的增大，穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)相應(yīng)減小，但動(dòng)態(tài)過程會(huì)延長(zhǎng)，可確定Kp的范圍為(0，1．5)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，初始值K'p可確定為0．5。

圖9為不同微分系數(shù)下的仿形跟蹤誤差。由圖9可以看出，Kd大于0．3時(shí)，仿形跟蹤誤差會(huì)增加，在擾動(dòng)作用下會(huì)產(chǎn)生激烈的振蕩，因此可以確定微分系數(shù)的范圍(0，0．3)，取初始值K'd=0．1。因而將Gkp，Gki，Gkd分別取1。

模糊器采用三角形隸屬度函數(shù)，其函數(shù)圖形由圖10所示。

圖9 不同微分系數(shù)下的仿形跟蹤誤差Fig.9 Profiling tracking error under different differential coefficients

圖10 三角形隸屬度函數(shù)Fig.10 Triangularmembership function

2．3 語言變量和隸屬度函數(shù)的確定

針對(duì)這一步驟，首先應(yīng)確定語言變量，再確定語言變量的模糊值，最后挑選其隸屬度函數(shù)。對(duì)本系統(tǒng)，語言變量確定為仿形跟蹤誤差e及仿形跟蹤誤差變化率ec，語言變量值取NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB 7個(gè)模糊值;輸出語言變量為Δkp、Δki、Δkd，語言變量值也取NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB 7個(gè)模糊值［10］。

模糊器為模糊推理環(huán)節(jié)提供輸入，筆者運(yùn)用三角形模糊器，三角形隸屬函數(shù)運(yùn)算較簡(jiǎn)單，對(duì)系統(tǒng)要求不高，并具有較好的性能，所以適合用于在線調(diào)整。

2.4 模糊規(guī)則的編譯

編譯模糊規(guī)則是比較困難的一步，每條規(guī)則都會(huì)影響到系統(tǒng)的輸出。此外模糊規(guī)則主要來源于實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，所以，要求對(duì)系統(tǒng)的實(shí)際情況相當(dāng)了解。在不斷地調(diào)試規(guī)則后得到最理想的輸出性能，才算是確定了最佳的模糊規(guī)則［12］。

PID控制規(guī)律為

控制輸出由以下3部分組成［11，12］。

比例環(huán)節(jié)。其值的大小決定了系統(tǒng)的響應(yīng)速度和精度，但一味地追求過高的速度可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。需根據(jù)實(shí)際的工作狀況選擇合適的大小。

積分環(huán)節(jié)。根據(jù)系統(tǒng)的歷史狀態(tài)實(shí)現(xiàn)消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的目的。其作用的強(qiáng)弱取決于KI的大小，與KP相似，倘若其值過大，也可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

微分環(huán)節(jié)。由于此處以變化率作為依據(jù)，因此能起到一定的預(yù)測(cè)作用，在變化發(fā)生前就能給出一個(gè)提前的校正信號(hào)。但由于其對(duì)變化率敏感，可能導(dǎo)致系統(tǒng)震蕩。

通過對(duì)這3個(gè)環(huán)節(jié)工作特點(diǎn)的分析，并結(jié)合凸輪磨削的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過反復(fù)的調(diào)整和實(shí)驗(yàn)，可編譯出較為理想的模糊推理規(guī)則，該規(guī)則反映了仿形跟蹤誤差及仿形跟蹤誤差變化率在各種可能的工作情況之下，PID 3個(gè)參數(shù)各自變化的趨勢(shì)。建立Δkp、Δki、Δkd的模糊規(guī)則(見表1～表3)。

表1 Δkp模糊規(guī)則表Tab.1 Sheet ofΔkp's fuzzy rules

表2 Δki模糊規(guī)則表Tab.2 Sheet ofΔki's fuzzy rules

表3 Δkd模糊規(guī)則表Tab.3 Sheet ofΔkd's fuzzy rules

Δkp、ΔkiΔkd的非線性對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖11所示。

圖11 Δkp、Δki、Δkd與E及Ec的非線性對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.11 Nonlinear corresponding relations betweenΔkp，Δki，Δkdand E，Ec

3 仿真實(shí)驗(yàn)

筆者運(yùn)用Matlab中Simulink以及fuzzy工具箱搭建磨削系統(tǒng)［13-16］。由于凸輪的誤差與兩軸的運(yùn)行速度有關(guān)，通常磨削速度越快，仿形跟蹤誤差越大，相應(yīng)的輪廓誤差也越大。為了驗(yàn)證補(bǔ)償器的補(bǔ)償效果，可將實(shí)驗(yàn)條件設(shè)為恒轉(zhuǎn)速磨削，C軸轉(zhuǎn)速可設(shè)為10°/s。為驗(yàn)證控制器的魯棒性，于C軸轉(zhuǎn)角為200°的時(shí)刻，分別在主導(dǎo)軸C軸和進(jìn)給軸X軸加入階躍擾動(dòng)，觀察其抗擾性能。

圖12和圖13是擾動(dòng)發(fā)生在C軸時(shí)，僅反饋無控制器、常規(guī)PID及模糊PID幾種情況下仿形跟蹤誤差的對(duì)比圖。可以看出，僅利用筆者提出的仿形跟蹤誤差補(bǔ)償方式，仿形跟蹤誤差e能控制在10μm以內(nèi)，結(jié)合常規(guī)PID控制器，該補(bǔ)償方式又將仿形跟蹤誤差降低到5μm以內(nèi)。圖13可以觀察到各種方案抗擾性能的差異，與其他兩種方案相比，結(jié)合模糊PID的跟蹤補(bǔ)償讓系統(tǒng)的魯棒性更加理想。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證控制器的性能，改變實(shí)驗(yàn)條件，擾動(dòng)發(fā)生在進(jìn)給軸X軸時(shí)，觀察仿形跟蹤誤差的變化。圖14、圖15為擾動(dòng)發(fā)生在x軸時(shí)系統(tǒng)抗擾性能對(duì)比圖。同樣是在主導(dǎo)軸C軸轉(zhuǎn)角為200°的時(shí)刻加入擾動(dòng)，從圖14和圖15可以看到，沒有擾動(dòng)時(shí)，僅采用仿形跟蹤誤差補(bǔ)償方式而不結(jié)合任何控制器，仿形跟蹤誤差是10μm以內(nèi)，而結(jié)合控制器的后兩種方案均能將仿形跟蹤誤差限制在5μm以內(nèi);在200°時(shí)刻X軸發(fā)生擾動(dòng)后，結(jié)合模糊PID控制器的仿形跟蹤誤差補(bǔ)償方式仍能將仿形跟蹤誤差控制在5μm以內(nèi)，而其他兩種方案均無法達(dá)到這個(gè)精度。

圖12 C軸有擾動(dòng)時(shí)仿形跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.12 The diagram of profiling tracking error comparison when C axiswith disturbance

圖13 C軸有擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)抗擾性能對(duì)比圖Fig.13 The diagram of anti-disturbance performance comparison when C axiswith disturbance

圖14 X軸有擾動(dòng)時(shí)仿形跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.14 The diagram of profiling tracking error comparison when X axiswith disturbance

圖15 X軸有擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)抗擾性能對(duì)比圖Fig.15 The diagram of anti-disturbance performance comparison when X axiswith disturbance

4 結(jié) 語

通過對(duì)凸輪輪廓誤差與仿形跟蹤誤差關(guān)系的研究，提出了計(jì)算簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的新補(bǔ)償方式-仿形跟蹤誤差補(bǔ)償，建立了在線反饋仿真系統(tǒng)，利用仿形跟蹤誤差補(bǔ)償結(jié)合模糊PID控制器設(shè)計(jì)了凸輪磨削輪廓誤差補(bǔ)償器。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該方案不僅能有效提高跟蹤軸X軸對(duì)主導(dǎo)軸C軸的跟蹤性能，而且對(duì)外界的干擾，模糊PID較常規(guī)PID具有更好的魯棒性，從而能有效降低系統(tǒng)的仿形跟蹤誤差，進(jìn)而減小凸輪的輪廓誤差，提高了凸輪的磨削精度。另外，砂輪的轉(zhuǎn)速和切削量是影響凸輪表面光滑程度的關(guān)鍵，高速、超高速磨削是數(shù)控加工領(lǐng)域的一個(gè)研究方向，將砂輪轉(zhuǎn)速、切削量及溫度等影響工件表面質(zhì)量的參數(shù)共同考慮是今后需著重研究的問題。

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(責(zé)任編輯:劉俏亮)

Profile Tracking Error Compensation for Cam Grinding

SUIZhen，LICong，WANG Jing
(College of Communication Engineering，Jilin University，Changchun 130022，China)

To improve the precision of cam grinding machining，reduce the cam contour error，and improve the robustness of the system，a new error compensation method is adopted.It is named profiling tracking error compensation，in which the actual profiling tracking error compensate the series values of X axis.The two axes linkage feedback system is established by using Matlab，and the fuzzy PID(Proportional-Integral-Derivative) controller is designed to realize online compensation for the system.The cam used in the simulation experiment is difficult to process so as to verify compensation effects and the performance of the controller.The simulation experimental results show that thismethod can effectively reduce the cam contour error，simplify the calculation process，and improve the response speed of the system.Compared with the traditional PID controller，it has better robustness.

profiling tracking error compensation; cam grinding; fuzzy-proportional-integral-derivative (PID);robustness

TP273.4

A

1671-5896(2015)06-0644-08

2015-05-22

吉林省科技廳基金資助項(xiàng)目(20150101031JC);吉林大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)基金資助項(xiàng)目(201003056)

隋振(1970— )，男，吉林公主嶺人，吉林大學(xué)副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事復(fù)雜系統(tǒng)建模、優(yōu)化與控制研究，(Tel)86-13604312078(E-mail)suizhen@jlu.edu.cn;通訊作者:王靜(1990— )，女，河北邯鄲人，吉林大學(xué)博士研究生，主要從事凸輪磨削的研究，(Tel)86-13943135320(E-mail)jingw14@mails.jlu.edu.cn。